METODY NUMERYCZNE

(Zadania powtórkowe )

1. Wyznaczyć odwzorowanie, które definiuje obrót wektora d o kąt 90⁰ wokół osi

a) OX , b) OY, c) OZ

w przestrzeni ℜ³, w układzie współrzędnych (XYZ)

Narysować obraz wektora [ 1 0 1 ]^T w tych odwzorowaniach.

2. Określić odwzorowanie, które określa odbicie symetryczne wektora d względem osi

a) OX , b) OY

na płaszczyźnie ℜ² , w układzie współrzędnych (XY).

Narysować obraz wektora [-1 1 ]^T w tych odwzorowaniach.

3. Dla poniższych macierzy obliczyć normy (1, 2, ∞ ):

i podać właściwości odwzorowań, które definiują .

4. Narysować zbiór punktów jednakowo odległych, o wartość r = 2, od punktu [ 1 2 ]^T ∈ ℜ², stosując

różne definicje odległości w tej przestrzeni ( wyznaczyć odpowiednie równania okręgów ).

5. Dla przykładowych funkcji :

f(x) = 2x₁² - 4x₁ +3x₂² + 4

f(x) = x₁² - 2x₁ +4x₂² -24x₂ + 24

f(x) = x₁² - x₂² + 1

f(x) = ( x₁ - 1 )² - ( x₂ +1 )²

Wyznaczyć ich zbiory poziomicowe, narysować je (poziomice) na płaszczyźnie (X1 X2) oraz

napisać równania płaszczyzn stycznych do każdej z powierzchni (a ÷ d) w punkcie [ 1 1 ]^T .

6. Dla funkcji z zadania 5., w punkcie x^o = [ 0 1 ]^T , wyznaczyć zbiór kierunków d , wzdłuż których

funkcje rośnie.

7. Na płaszczyźnie (X1 X2) narysować zbiory punktów spełniające następujące relacje:

a) x₁ + x₂ - 1 ≤ 0 i - x₁ ≤ 0 i - x₂ ≤ 0

b) - 2x₁ - x₂ + 2 ≤ 0 i x₁² + x₂² - 4 ≤ 0

c) x₁² - x₂ - 1 ≤ 0 i x₁² + x₂ - 1 ≤ 0

d) 1 -  x₁ -1  -  x₂ - 4  ≤ 0

8. Modele dynamiczne procesów- określić składowe rozwiązań następujących równań różniczkowych:

a)
b)

c)
d)

9. Dana jest 8 - bitowa liczba stałoprzecinkowa (zapis binarny ze znakiem): 0.1011110 .

Podać dokładność zapisu.

Zdefiniować liczbę w zapisie zmiennoprzecinkowym ( znormalizowaną i nieznormalizowaną) dla

następujących danych:

β = 2, e_min = - 2, e_max = 0, p = 2 .

W każdym przypadku podać zakres zapisywanych liczb i dokładność zapisu.

---