Prawdopodobieństwo całkowite

$$P(A) = \sum_{i = 1}^{n}{P\left( \text{Bi} \right)*P(A}/B)\ $$

Wzór Bayesa

$$P\left( Bi/A \right) = \ \frac{P\left( \text{Bi} \right)*P(A/Bi)}{P(A)} = \frac{P\left( \text{Bi} \right)*P(A/B)}{\sum_{i = 1}^{n}P\left( \text{Bi} \right)*P(A/B)}$$

Wartość przeciętna (oczekiwana, średnia)

$$E\left( X \right) = \sum_{i = 1}^{n}{xipi = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn}$$

Wariancja zmiennej losowej

$$V(X) = \sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2}p_{i} - (E\left( X \right))^{2} = x_{1}^{2}p_{1} + x_{2}^{2}p_{2} + \ldots + x_{n}^{2}p_{n} - (E\left( X \right))^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,\ V\left( X \right) = \sigma^{2}$$

Odchylenie standardowe

$$\sigma = \sqrt{V(X)}$$

Współczynnik skośności

$$A_{\sigma} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{{(x}_{i} - E(X))^{3}p_{i}}}{\sigma^{3}}$$

Kurtoza

$$K = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} - E(X))^{4}p_{i}}}{\sigma^{4}}$$

Rozkład normalny:

Standaryzacja

$$X:\ N\left( m;\ \sigma \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ U = \frac{X - m}{\sigma}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ U:N(0;1$$

m-wartość oczekiwana, σ-odchylenie standardowe

Z badań producenta opon wynika, że ich „żywotność” (mierzona przebiegiem) ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną 60 [tys. km] i odchyleniem standardowym 8 [tys. km]. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że zakupiona opona będzie miała „żywotność” pomiędzy 50, a 80 [tys. km].

Oznaczając „żywotność” opony przez X możemy zapisać krótko: X: N(60 ; 8).

Pytanie kupującego można zapisać również krótko:

P(50 < X < 80) = ?. $\text{\ P}\left( 50 < \ X < 80 \right) = F\left( 80 \right) - F\left( 50 \right) = F\left( \frac{80 - 60}{8} \right) - F\left( \frac{50 - 60}{8}\ \right) = ..$

Sprawdzamy w tablicy i dajemy wynik w %

Rozkład Possiona

X~P(λ) wartość oczekiwana: λ=np

Wariancja: λ

Skośność: $\lambda^{\frac{1}{2}}$

Kurtoza: λ^-1

Rozkład Bernouliego

X~B(n,p)

n-długość serii

p- prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu