a) zmienne endogeniczne - występują w roli zmiennych objaśnianych, mogą także wystąpić w roli zmiennych objaśniających (lewa i prawa strona równań)
b) zmienne egzogeniczne - pełnią wyłącznie rolę zmiennych objaśniających (prawa strona równań)
c) zmienne łącznie współzależne - zmienne endogeniczne bez opóźnień w czasie (lewa strona równań)
d) zmienne z góry ustalone - zmienne egzogeniczne oraz zmienne endogeniczne opóźnione w czasie, występujące w roli zmiennych objaśniających (prawa strona równań)
Podstawowy zapis modelu wielorównaniowego to forma strukturalna modelu.
Każde równanie opisuje jedną zmienną endogeniczną (zmienną y).
Liczba równań modelu równa jest liczbie zmiennych y.
B * Y + A * Z = η
B - macierz parametrów strukturalnych modelu występujących przy zmiennych łącznie współzależnych (liczba wierszy i kolumn równa jest liczbie równań modelu)
A - macierz parametrów strukturalnych modelu występujących przy zmiennych z góry ustalonych (liczba kolumn równa jest liczbie zmiennych z góry ustalonych plus jeden - wyrazy wolne, zaś liczba wierszy równa jest liczbie równań modelu)
Y - wektor zmiennych łącznie współzależnych (liczba wierszy równa jest liczbie równań modelu, jedna kolumna)
Z - wektor zmiennych z góry ustalonych (liczba wierszy równa jest liczbie zmiennych z góry ustalonych plus jeden - wyraz wolny, jedna kolumna)
η - wektor składników losowych (liczba wierszy równa jest liczbie równań modelu, jedna kolumna)
Model prosty - charakteryzuje się brakiem wzajemnych bezpośrednich powiązań pomiędzy zmiennymi łącznie współzależnymi (y), oznacza to, że żadna ze zmiennych łącznie współzależnych nie występuje w roli zmiennej objaśniającej (czyli nie znajduje się po prawej stronei równań), macierz B (parametrów strukturalnych modelu występujących przy zmiennych łącznie współzależnych) jest macierzą jednostkową.
Model rekurencyjny - charakteryzuje się łańcuchowym (rekurencyjnym) charakterem powiązań zmiennych łącznie współzależnych, oznacza to jednokierunkowość zależności, gdzie możliwe jest wskazanie początku i końca łańcucha, macierz B (parametrów strukturalnych modelu występujących przy zmiennych łącznie współzależnych) jest macierzą trójkątną
Układ równań współzależnych - charakteryzuje się występowaniem wzajemnych wielostronnych powiązań pomiędzy zmiennymi łącznie współzależnymi
a) bezpośrednie/pośrednie sprzężenie zwrotne - polega na równoczesnym oddziaływaniu na siebie pary zmiennych łącznie współzależnych
b) równanie oderwane - równanie, w którym zmiennymi objaśniającymi są wyłącznie zmienne z góry ustalone
Postać modelu, w którym wartości zmiennych endogenicznych są funkcją wyłącznie zmiennych z góry ustalonych (w każdym równaniu takiego modelu występują wszystkie zmienne z góry ustalone postaci strukturalnej).
Y = C * Z + ε
C - macierz parametrów strukturalnych modelu zredukowanego (liczba wierszy jest równa liczbie równań modelu, zaś liczba kolumn jest równa liczbie wszystkich zmiennych z góry ustalonych modelu plus jeden)
Y - wektor zmiennych łącznie współzależnych
Z - wektor zmiennych z góry ustalonych
ε - wektor składników losowych (innych niż w postaci strukturalnej)
Identyfikacja modeli wielorównaniowych
Jeśli model jest identyfikowalny, oznacza to, iż jest poprawnie skonstruowany i możliwe jest oszacowanie jego parametrów.
Model prosty i rekurencyjny są zawsze identyfikowalne. Badanie identyfikowalności modelu przeprowadzamy tylko dla modelu o równaniach współzależnych.
Badanie identyfikowalności prowadzi się dla każdego równania oddzielnie.
Z macierzowej formy zredukowanej modelu zapisujemy macierzowo równanie identyfikacyjne:
B * C = - A
Na podstawie równania identyfikacyjnego:
1) określamy dla poszczególnych równań liczbę zmiennych niewystępujących w danym równaniu - liczba ta powinna być mniejsza bądź równa liczbie równań modelu minus jeden
2) dla każdego równania tworzymy macierze, w których elementami są parametry modelu występujące przy zmiennych nie występujących w danym równaniu - rząd tych macierzy powinien być równy liczbie równań modelu minus jeden
3) Dla każdego równania modelu sprawdzamy spełnienie powyższych warunków:
a) równanie identyfikowalne jednoznacznie - gdy rząd macierzy jest równy liczbie równań modelu minus jeden i liczba zmiennych niewystępujących jest równa liczbie równań modelu minus jeden
b) równanie identyfikowalne niejednoznacznie - gdy rząd macierzy jest równy liczbie równań modelu minus jeden i liczba zmiennych niewystępujących jest większa od liczby równań modelu minus jeden
c) równanie nieidentyfikowalne - gdy rząd macierzy jest różny od liczby równań modelu minus jeden i liczba zmiennych niewystępujących jest mniejsza od liczby równań modelu minus jeden
UWAGA!
Model jest identyfikowalny jednoznacznie, gdy wszystkie jego równania są identyfikowalne i każde równanie jest identyfikowalne jednoznacznie.
Model jest identyfikowalny niejednoznacznie, jeżeli wszystkie jego równania są identyfikowalne, a przynajmniej jedno z nich jest przeidentyfikowane.
Estymacja parametrów modeli wielorównaniowych
Modele proste
Parametry strukturalne można szacować za pomocą MNK (klasyczną lub uogólnioną) dla każdego równania oddzielnie.
Modele rekurencyjne
Parametry strukturalne każdego równania można szacować oddzielnie za pomocą MNK (klasyczną lub uogólnioną), zgodnie z kierunkiem łańcucha rekurencyjnego.
Modele o równaniach współzależnych
Nie można stosować MNK, ponieważ zmienne łącznie współzależne są skorelowane ze składnikami losowymi (estymatory nie są zgodne). Możliwe metody estymacji:
1) Pośrednia metoda najmniejszych kwadratów (PMNK),
2) Podwójna metoda najmniejszych kwadratów (2MNK).
Przed estymacją modelu o równaniach współzależnych należy zawsze zbadać identyfikowalność modelu.
Początek formularza
Dół formularza