Wojciech Darowski

Łukasz Dziki

Rok II Mechanika i Budowa Maszyn

Sprawozdanie 1

Temat: Rozwiązywanie równań różniczkowych

Temat: Rozwiązać równanie $4\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + 3\frac{\text{dy}}{\text{dt}} + 2y = 0\ \ $dla warunków początkowych: x(0)=0, $\frac{\text{dx}}{\text{dt}}\left( 0 \right) = 2$ metodą dsolve, ode23 i ode45 oraz w Simulinku.

Treść m-pliku dsolve

syms x y; % definicje zmiennych symbolicznych 'x' i 'y'

y = dsolve('4*D2y+3*Dy+2*y=0' , 'y(0)=1' , 'Dy(0)=4'); % równanie % wraz z warunkami początkowymi

pretty(y); % wypisanie rozwiązania

t=0:0.01:9.99; % definicja wektora czasu

w=subs(y); % wartość liczbowa 'y' wyliczona poprzez podstawienie

% zdefiniowanego wcześniej wektora 't'

plot(t,w,'r-'); % narysowanie wykresu

xlabel('czas[s]');

ylabel('amplituda sygnalu');

title('Wykres rozwiazania rozniczkowego');

grid;

Treść m-pliku funkcja2 – metoda ode45

function xdot=funkcja2(t,x)

%Układ równań różniczkowych

xdot=zeros(2,1);

xdot(1)=x(2);

xdot(2)=(-2*x(1)-3*x(2));

Treść m-pliku rozw – metoda ode45

function rozw1

t0=0;

clc

disp('Funkcja rozwiazuje rownanie rozniczkowe zwyczajne metoda');

disp('Rungego - Kutty i podaje jego interpretacje graficzna:');

disp(' ');disp('Postac rownania:');disp(' ');

disp(' 4*y``+3*y`+2*y=0 ');

x01=input ('Podaj wartosc x01= ' );

x02=input ('Podaj wartosc x02= ' );

tk=input ('Podaj czas symulacji tk= ' );

x0=[x01 x02];

[t,x]=ode45('funkcja2',t0,tk,x0,0.001,0);

plot(t,x(:,1),'g-');

xlabel('czas[s]'); ylabel('amplituda sygnalu');

title('Wykres rozwiazania rowania rozniczkowego');

grid;

Rozwiązanie metodą dsolve

Rozwiązanie metodą ode45

Zadanie 2

Temat: Rozwiązać równanie $7\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + 28\frac{\text{dy}}{\text{dt}} + 21y = - 21\frac{\text{du}}{\text{dt}} + 7u\ \ $dla warunków początkowych: y (0) = 7, y’(0) = 2 w Simulinku za pomocą bloków 1/s.

W sprawozdaniu zawrzeć wyniki dla obu metod wykorzystanych w Simulinku dla warunków początkowych równych 0.

Rozwiązanie za pomocą bloków 1/s

Rozwiązanie za pomocą bloku G(s)

Wnioski

W zadaniu pierwszym metoda dsolve i ode45 dają rozbieżne wyniki. Ode23 jest to metoda rozwiązująca warunki początkowe dla równa różniczkowych zwyczajnych rzędu 2 i 3, a Ode45 dla równań różniczkowych rzędu 4 i 5. Obie te metody wykorzystują metodę obliczeniową Runge’go- Kutta’y. Warunki początkowe mają wpływ na kształt i wynik układu, co można zauważyć w 2 ostatnich wykresach.