MT, AiR, gr. 14	15-04-2015

Modelowanie i Identyfikacja

Sprawozdanie z laboratorium 1 - Test ze wzbudnikiem

1. Przedmiot badań

Badanym obiektem jest płat śmigła. Na podstawie danych uzyskanych z pomiarów zostaną wyznaczone współczynniki drgań własnych oraz współczynniki tłumienia obiektu. Parametry modalne zostaną wyznaczone przy pomocy metod parametrycznych oraz nieparametrycznych.

1. Wykaz przyrządów pomiarowych

   Test został przeprowadzony z użyciem następujących przyrządów:

• wzbudnik elektrodynamiczny z głowicą impedancyjną,

• wzmacniacz wzbudnika,

• trzy akcelerometry typu ICP,

• analizator sygnałów,

• komputer z oprogramowaniem Testlab

1. Warunki przeprowadzenia eksperymentu

Obiekt badań został zawieszony tak, aby nie miał kontaktu z otoczeniem (konfiguracja free-free). Na obiekcie zostało wyznaczone 10 punktów pomiarowych, z czego jeden punkt pomiarowy został dobrany na stałe w punkcie wymuszenia(czujnik referencyjny, nr 1), natomiast położenie dwóch pozostałych czujników 2 i 3 było zmieniane dla kolejnych pomiarów. Wymuszenie miało postać białego szumu. Kolejne położenia czujników należy odczytać z Rys.1. oraz zależności:

czujnik nr 1 zawsze w punkcie b,

• pomiar 1:

  czujnik 2 – punkt c

  czujnik 3 – punkt a

• pomiar 2:

czujnik 2 – punkt d

czujnik 3 – punkt e

• pomiar 3:

czujnik 2 – punkt j

czujnik 3 – punkt f

1. Identyfikacja nieparametryczna

Wartości wyznaczone w tej metodzie zostały za pomocą poniższego kodu w programie Matlab, przedstawiającego przeprowadzone obliczenia:

Ww=fft(w);

Yw=fft(y);

% Wyznaczenie widma własnego i wzajemnego

% sygnałów. Sprzężenie zespolone

APww=Ww.*conj(Ww);

XPwy=Ww.*conj(Yw);

WFP = XPwy ./ APww;

WFP= decimate(WFP,4); %zmniejszenie liczby próbek

WFP= smooth(WFP,4);%using a moving average filter

f= decimate(f,4);% zmniejszenie liczby próbek

w_a_cz=abs(WFP);%moduł

w_f_cz=angle(WFP);%argument

gdzie w i y są kolejno wektorami wymuszenia oraz odpowiedzi układu dla danych punktów, wymuszenie mierzone jest zawsze w punkcie 1.

Następnie wyszukanie pików pozwala na określenie częstotliwości drgań własnych(Metoda Peak Peaking), a na tej podstawie przy wykorzystaniu Metody Połowy Mocy można wyznaczyć współczynnik tłumienia na podstawie wzoru:

$$\zeta_{r} = \frac{{f_{2}}^{2} - {f_{1}}^{2}}{4{f_{r}}^{2}}$$

gdzie:

ζ_r – współczynnik tłumienia,

f_r – częstotliwość drgań własnych,

f₁ i f₂ – częstotliwości dla $\frac{A_{\max}}{\sqrt{2}}$ _,

A_max – wartość wzmocnienia w piku, dla którego występuje częstotliwość drgań własnych układu.

1. Identyfikacja parametryczna

1. Dobór rzędu modelu ARMAX odbył się metodą prób i błędów do uzyskania najlepszego dopasowania przy na=4 nb=4 nc=3 nk=1 (współczynniki oznaczają rząd wielomianu)

2. Równanie modelu jest postaci A(z)y(t) = B(z)u(t) + C(z)e(t).

3. Parametry modalne zostały wyznaczone na podstawie modelu w postaci zero-biegunowej przy użyciu funkcji damp w programie Matlab.

4. Zweryfikowano stabilność każdego modelu.

1. Identyfikacja.

1. Pomiar 1:

1. Dane dla punktu pomiarowego 2:

   • identyfikacja nieparametryczna:

     

     odczytane parametry:

     częstotliwości drgań własnych:

     157,7 [Hz]

     361,3 [Hz]

     współczynniki tłumienia:

     0.0943 [-]

     0.0382 [-]

   • identyfikacja parametryczna:

     postać współczynników modelu:

     A(z) = 1 - 2.389 z^-1 + 2.892 z^-2 - 1.959 z^-3 + 0.7279 z^-4

     B(z) = 0.2811 z^-1 - 0.09136 z^-2 - 0.04941 z^-3 + 0.2371 z^-4

     C(z) = 1 - 1.308 z^-1 + 0.576 z^-2 - 0.0529 z^-3

     otrzymana tabela współczynników:

Pole	Magnitude	Damping	Frequency [rad/s]	Time Constant [s]
8.48e-01 + 4.80e-01i	9.74e-01	5.09e-02	1.06e+03	1.86e-02
8.48e-01 - 4.80e-01i	9.74e-01	5.09e-02	1.06e+03	1.86e-02
3.47e-01 + 8.04e-01i	8.76e-01	1.13e-01	2.40e+03	3.68e-03
3.47e-01 - 8.04e-01i	8.76e-01	1.13e-01	2.40e+03	3.68e-03

dopasowanie modelu wyniosło 90,1%

1. Dane dla punktu pomiarowego 3:

   • identyfikacja nieparametryczna:

     

     odczytane parametry:

     częstotliwości drgań własnych:

     355,4 [Hz]

     współczynniki tłumienia:

     0.0395 [-]

   • identyfikacja parametryczna:

     postać współczynników modelu:

     A(z) = 1 - 0.3445 z^-1 + 0.7054 z^-2 + 0.3561 z^-3 + 0.1491 z^-4

     B(z) = 0.7027 z^-1 - 0.2806 z^-2 + 0.5782 z^-3 - 0.1679 z^-4

     C(z) = 1 + 1.112 z^-1 + 0.2081 z^-2 - 0.1892 z^-3

     otrzymana tabela współczynników:

Pole	Magnitude	Damping	Frequency [rad/s]	Time Constant [s]
4.22e-01 + 8.92e-01i	9.86e-01	1.22e-02	2.31e+03	3.56e-02
4.22e-01 - 8.92e-01i	9.86e-01	1.22e-02	2.31e+03	3.56e-02
-2.49e-01 + 3.02e-01i	3.91e-01	3.83e-01	5.01e+03	5.21e-04
-2.49e-01 - 3.02e-01i	3.91e-01	3.83e-01	5.01e+03	5.21e-04

dopasowanie modelu wyniosło 93.08%

1. Pomiar 2:

1. Dane dla punktu pomiarowego 2:

   • identyfikacja nieparametryczna:

     

     odczytane parametry:

     częstotliwości drgań własnych:

     155,7 [Hz]

     359,3 [Hz]

     współczynniki tłumienia:

     0.1111 [-]

     0.0712 [-]

   • identyfikacja parametryczna:

     postać współczynników modelu:

     A(z) = 1 - 1.517 z^-1 + 0.9883 z^-2 - 0.477 z^-3 + 0.3888 z^-4

     B(z) = -0.2301 z^-1 + 0.8769 z^-2 - 0.7721 z^-3 + 0.3127 z^-4

     C(z) = 1 - 1.035 z^-1 - 0.1985 z^-2 + 0.6136 z^-3

     otrzymana tabela współczynników:

Pole	Magnitude	Damping	Frequency [rad/s]	Time Constant [s]
8.70e-01 + 4.68e-01i	9.88e-01	2.54e-02	1.01e+03	3.89e-02
8.70e-01 - 4.68e-01i	9.88e-01	2.54e-02	1.01e+03	3.89e-02
-1.11e-01 + 6.22e-01i	6.31e-01	2.54e-01	3.70e+03	1.06e-03
-1.11e-01 - 6.22e-01i	6.31e-01	2.54e-01	3.70e+03	1.06e-03

dopasowanie modelu wyniosło 90.09%

1. Dane dla punktu pomiarowego 3:

   • identyfikacja nieparametryczna:

     

     odczytane parametry:

     częstotliwości drgań własnych:

     157,7 [Hz]

     357,0 [Hz]

     współczynniki tłumienia:

     0.0884 [-]

     0.0421 [-]

   • identyfikacja parametryczna:

     postać współczynników modelu:

     A(z) = 1 - 0.891 z^-1 + 0.5602 z^-2 + 0.09546 z^-3 - 0.09812 z^-4

     B(z) = -0.0416 z^-1 - 0.1743 z^-2 + 0.1881 z^-3 + 0.1198 z^-4

     C(z) = 1 + 0.8075 z^-1 - 0.673 z^-2 - 0.7657 z^-3

     otrzymana tabela współczynników:

Pole	Magnitude	Damping	Frequency [rad/s]	Time Constant [s]
4.05e-01	4.05e-01	1.00e+00	1.85e+03	5.40e-04
4.24e-01 + 7.00e-01i	8.19e-01	1.91e-01	2.14e+03	2.44e-03
4.24e-01 - 7.00e-01i	8.19e-01	1.91e-01	2.14e+03	2.44e-03
-3.62e-01	3.62e-01	3.08e-01	6.76e+03	4.80e-04

dopasowanie modelu wyniosło 93.05%

1. Pomiar 3:

1. Dane dla punktu pomiarowego 2:

   • identyfikacja nieparametryczna:

     

     odczytane parametry:

     częstotliwości drgań własnych:

     - [Hz]

     współczynniki tłumienia:

     - [-]

   • identyfikacja parametryczna:

     postać współczynników modelu:

A(z) = 1 - 0.7868 z^-1 + 1.07 z^-2 - 0.4225 z^-3 + 0.299 z^-4 + 0.1531 z^-5 + 0.3187 z^-6

B(z) = -0.4592 z^-2 + 0.2443 z^-3 - 0.5419 z^-4 - 0.1456 z^-5 - 0.02772 z^-6 - 0.1825 z^-7

C(z) = 1 - 0.952 z^-1 + 1.36 z^-2 - 0.7897 z^-3 + 0.3218 z^-4

otrzymana tabela współczynników:

Pole	Magnitude	Damping	Frequency [rad/s]	Time Constant [s]
7.43e-01 + 5.81e-01i	9.43e-01	8.77e-02	1.36e+03	8.36e-03
7.43e-01 - 5.81e-01i	9.43e-01	8.77e-02	1.36e+03	8.36e-03
7.19e-02 + 9.85e-01i	9.88e-01	8.24e-03	3.07e+03	3.95e-02
7.19e-02 - 9.85e-01i	9.88e-01	8.24e-03	3.07e+03	3.95e-02
-4.22e-01 + 4.35e-01i	6.06e-01	2.09e-01	4.90e+03	9.75e-04
-4.22e-01 - 4.35e-01i	6.06e-01	2.09e-01	4.90e+03	9.75e-04

dopasowanie modelu wyniosło 66.05% dla zmienionego rzędu na=6 nb=6 nc=4 nk=2.

1. Dane dla punktu pomiarowego 3:

   • identyfikacja nieparametryczna:

     

     odczytane prametry:

     częstotliwości drgań własnych:

     -[Hz]

     współczynniki tłumienia:

     - [-]

   • identyfikacja parametryczna:

     postać współczynników modelu:

A(z) = 1 + 1.219 z^-1 + 0.731 z^-2 + 0.7429 z^-3 + 0.6408 z^-4 + 0.4495 z^-5 + 0.2225 z^-6

B(z) = -0.2092 z^-2 - 0.4404 z^-3 - 0.6604 z^-4 + 0.4877 z^-5 - 0.09606 z^-6 - 0.3295 z^-7

C(z) = 1 + 0.6565 z^-1 + 0.2987 z^-2 - 0.3187 z^-3 - 0.4889 z^-4

otrzymana tabela współczynników:

Pole	Magnitude	Damping	Frequency [rad/s]	Time Constant [s]
4.53e-01 + 6.80e-01i	8.17e-01	2.01e-01	2.06e+03	2.42e-03
4.53e-01 - 6.80e-01i	8.17e-01	2.01e-01	2.06e+03	2.42e-03
-2.50e-01 + 6.45e-01i	6.92e-01	1.87e-01	4.05e+03	1.32e-03
-2.50e-01 - 6.45e-01i	6.92e-01	1.87e-01	4.05e+03	1.32e-03
-8.12e-01 + 1.94e-01i	8.35e-01	6.20e-02	5.97e+03	2.70e-03
-8.12e-01 - 1.94e-01i	8.35e-01	6.20e-02	5.97e+03	2.70e-03

dopasowanie modelu wyniosło 60.38% dla na=6 nb=6 nc=4 nk=2

1. Podsumowanie

Wykonanie pomiarów 1 i 2 pozwoliło na uzyskanie najbardziej jednoznacznych danych. Na ich podstawie określono prawdopodobne częstotliwości drgań własnych obiektu, jako 158[Hz] i 357 [Hz] oraz współczynniki tłumienia 0.1 [-] oraz 0.05 [-]. W trzecim pomiarze wystąpiły zakłócenia uniemożliwiające identyfikację parametrów modalnych obiektu.

Z obserwacji charakterystyki metody nieparametrycznej wynika, iż w zależności od miejsca pomiaru eksponowane są różne częstotliwości drgań własnych. Wynika to z faktu występowania węzłów, w którym to dana częstotliwość drgań własnych nie występuje lub w pobliżu, którego jest znacznie mniej odczuwalna. Wykorzystanie większej ilości punktów pomiarowych pozwoliło uniknąć przeoczenia jednej z częstotliwości.

Metody parametryczna i nieparametryczna dały różne wyniki. Metoda parametryczna była bardziej powtarzalna od parametrycznej, dokładność metody parametrycznej zależała od odwzorowania modelu. W przypadku występowania dużych zakłóceń metoda parametryczna pozwoliła uzyskać wynik, podczas gdy metoda nieparametryczna okazała się trudna w zastosowaniu.