13. Przedstaw i opisz równaniem wahadło matematyczne, czym różni się od wahadła fizycznego?

Wahadło matematyczne oraz wahadło fizyczne to przykłady oscylatora harmonicznego, którego drgania zachodzą w płaszczyźnie pionowej, pod wpływem siły grawitacji. Wahadło matematyczne tj. wahadło mające postać ciała o masie m zawieszonego na jednym z końców nierozciągliwej linki o znikomej masie i o długości L, której drugi koniec zamocowany jest w stałym punkcie. Przykładem takiego wahadła jest układ ciężarek - linka przedstawiony na poniższym rysunku, wykonujący drgania w płaszczyźnie pionowej w kierunku z lewa na prawą.

Wahadło matematyczne - rozkład sił

Zgodnie z rysunkiem siłami działającymi na ciężarek są siła naprężenia linki Fl oraz siła ciężkości Fg, skierowana równolegle do linii przerywanej oznaczającej położenie równowagi układu ciężarek - linka. Po rozłożeniu siły Fg na składowe otrzymujemy składową radialną Fg cosφ, skierowaną przeciwnie do siły Fl oraz składową Fg sinφ - styczną do toru ruchu ciężarka. Podobnie jak w przypadku wahadła torsyjnego, także i w tym przypadku na ciężarek wykonujący drgania działa moment siły M, dążący do przywrócenia położenia równowagi ciężarka, o wartości:

Za powstanie momentu siły M, działającego przeciwnie do wychylenia ciężarka (stąd znak minus w powyższym wyrażeniu), odpowiada składowa Fg sinφ. W przybliżeniu małych kątów (φ ≤ 5o), tj. drgań o małej amplitudzie, częstość kołową ω oraz okres T drgań wahadła matematycznego możemy wyznaczyć korzystając z poniższych wzorów:

oraz:

gdzie m to masa ciężarka, g - przyspieszenie ziemskie, L - odległość dzieląca punkt zawieszenia wahadła od środka jego masy równa długości linki, I - moment bezwładności wahadła względem jego punktu zawieszenia.

Częstość kołowa i okres drgań wahadła matematycznego - wzory
Zapisując moment bezwładności wahadła jako I = m L2 otrzymamy:


oraz:


Zasadniczą różnicą pomiędzy wahadłem matematycznym a wahadłem fizycznym jest rozkład ich masy. W przypadku wahadła matematycznego, jego całkowita masa skupiona jest w ciężarku zawieszonym na lince, znajdującym się w odległości L, odpowiadającej długości linki, od punktu jego zawieszenia. Rozkład masy wahadła fizycznego, nazywanego również wahadłem rzeczywistym, jest nieco bardziej skomplikowany w porównaniu z wahadłem matematycznym (patrz poniższy przykład).

Wahadło fizyczne - rozkład sił

Na poniższym rysunku przedstawiono przykładowe wahadło fizyczne, którego środek masy S zlokalizowany jest w odległości h od punktu zawieszenia wahadła.

Wahadło fizyczne.

Podobnie jak w przypadku wahadła matematycznego, na wahadło fizyczne poruszające się ruchem okresowym, działa moment siły M dążący do przywrócenia stanu równowagi tego wahadła. Jednakże w tym przypadku moment siły nie jest proporcjonalny do długości linki L, lecz do długości h dzielącej punkt zawieszenia wahadła od punktu S będącego środkiem masy wahadła:

Częstość kołowa i okres drgań wahadła fizycznego - wzór

Wyrażenia pozwalające obliczyć częstość kołową ω oraz okres T drgań wahadła fizycznego wynoszą odpowiednio (dla małych kątów):


oraz:

Podstawiając w miejsce I/mh wartość L0 dostaniemy wzór na okres drgań wahadła matematycznego:


Z powyższej zależności wynika bardzo ważna informacja: każdemu wahadłu fizycznemu drgającemu z okresem T wokół punktu zawieszenia, odpowiada wahadło matematyczne o długości L0 (długość L0 nazywana jest długością zredukowaną wahadła) drgające z takim samym okresem, co wahadło fizyczne.

Ważna uwaga: drgania wahadła fizycznego i matematycznego występują tylko wtedy, gdy ich punkt zawieszenia znajduje się w punkcie różnym od środka ich masy; w przeciwnym wypadku drgania nie zachodzą, ponieważ dla L = 0 lub h = 0, okres T → ∞, co oznacza, że wahadło nie wykona nawet jednego pełnego drgania.

Wahadło matematyczne:

$$Ek = \frac{1}{2}m{x^{\bullet}}^{2} = \frac{1}{2}mL^{2}\varphi^{\bullet}$$

Ep = mgL(1−cosφ) = −mgLcosφ

27. Podaj rozwiązanie układu o 1SSW z tłumieniem, rozwiązanie ogólne i szczególne.

Coś takiego znalazłem w necie, wydaje mi się, że to jest to ale na 100% to zweryfikuje to Tomek 2 lipca ;)

Model fizyczny i jego założenia:

15. Siedzisko kierowcy autobusu.

Jak fotel wygląda każdy wie dlatego nie będę go rysował ;)