Piotr LUDWIKOWSKI
2009/2010Fizyka	29 października 2009
Czwartek, 13:00	dr J. Rudzińska-Girulska

Prawa ohma i kirchhoffa

1. Pomiar oporu:

Lp.	Opornik	Opór [kΩ]
1	R1	0,190
2	R2	2,393
3	R3	0,551
4	R4	0,514
5	R5	0,867

1. Pomiar natężenia i napięcia (dla układu czterech oporników):

Lp.	Prąd	Natężenie [mA]	Napięcie [V] kolejno na opornikach R1, R2, itd.
1	I1	12,86	2,033
2	I2	7,06	7,842
3	I3	3,66	4,053
4	I4	7,06	3,781

1. Pomiar natężenia i napięcia (dla układu pięciu oporników):

Lp.	Prąd	Natężenie [mA]	Napięcie [V] kolejno na opornikach R1, R2, itd.
1	I1	9,16	2,777
2	I2	3,69	8,567
3	I3	11,04	6,155
4	I4	7,55	3,850
5	I5	5,52	4,812

TEORIA:

Do pomiaru prądu, napięcia, rezystancji i mocy służą odpowiednie mierniki, dzielące się ze względu na przeznaczenie na: amperomierze, woltomierze, omomierze i watomierze. W większości opierają się one na zjawisku elektromagnetyzmu. Główną część takiego miernika stanowi jego ustrój pomiarowy, skłądający się z części nieruchomej i ruchomego organu miernika. Organ ruchomy, połączony ze wskazówką, wykonuje z reguły ruch obrotowy pod wpływem działających na niego sił, np. w wyniku oddziaływania pola magnetycznego na prąd w cewce organu ruchomego. Do organu ruchomego przyczepiona jest sprężyna, która przeciwdziała jego ruchowi. Wskazówka miernika ustawia się w położeniu, w którym moment napędowy miernika równoważy się z momentem zwrotnym sprężyny, a ponieważ jej moment zwrotny jest proporcjonalny do kąta jej skręcenia, kąt odchylenia organu ruchomego jest proporcjonalny do momentu napędowego. Aby wytłumić niepożądane wielokrotne wahnięcia wskazówki, stosuje się tłumiki, magnetyczne i powietrzne.

Pod względem budowy, mierniki korzystające z sił magnetycznych dzielą się na magnetoelektryczne, elektromagnetyczne, elektrodynamiczne, i ferrodynamiczne. Zasada działania miernika magnetoelektrycznego polega na oddziaływaniu pola magnesu trwałego na umieszczoną w tym polu cewkę, przez którą płynie prąd. Miernik elektromagnetyczny składa się z cewki, przez którą płynie prąd, i jednego lub kilku rdzeni ze stali magnetycznie miękkiej. Mierniki elektrodynamiczne działają dzięki oddziaływaniu elektrodynamicznemu dwóch cewek, przez które płyną prądy. Ze względu na wysoką cenę, są używane wyłącznie jako mierniki laboratoryjne do dokładnych pomiarów. Podobnym miernikiem jest miernik ferrodynamiczny. Istnieją także inne mierniki, np. cieplne i termoelektryczne, jak i elektrostatyczne. Najnowsze mierniki cyfrowe, oparte na tranzystorach, są jednak dokładniejsze niż wszelkie pozostałe mierniki, ze względu na brak części ruchomych i precyzyjność układów scalonych.

Wartość wskazana przez dowolny miernik może się różnić od wartości rzeczywistej mierzonej wielkości. Różnica ta nazywa się błędem bezwzględnym miernika; zaś jej stosunek do maksymalnej wartości zakresu pomiarowego nazywa się błędem względnym, podawanym zwykle w procentach. Dokładność (błąd względny) wszystkich mierników pozwala na zaliczenie ich do odpowiedniej klasy dokładności. W Polsce stosuje się następujące klasy dokładności: 0,1, 0,2, 0,5, 1, 1,5, 2,5. Liczba oznaczająca klasę dokładności miernika określa największy dopuszczalny błąd względny miernika. Stąd widać, że im mniejsze odchylenie wskazówki, tym większy może być błąd procentowy pomiaru. Mierniki laboratoryjne zwykle są klasy 0,1, 0,2 i 0,5 i służą do dokładnych pomiarów w laboratoriach, jak i sprawdzania mierników technicznych, o pozostałych klasach dokładności.

Przy pomiarach obwodów elektrycznych rozgałęzionych poza miernikami przydaje się m.in. znajomość prawa Kirchhoffa. Pierwsze prawo Kirchhoffa mówi że suma agebraiczna prądów schodzących się w dowolnym węźle obwodu elektrycznego (jeżeli prądom dopływającym do węzła przypisze się znak “+”, a prądom odpływającym znak “-“) jest równa zeru. Jest to tzw. bilans prądów w węźle obwodu elektrycznego. Wg drugiego prawa Kirchoffa, w dowolnym oczku obwodu elektrycznego prądu stałego suma spadków napięć na elementach rezystancyjnych oczka jest równa sumie działających w tym oczku sił elektromotorycznych, gdzie oczkiem nazywamy zbiór gałęzi tworzących jedną zamkniętą drogę dla przepływu prądu:

$$\sum_{i = 1}^{n}{\varepsilon_{i} = \sum_{i = 1}^{n}{R_{i}I_{i}}}$$

Przyjąwszy dowolny obieg oczka, np. zgodny z obiegiem wskazówek zegara, otrzymujemy sumę napięć źródłowych i odbiorczych w oczku równą zeru.

Korzystając bezpośrednio z prawa Kirchhoffa można także udowodnić zasadę, że natężenia prądu w gałęziach oporowych połączonych równolegle są proporcjonalne do ich przewodności albo odwrotnie proporcjonalne do ich oporów.

Drugim użytecznym prawem przy badaniu obwodów elektrycznych jest Prawo Ohma. Wg tego prawa, wartość prądu w przewodniku jest wprost proporcjonalna do przyłożonego do jego końców napięcia.

Dalsze badania Ohma wykazały, że opór elektryczny jest proporcjonalny do długości l przewodu, odwrotnie proporcjonalny do przekroju S przewodu, a ponadto zależy od rodzaju materiału z jakiego przewód został wykonany:

$$R = \rho\frac{l}{S}$$

Jeden om jest rezystancją gdy róznica napięć jednego wolta wywołuje w przewodzie prąd o wartości jednego ampera.

OPRACOWANIE WYNIKÓW:

Oto schemat obwodu wykorzystanego w naszym doświadczeniu:

Na początek policzymy wartości prądów dla układu czterech oporników. Opierając się na zmierzonych wartościach oporu oporników i wartości napięcia wejściowego, można łatwo obliczyć także wartości natężeń prądów przepływających przez poszczególne oporniki. mamy więc:

$$I_{1} = \frac{U_{1}}{R_{1}} = \frac{2,033\ V}{0,190\ \text{kΩ}} = 10,70\ \text{mA}$$

$$I_{2} = \frac{U_{2}}{R_{2}} = \frac{7,842\ V}{2,393\ \text{kΩ}} \approx 3,28\ \text{mA}$$

$$I_{3} = \frac{U_{3}}{R_{3}} = \frac{4,053\ V}{0,551\ \text{kΩ}} \approx 7,36\ \text{mA}$$

Wartości zmierzone z obliczonymi porównamy w tabeli:

Prąd	Wartość zmierzona [mA]	Wartość obliczona [mA]
I1	12,86	10,70
I2	3,66	3,28
I3 = I4	7,06	7,36

Podobne obliczenia wykonujemy dla drugiego schematu z pięcioma opornikami:

$$I_{1} = \frac{U_{1}}{R_{1}} = \frac{2,777\ V}{0,190\ \text{kΩ}} \approx 14,62\ \text{mA}$$

$$I_{2} = \frac{U_{2}}{R_{2}} = \frac{8,567\ V}{2,393\ \text{kΩ}} \approx 3,58\ \text{mA}$$

$$I_{3} = \frac{U_{3}}{R_{3}} = \frac{6,155\ V}{0,551\ \text{kΩ}} \approx 11,17\ \text{mA}$$

$$I_{4} = \frac{U_{4}}{R_{4}} = \frac{3,850\ V}{0,514\ \text{kΩ}} \approx 7,49\ \text{mA}$$

$$I_{5} = \frac{U_{5}}{R_{5}} = \frac{4,812\ V}{0,867\ \text{kΩ}} \approx 5,55\ \text{mA}$$

I ponownie wartości zmierzone z obliczonymi porównamy w tabeli:

Prąd	Wartość zmierzona [mA]	Wartość obliczona [mA]
I1	14,72	14,62
I2	3,69	3,58
I3	11,04	11,17
I4	7,55	7,49
I5	5,52	5,55

Niepewność dla ostatniego przykładu policzymy metodą różniczki zupełnej:

$$I = \left| \frac{\partial I}{\partial U}U \right| + \left| \frac{\partial I}{\partial R}R \right| = \left| \frac{1}{R}U \right| + \left| \frac{- U}{R^{2}}R \right| = \left| \frac{1}{4,812} \bullet 0,01 \right| + \left| \frac{0,00555}{\left( 4,812 \right)^{2}} \right| \bullet 1 \approx 0,0023\ \text{mA}$$

I₅=5, 55 mA, u_c(I₅)=0, 0023 mA

WNOSKI:

Porównując wartości prądu zmierzone bezpośrednio z wyliczonymi, okazuje się, że wyniki są zbieżne, pomijając niewielkie różnice, które prawdopodobnie wynikały z nieprecyzyjności elementów obwodu i ich połączeń. Poza tym trzeba wziąć pod uwagę możliwość nagrzewania się oporników i co za tym idzie zmiany w ich przewodności. Widać, że prawa Ohma i Kirchhoffa sprawdzają się także w przypadku bardziej skomplikowanych obwodów, a dodanie dodatkowego opornika jedynie zwiększa liczbę wymaganych pomiarów.