Zestaw I

14. Przedstaw i opisz równanie Lagrange’a II rodzaju i podaj pozytywne oraz negatywne skutki rezonansu.

Według notatek:

$$\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\partial E_{K}}{\partial\dot{q_{i}}} \right) + \frac{\partial E_{R}}{\partial\dot{q_{i}}} + \frac{\partial E_{P}}{\partial q_{i}} = 0$$

gdzie:

E_k – energia kinetyczna,

E_R – energia dyssypacji,

E_P – energia potencjalna,

$\dot{q_{i}}$ – prędkość,

q_i – przemieszczenie.

(Według książki „Mechanika ogólna tom II” Jan Misiak

Równanie Lagrange’a drugiego rodzaju pozwala wyznaczyć siłę uogólnioną Q_k, gdy znany jest ruch układu punktów materialnych, lub ruch, gdy dana jest siła uogólniona Q_k.

$$Q_{k} = \frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\partial E}{\partial\dot{q_{i}}} \right) - \frac{\partial E}{\partial q_{i}}$$

gdzie:

E – całkowita energia kinetyczna)

Pozytywne skutki rezonansu:

• ruch huśtawki – przekazując jej drgania (popychając ją wtedy gdy znajduje się najbliżej nas), huśtawka porusza się coraz szybciej (wzrasta jej amplituda). Przy użyciu małej siły można wzbudzić duże drgania,

• słyszalny dźwięk w gitarze akustycznej,

• działanie odbiorników radiowych i telewizyjnych dzięki wykorzystaniu rezonansu elektrycznego. Częstotliwość fal elektromagnetycznych wysyłanych przez stację jest równa częstotliwości drgań własnych obwodów rezonansowych odbiornika.

Negatywne skutki rezonansu:

• zniszczenie układu wprawionego w drgania rezonansowe w przypadku zbyt słabego tłumienia (zniszczenie mostów wiszących, gdy wieje silny wiatr lub gdy rytm kroków ludzi powoduje powstanie groźnych dla mostu wibracji)

• wibracje maszyn powodujące ich zniszczenie.

28. Narysuj i opisz tzw. charakterystykę techniczną (krzywa rezonansowa) układów nietłumionych i tłumionych, podaj sposoby redukcji zjawiska rezonansu.

Krzywa rezonansowa to wykres zależności amplitudy drgań od częstotliwości. Dla układów nietłumionych (współczynnik tłumienia na rys. β=0) krzywa w kształcie odwróconego lejka. Dla układów tłumionych im większy współczynnik tłumienia β tym krzywa rezonansowa jest bardziej spłaszczona (β₃=1, β₂=0,5).

Częstotliwość to stosunek częstotliwości wymuszanych do częstotliwości własnych: ω/ω₀.

W celu redukcji zjawiska rezonansu w układzie stosuje się tłumienie. Do opisu zachowania się tłumionego układu drgań wprowadza się współczynnik tłumienia β. Tłumienie jest wielkością bezwymiarową. Układ może mieć:

• Silne tłumienie β>1.

• Krytyczne tłumienie β=1

• Słabe tłumienie 0< β<1

• Być nietłumiony β=0

W innych opracowaniach współczynnik tłumienia zamiast β określony jest symbolem ζ (zeta).

Zestaw II

16. Mięsień

Model mięśnia uda i mięśnia podudzia wykorzystuje zależność sprężystości mięśnia, masy, którą stanowi mięśnie w obrębie danej części kończyny oraz tłumienia jako elementu, który w biologii odpowiada mazi stawowej (rys.1.)

Model samego mięśnia rozumie jako masę utwierdzoną za pomocą sprężyny i tłumienia do np. stawu. Mięsień ramienia napina się lub rozluźnia pod wpływem masy jaką stanowi przedramię (rys.2.)