Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska

Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy im. J.J. Śniadeckich w Bydgoszczy

Teoria Sprężystości i Plastyczności.

R.37. Teoria fal. Fale poprzeczne.

Definicja fali : Falą nazywamy rozchodzące się zaburzenie ośrodka przenoszące energię i rozchodzące się ze skończoną prędkością.  W zależności od rodzaju (natury) fal zaburzenie to będzie różnego rodzaju. Na przykład dla fali akustycznej zaburzeniem będą drgania powietrza i związane z nimi lolkalne zmiany jego ciśnienia. Dla fal elektromagnetycznych (a więc i dla światła) jako zaburzenie traktować należy periodyczne zmiany wektorów natężenia pola elektrycznego E i indukcji pola magnetycznego. W zależności od kierunku drgań w stosunku do kierunku rozchodzenia się fal dzielimy wszystkie fale na: Falą mechaniczną nazywamy zjawisko rozchodzenia się zaburzeń ośrodka. Źródłem fali jest ciało drgające.

Ośrodek sprężysty ma tę właściwość, ze siłom, które usiłują spowodować jego odkształcenie, przeciwstawia siły sprężyste, które po usunięciu sił odkształcających usuwają odkształcenie. Wytrącenie zespołu cząsteczek takiego ośrodka z położenia równowagi powoduje ich drganie wokół tego położenia, przy czym wskutek jego właściwości sprężystych zaburzenie przenosi się z jednej warstwy ośrodka na następną, wprawiając ją w ruch drgający o takim samym okresie drgań. Takie właśnie przenoszenie drgań nazywamy ruchem falowym lub krótko falą. 

Przykładem ruchu falowego są fale rozchodzące się kołowo na powierzchni wody po wrzuceniu kamienia. Obserwując zachowanie się trocin lub słomek pływających na powierzchni wody, można łatwo stwierdzić, że rzeczywisty ruch cząsteczek wody polega na ich podnoszeniu się i opadania w jednym miejscu, natomiast sama fala, przenosząca te drgania, rozchodzi się po powierzchni wody. Ośrodek nie porusza się więc wraz z rozchodzącą się falą, lecz jedynie jego cząsteczki drgają wokół położeń równowagi, zaś istotę ruchu falowego stanowi przenoszenie się tych drgań na coraz to dalsze warstwy ośrodka. 

Fale mechaniczne nie mogą rozchodzić się w próżni. Rozchodzą się w ośrodkach sprężystych. 

Promień fali to kierunek rozchodzenia się fali.

Czoło fali jest to zbiór punktów, do których dotarła fala.

Powierzchnia falowa to zbiór punktów mających tą samą fazę drgań.

Fale mechaniczne (ze względu na wymiar) dzielimy na:

• fale liniowe (jednowymiarowe) - np. na gumowym wężu,

• fale powierzchniowe (dwuwymiarowe) - np. na wodzie,

• fale przestrzenne (trójwymiarowe) - np. dźwięk w powietrzu.

W zależności od kierunku drgań cząsteczek ośrodka w stosunku do kierunku rozchodzenia się fali rozróżnia się fale poprzeczne i fale podłużne. 

Fala poprzeczna to taka fala, której cząsteczki ośrodka drgają w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali.

Można ją otrzymać na przykład przez szybkie poruszanie się w górę i w dół jednego końca gumowego sznura, przymocowanego drugim końcem do ściany. Powstanie fali poprzecznej wiąże się ze zmianą kształtu ciała, a więc może się ona rozchodzić jedynie w ośrodkach mających sprężystość postaci (głównie w ciałach stałych). Cząsteczki ośrodków doskonale sprężystych wykonują drgania harmoniczne, zatem fala poprzeczna rozchodząca się w takim ośrodku ma postać sinusoidy. 

 

Prędkość fali poprzecznej w płynach lub cienkich, długich prętach wynosi: 

 

 - współczynnik ściśliwości płynu; moduł sztywności ciała stałego 

 - gęstość ośrodka 

Ze względu na czoło fali fale dzielą się na płaskie i kuliste. Jeżeli drgania rozchodzą się w jednym kierunku, to powierzchnie fali są płaszczyznami i mówimy o fali płaskiej. Jeżeli zaś fala wywołana przez punktowe źródło drgań rozchodzi się w ośrodku jednorodnym, to prędkość jej jest jednakowa we wszystkich kierunkach i powierzchnia fali ma postać kuli. Mówimy wtedy o fali kulistej. 

Wielkości charakteryzujące falę to: 

 - amplituda fali 
 - okres fali 
 - częstotliwość fali 
 - prędkość fali (prędkość fali w danym ośrodku jest stała) 
 - długość fali (odległość między najbliższymi cząsteczkami drgającymi w zgodnych fazach) 

Fala przebywa drogę równą swojej długości w czasie okresu. 

 

Zasada Huygensa

Opis ruchu falowego komplikuje się z chwilą, gdy czoło fali dociera do granicy obszaru swobodnego rozprzestrzeniania się fali, lub do granicy dwu ośrodków, w których prędkości rozchodzenia się fal są różne. Metody opisu ruchu falowego w tym przypadku dostarcza zasada Huygensa. 

U źródła zasady Huygensa leżą trzy obserwacje doświadczalne:

• Drgające źródła punktowe wysyłają w ośrodku jednorodnym i izotropowym fale koliste.

• Fale wysyłane przez różne źródła rozchodzą się w ośrodku niezależnie od siebie (zasada superpozycji).

• Fale nie rozchodzą się w ośrodku natychmiastowo, lecz ze skończoną prędkością - coraz to nowe punkty ośrodka są pobudzane do drgań.

Na podstawie tych obserwacji Huygens wysunął hipotezę, że: 

Każdy punkt ośrodka, do którego dochodzi fala, można traktować jako elementarne źródło wtórnej fali kolistej. Jest to tzw. zasada Huygensa.

Równanie fali

Aby wyprowadzić równanie fali posłużymy się wykresem zależności wychylenia od odległości od źródła. 

 

 - wychylenie 

 - odległość od źródła 

Wykorzystujemy równanie ruchu drgającego na opisanie położenia punktów A i B. 

Punkt A -  

Punkt B -  

 - czas, w którym fala przebywa drogę  

 

Podstawiamy za  powyższy wzór i przekształcamy, aby otrzymać równanie fali w prostszej postaci: 

 

Równanie fali można także wyrazić przy pomocy liczby falowej k, której wartość wstawiona do otrzymanego wzoru da inną postać równania fali: 

 

Dyfrakcja fal mechanicznych

Dyfrakcją fali nazywamy ugięcie fali, czyli zmianę kierunku rozchodzenia się fali na szczelinach, krawędziach, przeszkodach, itp.

Zjawisko dyfrakcji jest typowym dla fal. Tłumaczy je zasada Huygensa. Łatwo jest zaobserwować dyfrakcję fal, ustawiając w zbiorniku z wodą przegrodę z wąską szczeliną i wytwarzając po jednej stronie falę płaską. W chwili, gdy fala ta dojdzie do przegrody - szczelina staje się źródłem fali kołowej, rozchodzącej się z niej we wszystkich kierunkach po drugiej stronie przegrody. Tą sytuację ilustruje rysunek: 

Zasada Fermata

Fala biegnąca z jednego punktu do drugiego przebywa drogę, na której przebycie trzeba w porównaniu z innymi sąsiednimi drogami minimum lub maksimum czasu.

Zasada ta prowadzi do prawa rozchodzenia się światła po liniach prostych w ośrodkach jednorodnych oraz do praw odbicia i załamania fal. 

Odbicie fal mechanicznych

Kątem padania nazywamy kąt zawarty między promieniem fali padającej, a prostą prostopadłą (normalną) do płaszczyzny odbijającej.

Kątem odbicia nazywamy kąt zawarty między promieniem fali odbitej, a prostą prostopadła (normalną) do płaszczyzny odbijającej.

 

PRAWO ODBICIA 

Kąt padania jest równy kątowi odbicia. Promień fali padającej, promień fali odbitej i prosta prostopadła (normalna) płaszczyzny odbijającej leżą w jednej płaszczyźnie.

Przy odbiciu fali od ośrodka bardziej sztywnego następuje zmiana fazy na przeciwną. 

Wyprowadzenie prawa odbicia: 

I. geometrycznie 

 

Odcinki BC i AD muszą być przebyte w tym samym czasie, więc: 

 

 

II. z zasady Fermata 

 

Z rysunku na podstawie twierdzenia Pitagorasa odczytujemy, że: 

 
Drogę jaką przebyła fala od punktu A do B oznaczamy literą d: 

 
Obliczamy czas, w którym fala pokonała drogę z punktu A do B: 

 

Obliczamy pochodną z t: 

 

Obliczoną pochodną przyrównujemy do zera, gdyż funkcja osiąga maksimum lub minimum, gdy jej pochodna ma wartość zero. 

 

Z rysunku odczytujemy wartość funkcji sinus dla obu kątów zaznaczonych na rysunku: 

 

A następnie wstawiamy je do wyżej otrzymanego wzoru i uzyskujemy: 

 

Bibliografia:

• ,,Teoria sprężystości’’ Witold Nowacki ;Państwowe Wydawnictwo Naukowe.

• Wikipedia- http://labor.ps.pl/wfo6def.html ; http://www.iwiedza.net/wiedza/114.html