Proces termomechaniczny określony przez potencjał termodynamiczny:
$$\rho K = \rho K\left( \theta,\varepsilon_{\text{ij}},\varphi_{\text{ij}} \right) = A_{0} + a\theta + b_{\text{ij}}\varepsilon_{\text{ij}} + c_{\text{ij}}\varphi_{\text{ij}} + \frac{1}{2}B\theta^{2} + \frac{1}{2}C_{\text{ijkl}}\varepsilon_{\text{ij}}\varepsilon_{\text{kl}} + \frac{1}{2}D_{\text{ijkl}}\varphi_{\text{ij}}\varphi_{\text{kl}} + E_{\text{ij}}\theta\varepsilon_{\text{ij}} + F_{\text{ij}}\theta\varphi_{\text{ij}} + G_{\text{ijkl}}\varepsilon_{\text{ij}}\varphi_{\text{kl}}$$
$$\rho\dot{K} = \rho\frac{\text{σK}}{\text{σθ}}\dot{\theta} + \rho\frac{\text{σK}}{\sigma\varepsilon_{\text{ij}}}\dot{\varepsilon_{\text{ij}}} + \rho\frac{\text{σK}}{\sigma\varphi_{\text{ij}}}\dot{\varphi_{\text{ij}}}$$
$$\dot{\theta} \approx \frac{\text{dθ}}{\text{dt}}$$
$$\dot{\varepsilon_{\text{ij}}} \approx \frac{d\varepsilon_{\text{ij}}}{\text{dt}}$$
$$\dot{\varphi_{\text{ij}}} \approx \frac{d\varphi_{\text{ij}}}{\text{dt}}$$
$$\rho\dot{K} = 0 + a\dot{\theta} + b_{\text{ij}}\dot{\varepsilon_{\text{ij}}} + c_{\text{ij}}\dot{\varphi_{\text{ij}} +}\text{Bθ}\dot{\theta} + C_{\text{ijkl}}\dot{\varepsilon_{\text{ij}}}\varepsilon_{\text{kl}} + D_{\text{ijkl}}\dot{\varphi_{\text{ij}}}\varphi_{\text{kl}} + E_{\text{ij}}\dot{\theta}\varepsilon_{\text{ij}} + E_{\text{ij}}{\dot{\varepsilon}}_{\text{ij}}\theta + F_{\text{ij}}\dot{\theta}\varphi_{\text{ij}} + F_{\text{ij}}\theta\dot{\varphi_{\text{ij}}} + G_{\text{ijkl}}\varepsilon_{\text{ij}}\dot{\varphi_{\text{kl}}} + G_{\text{ijkl}}\dot{\varepsilon_{\text{ij}}}\varphi_{\text{kl}}$$
$$\frac{\text{dK}}{\text{dθ}} = (a + B\theta + E_{\text{ij}}\epsilon_{\text{ij}} + F_{\text{ij}}\varphi_{\text{ij}})\dot{\theta}$$
$$\frac{\text{dK}}{d\varepsilon_{\text{ij}}} = (b_{\text{ij}} + C_{\text{ijkl}}\varepsilon_{\text{kl}} + E_{\text{ij}}\theta + G_{\text{ijkl}}\varphi_{\text{kl}})\dot{\varepsilon_{\text{ij}}}$$
$$\frac{\text{dK}}{d\varphi_{\text{ij}}} = (c_{\text{ij}} + D_{\text{ijkl}}\varphi_{\text{kl}} + F_{\text{ij}}\theta + G_{\text{ijkl}}\varepsilon_{\text{kl}})\dot{\varphi_{\text{ij}}}$$
Podstawiając pochodną $\rho\dot{K}$ do nierówności rezydualnej otrzymujemy:
$$- \rho\dot{K} - \text{ρS}\dot{\theta} + \sigma_{\text{ij}}\dot{\varepsilon_{\text{ij}}} + \sum_{\alpha}^{}M_{c}^{\alpha - \alpha} - \frac{q_{i}{T,}_{i}}{T} - \sum_{\alpha}^{}{j_{i}^{\alpha}M_{,i}^{\alpha} + I_{i}E_{i} \geq 0}$$
$$- \rho\frac{\text{σK}}{\text{σθ}}\dot{\theta} - \rho\frac{\text{σK}}{\sigma\varepsilon_{\text{ij}}}\dot{\varepsilon_{\text{ij}}} - \rho\frac{\text{σK}}{\sigma\varphi_{\text{ij}}}\dot{\varphi_{\text{ij}}} - \rho S\dot{\theta} + \sigma_{\text{ij}}\dot{\varepsilon_{\text{ij}}} + \sum_{\alpha}^{}M_{c}^{\alpha - \alpha} - \frac{q_{i}{T,}_{i}}{T} - \sum_{\alpha}^{}{j_{i}^{\alpha}M_{,i}^{\alpha} + I_{i}E_{i} \geq 0}$$
$$- \rho\left( \frac{\text{σK}}{\text{σθ}} - S \right)\dot{\theta} + \left( - \rho\frac{\text{σK}}{\sigma\varepsilon_{\text{ij}}} + \sigma_{\text{ij}} \right)\dot{\varepsilon_{\text{ij}}} - \rho\frac{\text{σK}}{\sigma\varphi_{\text{ij}}}\dot{\varphi_{\text{ij}}} + \sum_{\alpha}^{}M_{c}^{\alpha - \alpha} - \frac{q_{i}{T,}_{i}}{T} - \sum_{\alpha}^{}{j_{i}^{\alpha}M_{,i}^{\alpha} + I_{i}E_{i} \geq 0}$$
Należy wyznaczyć komplet równań fizycznych procesu na:
Entropię
$$\frac{\text{dK}}{\text{dθ}} - S = 0\ \rightarrow S = \frac{\text{dK}}{\text{dθ}} = (a + B\theta + E_{\text{ij}}\varepsilon_{\text{ij}} + F_{\text{ij}}\varphi_{\text{ij}})$$
Indukcję elektryczną
$$\left( - \rho\frac{\text{σK}}{\sigma\varepsilon_{\text{ij}}} + \sigma_{\text{ij}} \right)\dot{\varepsilon_{\text{ij}}} - \rho\frac{\text{σK}}{\sigma\varphi_{\text{ij}}}\dot{\varphi_{\text{ij}}} + \sum_{\alpha}^{}M_{c}^{\alpha - \alpha} - \frac{q_{i}{T,}_{i}}{T} - \sum_{\alpha}^{}{j_{i}^{\alpha}M_{,i}^{\alpha} + I_{i}E_{i} \geq 0\ \ \rightarrow}$$
$${\rightarrow I}_{i}E_{i} \geq \left( - \rho\frac{\text{σK}}{\sigma\varepsilon_{\text{ij}}} + \sigma_{\text{ij}} \right)\dot{\varepsilon_{\text{ij}}} - \rho\frac{\text{σK}}{\sigma\varphi_{\text{ij}}}\dot{\varphi_{\text{ij}}} + \sum_{\alpha}^{}M_{c}^{\alpha - \alpha} - \frac{q_{i}{T,}_{i}}{T} - \sum_{\alpha}^{}{j_{i}^{\alpha}M_{,i}^{\alpha}}$$
$$\text{\ \ I}_{i}E_{i} \geq \left\lbrack - \rho\left( b_{\text{ij}} + C_{\text{ijkl}}\varepsilon_{\text{kl}} + E_{\text{ij}}\theta + G_{\text{ijkl}}\varphi_{\text{kl}} \right){+ \sigma}_{\text{ij}} \right\rbrack\dot{\varepsilon_{\text{ij}}} - \rho(c_{\text{ij}} + D_{\text{ijkl}}\varphi_{\text{kl}} + F_{\text{ij}}\theta + G_{\text{ijkl}}\varepsilon_{\text{kl}})\dot{\varphi_{\text{ij}}} + \sum_{\alpha}^{}M_{c}^{\alpha - \alpha} - \frac{q_{i}{T,}_{i}}{T} - \sum_{\alpha}^{}{j_{i}^{\alpha}M_{,i}^{\alpha}}$$