4. Podstawowe pojęcia dotyczące funkcji (obraz, przeciw-obraz, funkcja odwrotna , różnowartościowa , rosnąca , złożenie funkcji)
(Paulina Miksa)
Definicja2: Obrazem zbioru A ⊂ X względem funkcji f : X → Y nazywamy zbiór:(5) f[A] = {y∈Y:(∃x ∈ A) y=f(x)} = {f(x) : x ∈ A}
Definicja3: Przeciwobrazem zbioru B ⊂ Y względem funkcji f nazywamy zbiór:
(6) f−1[B] = {xϵX:f(x)ϵB}
Definicja4: Funkcję f(x) nazywamy funkcją różnowartościową ( iniekcją) w zbiorze A, jeżeli dla każdej pary różnych wartości x1 ≠ x2 z tego zbioru odpowiadające im wartości f(x1) ≠ f(x2) są różne.
Zapis formalny: (7) ∀x1,x2ϵA (x1 ≠ x2⇒f(x1)≠f(x2))
Definicja5: Funkcja f nazywamy funkcją „na” (suriekcją) gdy rng(f)=Y tzn. zbiór wartości funkcji f przebiega cały zbiór Y: (8) ∀yϵY ∃xϵX y = f(x)
Przykład:
Przykładem może być dowolna funkcja liniowa postaci f(x) = ax + b , gdzie a, b ϵ ℝ ∧a ≠ 0.
Definicja6: Podany przykład jest jednocześnie suriekcją i iniekcją, funkcję będącą jednocześnie funkcją „na” i różnowartościową nazywamy wzajemnie jednoznaczną (bijekcją).
Definicja7: Niech dana będzie funkcja f : X → Y, gdzie X, Y ∈ ℝ. Mówimy, że funkcja f jest rosnąca
∀x1 < x2ϵX (x1<x2 ⇔ f(x1) < f(x2))
Analogicznie definiujemy funkcję malejąca tzn.:
∀x1 < x2ϵX (x1<x2 ⇔ f(x1) > f(x2))
Przykład:
Przykładem funkcji rosnącej (malejącej ) może być dowolna funkcja liniowa postaci y = ax + b, przy założeniu, że a > 0 (a<0) i bϵℝ.
Definicja8:
Niech dane będą dwie funkcje: f: X -> Y, g:Y -> Z
Mówimy, że złożeniem (superpozycją) funkcji f i g jest funkcja h: X -> Z taka, że: h(x) = g(f(x).
Formalnie zapisujemy złożenie funkcji za pomocą operatora $" \circ "$ skąd postać wygląda następująco: h = g ∘ f
∀xϵX ∀yϵY (g(y) = x ⇔ y = f(x))
Przykład: Niech f : ℝ → (0,+∞) oraz f(x) = 2x .Znajdź funkcję odwrotną do f(x)
y = 2x ⇔ x = log2y Zatem: g(x) = log2x.