Deformacje albo sprężyste odkształcenia ciał wywołane działaniem sił zewnętrznych mogą przejawiać się w różnych postaciach . Deformacja może się sprowadzać do prostego wydłużenia , a może to być np. skręcenie. Z najprostszym przykładem skręcenia spotykamy się wówczas ,gdy na element objętościowy sprężystego ciała stałego ( którego przekrój jest prostokątem ) o umocowanej podstawie działa siła F przyłożona do górnej powierzchni S tegoż elementu i do niej równoległa . Nastąpi wtedy sprężyste odkształcenie postaci, którego miarą będzie kat zsunięcia płaszczyzn bocznych α. Zgodnie z prawem Hooke’a ciśnienie jest proporcjonalne do odkształcenia, a wiec

p= $\frac{\mathbf{F}}{\mathbf{S}}$= τα (1)

gdzie τ oznacza współczynnik stały dla danego materiału , charakteryzujący jego sprężystość ( siła oporu sprężystego ) w tego rodzaju odkształceniach , zwany modułem sztywności na skręcenie albo modułem skręcenia lub też modułem torsyjnym . Jego odwrotność nosi nazwę liczby poślizgowej materiału . Należy pamiętać, że dane ciało sprężyste może mieć kilka współczynników sprężystości zależnie od rodzaju odkształcenia , któremu podlega. Jednostka modułu sztywności, zgodnie z powyższym określeniem , jest taka sama jak jednostka ciśnienia , tj .N/m² lub kG/cm^2.

W zastosowaniach technicznych i naukowych najczęściej spotykamy współczynnik sztywności w tedy , gdy ciało cylindryczne , np. drut o średnicy 2r i długości l , umocowane jest górnym końcem , a na dolnym końcu poddane działaniu sił w płaszczyźnie prostopadłej do osi walca . Siły te działają równolegle do powierzchni przekroju poprzecznego , są rozłożone równomiernie na całej powierzchni a kierunek ich jest styczny do koła przekroju . Rozłożone są poszczególne elementy przekroju działanie wszystkich tych sił, usiłujących obracać ciało naokoło osi OO₁, można zastąpić działaniem pary sił o sumie równej 2F . Ta para sił wywiera ciśnienie styczne do dolnego przekroju równe

p =$\mathbf{\text{\ \ }}\frac{\mathbf{2}\mathbf{F}}{\mathbf{\text{πr}}^{\mathbf{2}}}$ (2)

Pod działaniem tego ciśnienia zachodzi w elementach całego pręta odkształcenie polegające na skręceniu , którego miarą jest kąt Δα . zgodnie z oznaczeniami na rysunku

Δα = $\frac{\mathbf{S}}{\mathbf{l}}$ = $\frac{\mathbf{\varphi r}}{\mathbf{l}}$

Dla wszystkich elementów pręta odkształcenie jest jednakowe w środku pręta wzdłuż osi OO₁ równa się ono zeru , a w miarę zbliżania się ku zewnętrznemu obwodowi przekroju odkształcenie rośnie proporcjonalnie do promienia .

Zatem wzór określa odkształcenie warstw zewnętrznych . Odkształcenie średnie będzie równe połowie odkształcenia zewnętrznego , otrzymujemy wiec

Δα _śr =$\mathbf{\text{\ \ }}\frac{\mathbf{\varphi r}}{\mathbf{2}\mathbf{l}}$ (3)

Podstawiając wprowadzone oznaczenia do wzoru (1) możemy napisać

p = τ Δ α_sr 

gdzie τ jest to moduł sztywności na skręcanie lub

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{F}}{\mathbf{\pi}\mathbf{r}^{\mathbf{2}}}$ =τ $\frac{\mathbf{\varphi r}}{\mathbf{2}\mathbf{l}}$

A po przekształceniu

2F =τ$\frac{\mathbf{\varphi\pi}\mathbf{r}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}\mathbf{l}}$

Mnożąc obie strony przez r otrzymujemy

2Fr = τ$\frac{\mathbf{\text{πr}}^{\mathbf{4}}}{\mathbf{2}\mathbf{l}}$ φ (4)

Lewa strona przedstawia moment skręcający pary sił ,który, jak to widzimy, jest proporcjonalny do kąta skręcenia φ . Równanie (4) przepisane w myśl tych uwag ma postać

M=Dφ (5)

M – oznacza moment skręcający sił zewnętrznych ,

D- moment kierujący , który jest stałą charakteryzującą dany materiał i dane wymiar ciała .

Powstałe pod działaniem sił zewnętrznych skręcenie wywołuje we wnętrzu pręta siły oporu sprężystego , które powodują powstanie momentu obrotowego równego co do wielkości momentowi sił zewnętrznych , lecz skierowanego przeciwnie . Na tej podstawie

M_w= -Dφ (6)

M_w –jest to moment skręcający oporu sprężystego

Opierając się na równaniach (5)i (6) możemy wyznaczyć współczynnik sztywności , przy czym można zastosować metodę statyczną lup dynamiczną .

Metoda statyczna

Ze wzoru (5) wynika , że

D= $\frac{\mathbf{M}}{\mathbf{\varphi}}$

Pręt zamocowany na jednym końcu poddajemy działaniu znanego momentu skręcającego i wyznaczamy kąt skręcenia φ , poczym obliczamy wartość momentu kierującego zgodnie z powyższym wzorem . Moment kierujący jest równy momentowi skręcającemu , który odpowiada skręceniu jednostkowemu . Ponieważ

D = τ$\frac{\mathbf{\text{πr}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{l}}$ (7)

więc – mając wyznaczona wartość D oraz znane wymiary pręta możemy obliczyć wartość współczynnika sztywności τ.

Wykonanie ćwiczenia

Powyższy rys. przedstawia przyrząd , którym się posługujemy przy wyznaczaniu współczynnika sztywności metodą statyczną . Do podstawy przytwierdzona jest rama drewniana lub metalowa A . W środku górnej części ramy znajduje się nieruchomy uchwyt , w którym zamocowujemy badany pręt metalowy długości 1 m . dolny koniec pręta przytwierdzony jest za pomocą specjalnego uchwytu do poziomego krążka , który ma wcięty na obwodzie rowek . Do tego krążka są przymocowane w punktach średnicowo przeciwległych struny elastyczne przerzucone przez bloczki C₁i C₂ . Na końcu strun są zawieszone szalki S₁iS₂ . Umieszczając na szalkach jednakowe ciężarki P poddajemy pręt skręcającemu działaniu pary sił . Krążek B jest obciążony od spodu dodatkowym ciężarkiem D, którego zadaniem jest wyprostowanie skręconego pręta . Oś , na której wisi ciężarek D Przechodzi luźno przez otwór w płytce T . przytwierdzonej do ramy. Te szczegóły konstrukcyjne sprawiają, że badany pręt nie doznaje drgań bocznych, lecz może jedynie podlegać działaniu ciężarków umieszczonych na szalkach . Aby można było odczytywać kąty skręcenia , krążek B jest zaopatrzony w podziałkę kątową , przesuwającą się w stosunku do nieruchomego kolca K . Przystępując do pomiarów wyznaczamy moment kierujący D. W tym celu odejmujemy szalki S₁ i S₂ i ważymy je z dokładnością do 0,1 g . Notujemy położenie krążka B w stosunku do nieruchomego kolca; będzie to położenie a₀ . Zawieszamy szalki i nakładamy na nie ciężarki tak , aby obciążenie obu szalek było jednakowe oraz kąt skręcenia wynosił około 5^o , notujemy położenie a₁ krążka . Nakładamy nowe ciężarki , pamiętając o równomiernym obciążeniu szalek i notujemy nowe położenie a₂ krążka . Zwieszając w ten sposób obciążenie szalek otrzymujemy w ten sposób około 10 pozycji dla ciągle rosnącego kąta φ Maksymalna jego wartość może być dość znaczna (50^o-60^o) , gdyż nawet wówczas odkształcenie którego miarą jest kąt α będzie nieznaczne . Nie możemy jednak przekraczać tych wartości kątów, gdyż moglibyśmy przekroczyć granice stosowalności praw Hooke’a . Wracamy teraz do pozycji a₀ krążka przez zdjęcie ciężarków oraz szalek i przekładamy struny tak , aby obciążenie wywoływało skręcenie w przeciwnym niż uprzednio kierunku . Dopiero takie ciężarki jakie były używane w pierwszej serii pomiarów .W ten sposób dla każdego kąta skręcenia w lewo będziemy mieli odpowiadający mu kąt skręcenia w prawo . Oba te kąty umożliwiają nam obliczenie średniej wartości kąta skręcenia , odpowiadającej danemu obciążeniu .

Po wykonaniu pomiarów kąta skręcania dla różnych obciążeń mierzymy średnicę krążka 2R pamiętając o konieczności uwzględnienia głębokości rowka , w którym znajduje się struna .

Obliczamy moment skręcający

M = 2FR

Oraz moment kierujący

D=$\frac{\mathbf{M}}{\mathbf{\varphi}}$

Dla każdego obciążenia osobno , po czym obliczamy średnią wartość momentu kierującego D_śr. Wyniki możemy zilustrować M od φ .

Na osi odciętych będziemy odmierzać wartość kata φ , a na osi rzędnych – obliczone wartości momentów M. W przypadku zgodności wyników z prawem Hooke’a –wykresem będzie prosta .

Po obliczeniu średniej wartości momentu kierującego D_śr znajdujemy średnice badanego pręta 2r . Mierzymy ja śrubą mikrometryczną . Aby skompensować możliwe nierówności i ewentualną eliptyczność przekroju , dokonujemy pomiarów kilkakrotnie i w różnych kierunkach oraz w różnych miejscach pręta .

Długość pręta mierzymy miarka milimetrową od krawędzi górnego do krawędzi dolnego uchwytu .

Otrzymane wartości podstawiamy do wzoru(7) i obliczamy współczynnik sztywności

τ =$\frac{\mathbf{2}\mathbf{l}\mathbf{D}_{\mathbf{sr}}}{\mathbf{\text{πr}}^{\mathbf{4}}}$

Metoda dynamiczna

Współczynnik sztywności cienkich prętów należy wyznaczyć metodą dynamiczną, której zasadę można w skróceniu przedstawić w sposób następujący : Na druciku o zmierzonej długości L i średnicy 2r zawiesza się bryłę , tzw. Wibrator w płaszczyźnie poziomej o pewien kąt, to jednocześnie drut skręci się o ten sam kąt. W drucie powstanie moment obrotowy sił sprężystych

M= -Dφ

Które po oswobodzeniu wibratora nadawać mu będą ruch drgający o okresie

T =2π$\sqrt{\frac{\mathbf{B}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{D}}}$ (8)

Gdzie

D= $\frac{\mathbf{M}}{\mathbf{\varphi}}$ =τ $\frac{\mathbf{\pi}\mathbf{r}^{\mathbf{4}}}{\mathbf{2}\mathbf{l}}$

Jest momentem kierującym drutu. Drgający wibrator stanowi w istocie wahadło poruszane sprężystością drutu. Zmierzywszy okres wahań T oraz znając moment bezwładności B₀ – możemy na podstawie równania (8), wyznaczyć współczynnik sztywności τ.

Przyrząd używany do tego celu, jest podobny do przyrządu używanego w metodzie statycznej. Drewniana rama posiada w górnej swej części uchwyt metalowy, w którym jest umocowany badany drut. Do jego dolnego końca przymocowuje się wibrator w postaci dwu skrzyżowanych prętów zaopatrzonych w odpowiednie kołeczki; umożliwiają one przymocowanie dodatkowych mas zwiększających jego moment bezwładności. Odpowiednie przeprowadzenie pomiarów pozwala wyeliminować najpierw okres drgań nieobciążonego wibratora

T_{0 =2π}$\sqrt{\frac{\mathbf{B}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{D}}}$ (9)

Następnie – odciążonego dodanie masy o znacznym momencie bezwładności B

T₁ = 2π $\sqrt{\frac{\mathbf{B + \ }\mathbf{B}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{D}}}$ (10)

Odejmując stronami równanie (9) od równania (10) otrzymujemy

D =4π² $\frac{\mathbf{B}}{\mathbf{B}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{B}_{\mathbf{0}}^{\mathbf{2}}}$

Ponieważ

D= τ$\frac{\mathbf{\pi}\mathbf{r}^{\mathbf{4}}}{\mathbf{2}\mathbf{L}}$

Wiec współczynnik sztywności

τ= $\frac{\mathbf{8}\mathbf{\text{πLB}}}{\mathbf{r}^{\mathbf{4}}\mathbf{(}\mathbf{T}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{T}_{\mathbf{0}}\mathbf{)(}\mathbf{T}_{\mathbf{1}}\mathbf{-}\mathbf{T}_{\mathbf{0}}\mathbf{)}}$ (11)

Wykonanie ćwiczenia

Wprawiamy nie obciążony wibrator w drgania i Za pomocą stopera wyznaczamy czas trwania 100okresów. Obserwujemy przy tym przejście jakiegoś określonego punktu wibratora, np. jednego z ramion, przez nieruchomy punkt zaznaczony na ramie przyrządu. Ponieważ w tym przypadku drgania są mało tłumione, można z łatwością wyznaczyć czas dużej liczby okresów i stąd znaleźć wartość jednego okresu T_0. Taki pomiar powtarzamy trzykrotnie, po czym obliczamy średnią wartość T_0.

Następnie przymocowujemy do wibratora ciało sztywne o masie tak rozłożonej, że łatwo jest wyznaczyć jego moment bezwładności. Takim ciałem może być cienki pierścień metalowy o dość dużym promieniu R (kilkanaście cm) i masie m lub układ czterech niewielkich krążków, umieszczonych symetrycznie na czterech ramionach wibratora, każdy o masie m/4. Moment bezwładności takiego pierścienia lub układu krążków jest równy

B=m R²

Przed przymocowaniem ważymy pierścień lub krążki i miarką milimetrową mierzymy promień pierścienia lub odległości środka krążków od osi obrotu. Obciążony wibrator wprawiamy, w drgania (okażą się one powolniejsze niż poprzednie) i wyznaczamy ich okres T₁ w sposób analogiczny jak T_0.Średnicę drutu 2_r mierzymy bardzo starannie używając śruby mikrometrycznej, długość drutu L wyznaczamy miarką milimetrową. Otrzymane wyniki podstawiamy do wzoru (11) i obliczamy współczynnik w N/m² lub Kg/mm^2.

Aby otrzymać dokładne wyniki, należy obciążać wibrator dość dużymi masami dodatkowymi; wtedy bowiem zmiany okresu są duże, a błąd pomiaru jednego okresu – niewielki.

Pomiar współczynnika sztywności wykonujemy kilkakrotnie biorąc Za każdym razem pierścienie o różnej masie i różnych pomiarach.

W końcu obliczamy średnią wartości współczynnika sztywności.