Politechnika Wrocławska Wrocław, 17.01.2013r

Wydział Geoinżynierii

Górnictwa i Geologii

HYDROGEOLOGIA

SPRAWOZDANIE NR 6

Siatka hydrodynamiczna

Skład Grupy:

Joanna Szajowska

Paulina Pązik

Katarzyna Wołoszyn

Tomasz Stoparek

Krzysztof Górowski

Jacek Nowakowski

I. Wstęp teoretyczny

Siatka hydrodynamiczna jest to układ linii prądu i powierzchni ekwipotencjalnych, umożliwia ilościową analizę przepływu wód podziemnych, jest podstawa do obliczeń natężenia przepływu.

Powyższe związki są związkami Cauchy-Riemanna i oznaczają, że rodziny krzywych:

są wzajemnie ortogonalne. Układ tych linii w przypadku zagadnień przepływu wód podziemnych nazywamy siatką hydrodynamiczną przepływu. Rodzina krzywych przedstawia linie prądu (wektor prędkości jest styczny do linii prądu). Z kolei rodzina krzywych przedstawia powierzchnie ekwipotencjalne.

Rozwiązanie układu równań:

lub

pozwala nam określić siatkę hydrodynamiczną i obliczyć wielkości związane z przepływem wód podziemnych jak np. współczynnik filtracji, czy współczynnik porowatości.

Rozwiązanie układu równań można dokonać metodą graficzną, korzystając z własności siatki hydrodynamicznej. Polega ona na tym, że siatkę hydrodynamiczną wykreśla się od ręki, traktując tak otrzymany obraz za pierwsze przybliżenie rozwiązania. Następnie siatkę poprawia się tak długo, aż spełni ona następujące warunki:

linie prądu i linie ekwipotencjalne są ortogonalne,

każdy wycinek siatki będzie „kwadratowy”, tzn. średni rozstaw linii prądu i powierzchni ekwipotencjalnych będzie taki sam.

Dla tak skonstruowanej siatki hydrodynamicznej straty wysokości hydraulicznej w każdym kwadracie będą miały taką samą wartość.

Bardzo istotną właściwością siatki jest fakt, że przepływ, przez dowolny wycinek siatki w obrębie tego samego strumienia, ma taką samą wielkość.

Przy znanym wydatku wody Q, głębokości strumienia s, różnicy wysokości hydraulicznych ΔH i wymiarach warstwy wodonośnej, można określić współczynnik filtracji k ze wzoru:

.

W przypadku siatki kwadratowej:

więc współczynnik filtracji obliczymy ze wzoru:

.

Na podstawie tego rozwiązania, można też określić czas przepływu wody t_j w poszczególnych strumieniach. W tym celu wprowadzimy pojęcie średniej prędkości rzeczywistej (prędkości porowej) u. Jest ona związana z prędkością filtracji v zależnością:

gdzie n oznacza współczynnik porowatości. Czas przepływu wody w danym strumieniu t_j określa wzór:

gdzie l_j oznacza długość drogi filtracji wzdłuż j- tego strumienia.

W przypadku, gdy znany jest czas przepływu cząstek wody wzdłuż j- tego strumienia oraz współczynnik filtracji k, różnica ΔH, oraz geometria j- tego strumienia- można obliczyć współczynnik porowatości ze wzoru:

.

II. Opis badania

Rys. 1. Wymiary modelu do badania płaskiego przepływu wód podziemnych.

III. Obliczenia

Tab.1 Wyniki badań wydatku wody oraz czasu przepływu barwnika na modelu

Objętość przepływającej wody V	Czas pomiaru objętości przepływającej wody t	Wydatek wody Q	Nr linii prądu	Czas przepływu barwnika t
cm^3	s	cm^3/s		s
1000	243	4,12	I	237
			II	548
			III	953

Tabela 2. Zestawienie danych elementów siatki hydrodynamicznej do obliczania wsp. filtracji.

Nr wstegi j	lj,i, bj,i	Nr wycinka w danej wstędze	suma	wsp. Filt
		i=1	i=2	i=3
j=1	l1,i	2,5	2,1	1,7
	b1,i	1,5	1,4	1,4
	l1,i/b1,i	1,66	1,5	1,21
j=2	l2,i	2,5	2,3	1,8
	b2,i	2	1,9	1,7
	l2,i/b2,i	1,25	1,21	1,06
j=3	l3,i	3,4	2,9	2,3
	b3,i	2,8	2,8	2,4
	l3,i/b3,i	1,21	1,04	0,96
j=4	l4,i	3,5	3,3	3,2
	b4,i	4,5	4,1	3,1
	l4,i/b4,i	0,88	0,8	1,03
j=5	l5,i	4,9	4,5	4,3
	b5,i	5,8	5,4	4,3
	l5,i/b5,i	0,84	0,83	1

1. Obliczamy współczynnik filtracji gruntu korzystając ze wzoru:

gdzie:

Q=4,12 cm³/s

M =5

N=9

s = 14,5 cm

ΔH=8,5 cm

Tabela 3. Zestawienie danych do obliczenia wsp. porowatości i czasu przepływu barwnika.

Nr wstegi j	lj,i, bj,i	Nr wycinka w danej wstędze	suma	wsp. Porowatości	Czas przepływu w j-tym strumieniu
		i=1	i=2	i=3	i=4
j=2	l2,i	2,5	2,3	1,8	1
	b2,i	2	1,9	1,7	1,7
	l2,i*b2,i	5	4,37	3,06	1,7
j=3	l3,i	3,4	2,9	2,3	2
	b3,i	2,8	2,8	2,4	2,3
	l3,i*b3,i	9,52	8,12	5,52	4,6
j=4	l4,i	3,5	3,3	3,2	2,9
	b4,i	4,5	4,1	3,1	3,3
	l4,i*b4,i	15,75	13,53	9,92	9,57

Obliczamy współczynnik porowatości korzystając ze wzoru:

gdzie:

t₂=548s

k=0,051cm/s

ΔH=8,5 cm

Obliczamy współczynnik porowatości dla wstęgi j=2, zatem:

Obliczamy czasy przepływu barwnika.

Czas przepływu barwnika obliczamy korzystając z wzoru:

gdzie:

t-czas przeplywu barwnika [s]

k-współczynnik filtracji, k=0,056 cm/s

ΔH – różnica wysokości, ΔH=8,5 cm
n- współczynnik porowatości, n=0,51

IV Wnioski

W ramach ćwiczenia przeprowadzono badania przepływu wód podziemnych na płaskim modelu fizycznym. W warunkach przepływu ustalonego wprowadzano barwnik do strumienia wód podziemnych i obserwowano drogi przepływu barwnika będące jednocześnie liniami prądu. Przepływ w modelu rozwiązano teoretycznie za pomocą siatki hydrodynamicznej. Na podstawie znajomości geometrii gruntu umieszczonego w modelu, warunków brzegowych i pomiaru wydatku przepływającej wody podziemnej i czasu przepływu barwnika określono współczynnik filtracji gruntu i współczynnik porowatości umieszczonego w modelu. Wyniosły one odpowiednio k = 0,056cm/s i n = 0,51. Przyjmując te wartości określono czas przepływu barwnika wzdłuż dwóch linii prądu dla których wykonano pomiary w modelu. Obliczone wartości czasu przepływu barwnika i czasy uzyskane w modelu dość znacząco różnią się od siebie. Rozbieżności w wynikach mogą być spowodowane niedokładnością pomiarów, brakiem doświadczenia przy wykonywaniu badania lub zwykłym ludzkim błędem.