Agnieszka Kaboth 28.04.2010 r.

Rok: 3, matematyka, dr T. Biernat

środa,15:00-17:00

ĆWICZENIE 15

„Drgania masy zawieszonej na sprężynie”

Pomiary:

1. Pomiary izochronizmu drgań
   masa odważnika:

nr	Amplituda [mm]	Czas 20 drgań [s]
1	10	25,50
2	20	24,34
3	30	23,06
4	40	23,19
5	50	22,93
6	60	23,28
7	70	23,42
8	80	22,97
9	90	23,03
10	100	22,59

Amplituda [mm] 50mm	Czas 20 drgań [s]:
	22,97
	22,03
	22,88
	23,06
	22,53

Dokładność stopera:

1. Wyznaczanie współczynnika sprężystości k

	Waga odważnika [g] :
Wydłużenie sprężyny w stanie równowagi [ cm ]	100
	33,5
Wydłużenie sprężyny w stanie równowagi [ cm ]	10
	3

1. Zależność okresu drgań T od masy m obciążającej sprężynę

Okres drgań T dla poszczególnych pomiarów
nr
1
2
3
4
5
6
7
8

Opis teoretyczny:

Siła sprężystości – siła, która powoduje powrót odkształconego ciała do pierwotnego kształtu lub objętości. Dla małych odkształceń siła sprężystości jest proporcjonalna do odkształcenia, co wyraża prawo Hooke'a, które dla odkształcenia liniowego można przedstawić wzorem:

$\overrightarrow{F} = - k \bigtriangleup \overrightarrow{x}$, gdzie k- współczynnik sprężystości sprężyn; $\overrightarrow{F} -$siła sprężystości;
△$\overrightarrow{x}$- wydłużenie sprężyny.

Minus we wzorze oznacza, że siła sprężystości ma zwrot przeciwny do zwrotu zmiany długości ciała. Dlatego powoduje jej powrót do pierwotnego kształtu.

Prawo Hooke'a – prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na niego siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Równanie ruchu ciężarka zawieszonego na nieważkiej sprężynie.

Sprężyna zostaje wydłużona, jeśli siła ciężkość mg i siła sprężystości nie będą równać się zeru. Wtedy na ciało działa siła wypadkowa wówczas ciało porusza się ruchem przyśpieszonym zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona.

Ciężarek będzie poruszał się z przyśpieszeniem .

Ciężarek będzie w równowadze w połowieniu x0 , kiedy siła sprężystości Fs

zrównoważy jego ciężar: mg- kx₀ = 0, czyli równanie ruchu ma postać . Po przekształceniu tego równania i rozwiązaniu go otrzymujemy funkcje przedstawiającą drgania harmoniczne. y=Acos(ωt+φ), gdzie A to amplituda drgania, φ- faza początkowa, ω- częstość kołowa.

Izochronizm drgań- jest to właściwość niektórych układów drgających.

Z równania na okres drgań T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$, widzimy, że okres drgań zależy tylko i wyłącznie od masy ciężarka i od współczynnika sprężystości, a nie zależy od początkowego

odchylenia ciężarka od położenia równowagi. Prawo izochronizmu wahadła mówi o tym właśnie, że okres drgań nie zależy od amplitudy A. Fakt zwany izochronizmem drgań jest konsekwencją liniowego związku pomiędzy siłą sprężystą F_s a wydłużeniem x sprężyny

Ruch ciężarka zawieszonego na sprężynie, której masa m_s ≠ 0.

Ruch ten opisuje wzór podobny do wzoru T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$ , z tym, że okres drgań T jest dłuższy, równy: to jest taki, jaki byłby w przypadku nieważkiej sprężyny o takim samym współczynniku sprężystości, obciążonej ciężarkiem o łącznej masie M = m+1/3 m_s. Podnosząc obie strony do kwadratu możemy zauważyć, że T²zależy w sposób liniowe od wartości masy zawieszonej na sprężynie. . Równanie to można zapisać bardziej w sposób ogólny czyli T² = Am + B , gdzie odpowiednie współczynniki wynoszą:
-współczynnik kierunkowy ,

-wyraz wolny

OPIS DOŚWIADCZENIA:

Doświadczenie dokonujemy za pomocą układu pomiarowego, który stanowi sprężyna zamontowana na statywie, szalka oraz do szalki przymocowana jest pozioma wskazówka za pomocą, której można odczytywać wychylenia sprężyny na skali która jest centymetr krawiecki. Jako pierwsze doświadczenie wykonałam sprawdzenie izochronizmu drgań. Na szalce położyłam odważnik 50g i kolejno zwiększałam amplitudę mierząc czas 20 wahnięć dla każdej wartości amplitudy. Kolejne pomiary, które wykonałam służą do wyznaczenia współczynnika sprężystości k. Badałam wydłużenia sprężyny dla poszczególnych mas.
Ostatnie pomiary służyły do wyznaczania zależności okresu drgań T od masy m obciążającej sprężynę. W tym doświadczeniu pomiary stanowiły okres drgań dla poszczególnych mas.

OPIS OBLICZEŃ:
sprawdzanie izochronizmu drgań:
Wyznaczam średni czas trwania 20 okresów drgań dla wychylenia 50mm.
Średni czas trwania wyznaczam za pomocą średniej arytmetycznej i wynosi ona: 22,694s. Największe odchylenie od średniego to ±0, 664 czyli nasz przedział to 22,694 ±0, 664.
Sprawdzamy ile przypadków dla różnych amplitud należy do naszego przedziału. Do naszego przedziału należą wyniki dla następujących amplitud: 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10. Widać, że okres drgań nie zależy od amplitudy, widać, że tylko 3 wyniki odbiegają od średniego okresu drgań.
Mogę więc założyć, ze istnieje izochronizm drgań.

wyznaczanie współczynnika sprężystości k:

Obliczam średnie wartości wydłużeń sprężyny pod wpływem określonych obciążeń:
masa 10g: (3+3)/2=3cm F=9,81*0,01=0,0981N
masa 20g: (6,4+6,3)/2=6,35cm F=9,81*0,02=0,1962N
masa 30g: (9,7+9,6)/2=9,65cm F=9,81*0,03=0,2943N
masa 40g: (13+13,1)/2=13,05cm F=9,81*0,04=0,3924N
masa 50g: (16,5+16,6)/2=16,55cm F=9,81*0,05=0,4905N
masa 60g: (20+20,2)/2=20,1cm F=9,81*0,06=0,5886N
masa 70g: (23,2+23,4)/2=23,3cm F=9,81*0,07=0,6867N
masa 80g: (27+27)/2=27cm F=9,81*0,08=0,7848N
masa 90g: (30,2+30,4)/2=30,3cm F=9,81*0,09=0,8829N
masa 100g: (33,5+33,6)/2=33,55cm F=9,81*0,1=0,981N

Następnie sporządzam wykres siły zależności od wydłużenia. Wykres dołączony na końcu sprawozdania na papierze milimetrowym.
Wyznaczam współczynnik kierunkowy prostej. Równanie prostej y=Ax+B, gdzie B zakładam, że wychodzi 0,01m. Przyjmuję takie B ponieważ wiem, że dla wydłużenia równego zero siła również jest zero, lecz pomiar wydłużenia liczony był z dokładnością do 0,01m, więc takie postanowiłam przyjąć B. Współczynnik kierunkowy A wyznaczam za pomocą współrzędnych punktu.
0,7848=A*0,27+0,01
A*0,27=0,7848-0,01
A*0,27=0,7748

k=A=2,8696[N/m]
y=2,87x+0,01

sprawdzając dla prawa Hooke’a
0,08*9,81=k*0,27

k≈2, 91[N/m];
0,1*9,81=k*0,3355
k≈2, 92

Współczynnik kierunkowy prostej regresji i współczynnikowi k wliczonemu z prawa Hooke’a wartości są bardzo zbliżone.

zależność okresu drgań T od masy m obciążającej sprężynę:

M [kg] ciało+szalka	T^2 (s^2)
0,058	1,241
0,068	1,374
0,078	1,326
0,088	1,645
0,098	1,698
0,108	1,836
0,118	2,143
mx	1,486

Odczytane wartości A i B z wykresu funkcji:
A=12s²/kg
B=0,56 s²
y=12x+0,56
obliczone wartości A i B:
A=4*(3,14^2)/2,92=13,50s²/kg
B=(A*m_s)/3==(13,5*0,075)/3=0,34s²

B/A=0,025

Masa ciała o nieznanej wadze moim zdaniem wynosi około 47g.

WNIOSKI:

W części pierwszej wyniki nie do końca zgodziły sie z teoria (aż 3 zmierzone wartości są poza oczekiwanym przedziałem), jednak odchylenia ich od średniej są bardzo małe. Wyniki takie są dlatego ponieważ są duże niepewności pomiarowe czasu.

Druga część potwierdza zasadność stosowania prawa Hooke’a w rozważanym przedziale

przykładanych obciążeń. Niewielkie rozbieżności wyniku można tłumaczyć odkształceniem się już sprężyny przez jej duże zużycie.
Największe niedokładności wyszły mi w ostatniej części, istnieje dość spora rozbieżność z wartościami odczytanymi na wykresie a policzonymi teoretycznie. Rolę t u również odgrywa niedokładność pomiaru czasu oraz niedoskonałość sprężyny spowodowana jej zużyciem.