PROJEKT WAŁU MASZYNOWEGO

Obliczenia:

1. Wyznaczenie siły F₃₁ na kole III z warunku równowagi tak, aby wał poruszał się ruchem

jednostajnym:

$$M_{X} = 0\ \Rightarrow \ F_{11\ } \bullet \frac{D_{1}}{2} + F_{21} \bullet \frac{D_{2}}{2} - F_{31} \bullet \frac{D_{3}}{2} = 0$$

$$F_{31} = \frac{F_{11} \bullet D_{1} + F_{21} \bullet D_{2}}{D_{3}} = 5498,039\ N \approx 5,5\ kN\ $$

2. Rozłożenie siły F₂₁ na składową poziomą i pionową oraz obliczenie współrzędnych jej przyłożenia:

F_21Y = F₂₁ • sinα=1095, 928 N

F_21Z = F₂₁ • cosα = 2246, 985 N

$$y = \frac{D_{2}}{2} \bullet \cos\alpha = 0,252\ m$$

$$z = \frac{D_{2}}{2} \bullet \sin\alpha = 0,123\ m$$

3. Rozłożenie siły F_R21 na składową poziomą i pionową:

FR_21Y = FR₂₁ • cosα=830, 452 N

FR_21Z = FR₂₁ • sinα=405, 039 N

α = 180 − β₂₁ = 26

4. Wyznaczenie sił wzdłużnych i promieniowych działających na koła wału:

a) dla koła I

FX₁₁ = F₁₁ • tgβ_w11 = 476, 083 N

FR₁₁ = F₁₁ • tgα_tw11 = 997, 800 N

$$\operatorname{tg}\alpha_{tw11} = \frac{\operatorname{tg}\alpha_{\text{nw}}}{\cos\beta_{w11}}$$

tgα_nw = 20 , cosβ_w11 = 10

b) dla koła II

FX₂₁ = F₂₁ • tgβ_w21 = 440, 817 N

FR₂₁ = F₂₁ • tgα_tw21 = 923, 963 N

$$\operatorname{tg}\alpha_{tw21} = \frac{\operatorname{tg}\alpha_{\text{nw}}}{\cos\beta_{w21}}$$

tgα_nw = 20 , cosβ_w21 = 10

c) dla koła III

FX₃₁ = F₃₁ • tgβ_w31 = 0 N

FR₃₁ = F₃₁ • tgα_tw31 = 2001, 836 N

$$\operatorname{tg}\alpha_{tw31} = \frac{\operatorname{tg}\alpha_{\text{nw}}}{\cos\beta_{w31}}$$

tgα_nw = 20 , cosβ_w31 = 0

5. Obliczenie wartości reakcji podpór w płaszczyźnie πXZ:

$$\sum_{}^{}{F_{Z}:\ R_{A} - FR_{11} + F_{21Z} - FR_{21Z} - F_{31} + R_{B} = 0\ }$$

$$\sum_{}^{}{M_{A}:} - FX_{11} \bullet \frac{D_{1}}{2} - FR_{11} \bullet \text{CK}_{1} - F_{21Z} \bullet \text{CK}_{2} + \text{FX}_{21} \bullet z + \text{FR}_{21Z} \bullet \text{CK}_{2} + F_{31} \bullet \text{CK}_{3} - R_{B} \bullet C = 0$$

$${R_{B} = \frac{1812,940}{0,27} = 6714,593\ N}_{\ }$$

R_A = FR₁₁ − F_21Z + FR_21Z + F₃₁ − R_B = −2058, 739 N

6. Obliczenie momentów gnących działających na wał w płaszczyźnie πXZ:

C−A:

$$M_{g} = - \text{FR}_{11} \bullet x - \text{FX}_{11} \bullet \frac{D_{1}}{2}$$

$$M_{C} = - \text{FR}_{11} \bullet 0 - \text{FX}_{11} \bullet \frac{D_{1}}{2} = {- FX}_{11} \bullet \frac{D_{1}}{2} = - 123,782\ Nm$$

$$M_{A} = - \text{FR}_{11} \bullet \text{CK}_{1} - \text{FX}_{11} \bullet \frac{D_{1}}{2} = - 293,408\ Nm$$

A−D:

$$M_{g} = - \text{FR}_{11} \bullet x - \text{FX}_{11} \bullet \frac{D_{1}}{2} + R_{A} \bullet (x - \text{CK}_{1})$$

$$M_{A} = - \text{FR}_{11} \bullet \text{CK}_{1} - \text{FX}_{11} \bullet \frac{D_{1}}{2} + R_{A} \bullet 0 = \text{FR}_{11} \bullet \text{CK}_{1} - \text{FX}_{11} \bullet \frac{D_{1}}{2} = - 293,408\ Nm$$

$$M_{D} = - \text{FR}_{11} \bullet \left( \text{CK}_{1} + \text{CK}_{2} \right) - \text{FX}_{11} \bullet \frac{D_{1}}{2} + R_{A} \bullet \text{CK}_{2} = - 721,323\ Nm$$

D−B:

$$M_{g} = - \text{FR}_{11} \bullet x - \text{FX}_{11} \bullet \frac{D_{1}}{2} + R_{A} \bullet \left( x - \text{CK}_{1} \right) + F_{21Z} \bullet \left\lbrack x - \left( \text{CK}_{1} + \text{CK}_{2} \right) \right\rbrack -$$

−FR_21Z • [x−(CK₁+CK₂)] + FX₂₁ • z

$$M_{D} = - \text{FR}_{11} \bullet \left( \text{CK}_{1} + \text{CK}_{2} \right) - \text{FX}_{11} \bullet \frac{D_{1}}{2} + R_{A} \bullet \text{CK}_{2} + \text{FX}_{21} \bullet z = - 667,103\ Nm$$

$$M_{B} = - \text{FR}_{11} \bullet \left( \text{CK}_{1} + C \right) - \text{FX}_{11} \bullet \frac{D_{1}}{2} + R_{A} \bullet C + F_{21Z} \bullet \left( C - \text{CK}_{2} \right) -$$

−FR_21Z • (C−CK₂) + FX₂₁ • z = −825 Nm

E−B:

M_g = −F₃₁ • x

M_B = −F₃₁ • (CK₃−C) = −825 Nm

M_E = −F₃₁ • 0 = 0 Nm

7. Obliczenie wartości reakcji podpór w płaszczyźnie πXY:

$$\sum_{}^{}{F_{Y}:\ F_{11} + R_{A} + F_{21Y} - FR_{21Y} + R_{B} + \text{FR}_{31} = 0\ }$$

$$\sum_{}^{}{M_{A}:}\ F_{11} \bullet \text{CK}_{1} - F_{21Y} \bullet \text{CK}_{2} - \text{FR}_{21Y} \bullet \text{CK}_{2} - \text{FX}_{21} \bullet y + R_{B} \bullet C - \text{FR}_{31} \bullet \text{CK}_{3} = 0$$

$$R_{B} = - \frac{762,550}{0,27} = - 2824,259\ N$$

R_A = −F₁₁ − F_21Y − FR_21Y − R_B − FR₃₁ = −3803, 957 N

8. Obliczenie momentów gnących działających na wał w płaszczyźnie πXY:

C−A:

M_g = F₁₁ • x

M_C = F₁₁ • 0 = 0 Nm

M_A = F₁₁ • CK₁ = 459 Nm

A−D:

M_g = F₁₁ • x + R_A • (x−CK₁)

M_A = F₁₁ • CK₁ + R_A • 0 = F₁₁ • CK₁ = 459 Nm

M_D = F₁₁ • (CK₁+CK₂) + R_A • CK₂ = 304, 446 Nm

D−B:

M_g = F₁₁ • x + R_A • (x−CK₁) + F_21Y • [x−(CK₁+CK₂)] + FR_21Y • [x−(CK₁+CK₂)] − FX₂₁ • y

M_D = F₁₁ • (CK₁+CK₂) + R_A • CK₂ − FX₂₁ • y = 193, 36  Nm

M_B = F₁₁ • (CK₁+C) + R_A • C + F_21Y • (C−CK₂) + FR_21Y • (C−CK₂) − FX₂₁ • y = 300, 275 Nm

E−B:

M_g = FR₃₁ • x

M_B = FR₃₁ • (CK₃−C) = 300, 275 Nm

M_E = FR₃₁ • 0 = 0 Nm

9. Wyznaczenie zastępczego momentu gnącego:

$$C:\ \ \ M_{C} = \sqrt{{M_{\text{CXZ}}}^{2} + {M_{\text{CXY}}}^{2}} = 123,782\ Nm$$

$$A:\ \ \ M_{A} = \sqrt{{M_{\text{AXZ}}}^{2} + {M_{\text{AXY}}}^{2}} = 544,765\ Nm$$

$$D1:\ \ \ M_{D1} = \sqrt{{M_{D1XZ}}^{2} + {M_{D1XY}}^{2}} = 782,939\ Nm$$

$$D2:\ \ \ M_{D2} = \sqrt{{M_{D2XZ}}^{2} + {M_{D2XY}}^{2}} = 694,554\ Nm$$

$$B:\ \ \ M_{B} = \sqrt{{M_{\text{BXZ}}}^{2} + {M_{\text{BXY}}}^{2}} = 877,947\ Nm$$

$$E:\ \ \ M_{E} = \sqrt{{M_{\text{EXZ}}}^{2} + {M_{\text{EXY}}}^{2}} = 0\ Nm$$

10. Wyznaczenie momentu skręcającego:

C−D:

$$M_{S} - \frac{F_{11} \bullet D_{1}}{2} = 0$$

$$M_{S} = \frac{F_{11} \bullet D_{1}}{2} = 702\ Nm$$

D−E:

$$M_{S} - \frac{F_{11} \bullet D_{1}}{2} - \frac{F_{21} \bullet D_{2}}{2} = 0$$

$$M_{S} = \frac{F_{11} \bullet D_{1}}{2} + \frac{F_{21} \bullet D_{2}}{2} = 1402\ Nm$$

11. Wykresy momentów gnących w płaszczyznach πXZ i πXY na podstawie wyznaczonych powyżej

wartości:

12. Wykres momentu skręcającego:

13. Wykres zastępczego momentu gnącego:

14. Wyznaczenie zastępczego momentu obliczeniowego wału:

$$\sigma_{z} = \sqrt{{\sigma_{g}}^{2} + \left( {m \bullet \tau}_{s} \right)^{2}}$$

$$m = \frac{k_{\text{go}}}{k_{\text{sj}}} = \frac{z_{\text{go}}}{z_{\text{sj}}}$$

Ustalenie współczynnika redukcyjnego m dla stali 35 (C35), węglowej konstrukcyjnej wyższej jakości do ulepszania cieplnego, użytej jako materiał wału.

z_go = 220 MPa

z_sj = 260 MPa

$$m = \frac{z_{\text{go}}}{z_{\text{sj}}} = 0,846$$

$$\sigma_{g} = \left( \frac{M_{g}}{W_{X}} \right)^{2},\ \tau_{s} = \frac{M_{S}}{W_{0}}$$

$$\frac{M_{Z}}{W_{X}} = \sqrt{\left( \frac{M_{g}}{W_{X}} \right)^{2} + \left( m \bullet \frac{M_{S}}{W_{0}} \right)^{2}}$$

W_O = 2 • W_X

$$\frac{M_{Z}}{W_{X}} = \sqrt{\left( \frac{M_{g}}{W_{X}} \right)^{2} + \frac{m^{2}}{4} \bullet \left( \frac{M_{S}}{W_{X}} \right)^{2}}$$

$$M_{Z}\left( x \right) = \sqrt{{M_{g}}^{2}\left( x \right) + \frac{m^{2}}{4} \bullet {M_{s}}^{2}\left( x \right)}$$

• wykres zredukowanego momentu skręcającego M′_S(x) wykreślony na podstawie:

$${{M'}_{S}}^{2}\left( x \right) = \frac{m^{2}}{4} \bullet {M_{s}}^{2}(x)$$

• zastępczy moment obliczeniowy:

$$C:\ \ \ M_{Z}\left( x \right) = \sqrt{{M_{g}}^{2}\left( x \right) + {{M'}_{S}}^{2}\left( x \right)} = 321,712\ Nm$$

$$A:\ \ \ M_{Z}\left( x \right) = \sqrt{{M_{g}}^{2}\left( x \right) + {{M'}_{S}}^{2}\left( x \right)} = 620,440\ Nm$$

$$D1:\ \ \ M_{Z}\left( x \right) = \sqrt{{M_{g}}^{2}\left( x \right) + {{M'}_{S}}^{2}\left( x \right)} = 837,359\ Nm$$

$$D2:\ \ \ M_{Z}\left( x \right) = \sqrt{{M_{g}}^{2}\left( x \right) + {{M'}_{S}}^{2}\left( x \right)} = 913,296\ Nm$$

$$B:\ \ \ M_{Z}\left( x \right) = \sqrt{{M_{g}}^{2}\left( x \right) + {{M'}_{S}}^{2}\left( x \right)} = 1059,478\ Nm$$

$$E:\ \ \ M_{Z}\left( x \right) = \sqrt{{M_{g}}^{2}\left( x \right) + {{M^{'}}_{S}}^{2}\left( x \right)} = 593,046\ Nm$$

15. Wykres zastępczego momentu obliczeniowego na podstawie uzyskanych powyżej wartości:

16. Zarys teoretyczny. Wyznaczenie średnic związanych z poszczególnymi długościami wału:

$$d \geq \sqrt[3]{\frac{32 \bullet M_{Z}}{\pi \bullet k_{\text{go}}}}$$

$$k_{\text{go}} = \frac{z_{\text{go}}}{x} = 62,857\ MPa \approx 63\ MPa$$

x = 3, 5− współczynnik bezpieczeństwa dla wału maszynowego

a) moment gnący w płaszczyźnie πXZ:

C−A:

M_g(x = 0, 06)= − 183, 6m

M_g(x = 0, 085)= − 208, 595 Nm

M_g(x=0,12) = −243, 518 Nm

A−D:

M_g(x = 0, 22)= − 446, 235 Nm

M_g(x = 0, 27)= − 599, 061 Nm

D − B:

M_g(x = 0, 35)= − 715, 686 Nm

M_g(x = 0, 4)= − 776, 416 Nm

B − E:

M_g(x = 0, 49)= − 550 Nm

M_g(x = 0, 54)= − 275 Nm

b) moment gnący w płaszczyźnie πXY:

C − A:

M_g(x = 0, 06)=162 Nm

M_g(x = 0, 085)=229, 5 Nm

M_g(x = 0, 12)=324 Nm

A−D:

M_g(x = 0, 22)=403, 802 Nm

M_g(x = 0, 27)=348, 604 Nm

D−B:

M_g(x = 0, 35)=226, 257 Nm

M_g(x=0,4) = 267, 378 Nm

B−E:

M_g(x=0,49) = 200, 184 Nm

M_g(x=0,54) = 100, 092 Nm

c) zastępczy moment gnący:

C−A:

M_gz(x=0,06) = 244, 890 Nm

M_gz(x=0,085) = 310, 132 Nm

M_gz(x=0,12) = 405, 311 Nm

A−D:

M_gz(x=0,22) = 601, 815 Nm

M_gz(x=0,27) = 693, 108 Nm

D−B:

M_gz(x=0,35) = 750, 599 Nm

M_gz(x=0,4) = 821, 166 Nm

B−E:

M_gz(x=0,49) = 585, 295 Nm

M_gz(x=0,54) = 292, 649 Nm

d) zastępczy moment obliczeniowy:

C−A:

M_z(x=0,06) = 384, 900 Nm

M_z(x=0,085) = 429, 370 Nm

M_z(x=0,12) = 502, 448 Nm

A−D:

M_z(x=0,22) = 671, 087 Nm

M_z(x=0,27) = 754, 04 Nm

D−B:

M_z(x=0,35) = 956, 610 Nm

M_z(x=0,4) = 1012, 925 Nm

B−E:

M_z(x=0,49) = 833, 233 Nm

M_z(x=0,54) = 661, 322 Nm

e) minimalne wartości średnic dla poszczególnych długości wału:

d(x=0) ≥  37, 4 mm

d(x=0,06) ≥  39, 7 mm

d(x=0,085) ≥  41, 1 mm

d(x=0,12) ≥  43, 3 mm

d(x=0,22) ≥  47, 7 mm

d(x=0,27) ≥  49, 6 mm

d(x=0,31) ≥  52, 9 mm

d(x=0,35) ≥  53, 7 mm

d(x=0,4) ≥  54, 8 mm

d(x=0,44) ≥  55, 6 mm

d(x=0,49) ≥  51, 3 mm

d(x=0,54) ≥  47, 5 mm

d(x=0,59) ≥  45, 8 mm

17. Wyznaczenie nośności statycznej i dynamicznej łożysk. Dobór łożysk:

a) łożysko ustalające A

$n = 1500,164\ \frac{\text{obr}}{\min}$

T = 10 000 h

$$P_{P} = \sqrt{{R_{\text{AXZ}}}^{2} + {R_{\text{AXY}}}^{2}} = 4325,332\ N$$

P_W = FX₁₁ − FX₂₁ = 35, 266 N

X = 1

V = 1

Y = 0

P_A = X • V • P_P + Y • P_W = 4325, 332 N

P₁ = 0, 5 • 4325, 332 N = 2162, 666 N

P₂ = 0, 75 • 4325, 332 N = 3243, 999 N

P₃ = 1 • 4325, 332 N = 4325, 332 N

$$P = \sqrt[3]{{P_{1}}^{3} \bullet \frac{T_{1}}{100} + {P_{2}}^{3} \bullet \frac{T_{2}}{100} + {P_{3}}^{3} \bullet \frac{T_{3}}{100}} = 3721,077\ N$$

$$L = \frac{n \bullet T_{1} + n \bullet T_{2} + n \bullet T_{3}}{10^{6}} = \frac{L_{h} \bullet n \bullet 60}{10^{6}} = 900,116$$

$$C = P_{3} \bullet \sqrt[3]{L} = 41762,422\ N \approx 4176,242\ daN\ $$

$$C = P \bullet \sqrt[3]{L} = 35928,152\ N \approx 3592,815\ daN$$

C₀ = s₀ • P₀ = 0, 5 • 4325, 332 N = 2162, 666 N ≈ 216, 267 daN

C₀ = s₀ • P₀ = 1, 5 • 4325, 332 N = 6487, 998 N ≈ 648, 8 daN

Na podstawie nośności łożyska oraz średnicy jego osadzenia dobieram łożysko kulkowe zwykłe 6213.

b) łożysko pływające B

$n = 1500,164\ \frac{\text{obr}}{\min}$

T = 10 000 h

$$P_{P} = \sqrt{{R_{\text{BXZ}}}^{2} + {R_{\text{BXY}}}^{2}} = 7284,380\ N$$

P_W = 0 N

X = 1

V = 1

Y = 0

P_B = X • V • P_P + Y • P_W = 7284, 380 N

P₁ = 0, 5 • 7284, 380 N = 3642, 19 N

P₂ = 0, 75 • 7284, 380 N = 5463, 285 N

P₃ = 1 • 7284, 380 N = 7284, 380 N

$$P = \sqrt[3]{{P_{1}}^{3} \bullet \frac{T_{1}}{100} + {P_{2}}^{3} \bullet \frac{T_{2}}{100} + {P_{3}}^{3} \bullet \frac{T_{3}}{100}} = 6266,742\ N$$

$$L = \frac{n \bullet T_{1} + n \bullet T_{2} + n \bullet T_{3}}{10^{6}} = \frac{L_{h} \bullet n \bullet 60}{10^{6}} = 900,116$$

$$C = P_{3} \bullet \sqrt[3]{L} = 70332,948\ N \approx 7033,295\ daN\ $$

$$C = P \bullet \sqrt[3]{L} = 60507,337\ N \approx 6050,734\ daN$$

C₀ = s₀ • P₀ = 0, 5 • 7284, 380 N = 3642, 19 N = 364, 219 daN

C₀ = s₀ • P₀ = 1, 5 • 7284, 380 N = 10926, 57 N = 1092, 657 daN

Na podstawie nośności łożyska oraz średnicy jego osadzenia dobieram łożysko kulkowe zwykłe 6215.

18. Dobór i obliczenie długości wpustów pryzmatycznych:

I) uwzględniając średnicę czopa, na którym zastosowane zostanie połączenie wpustowe, zakładam

dwa wpusty pryzmatyczne typu A zaokrąglone pełne o wymiarach przekroju 16x10 na podstawie

normy PN­-70/M-85005

$$M_{1} = \frac{F_{11} \bullet D_{1}}{2} = 702000\ Nmm$$

$$l_{c} = \frac{4 \bullet M_{1}}{d \bullet h \bullet p_{\text{dop}} \bullet i} = 36,870\ mm \approx 37\ mm$$

l = l_c + b = 53 mm

d = 56 mm

h = 10 mm

p_dop = 0, 8 • k_cj = 68 MPa

i − ilosc wpustow

Zalecana minimalna długość wpustu dla dobranego przekroju wynosi l = 45 mm, dobieram więc dwa wpusty pryzmatyczne zaokrąglone pełne A16x10x53.

II) uwzględniając średnicę czopa, na którym zastosowane zostanie połączenie wpustowe, zakładam

dwa wpusty pryzmatyczne typu A zaokrąglone pełne o wymiarach przekroju 22x14 na podstawie

normy PN­-70/M-85005

$$M_{1} = \frac{F_{21} \bullet D_{2}}{2} = 700000\ Nmm$$

$$l_{c} = \frac{4 \bullet M_{1}}{d \bullet h \bullet p_{\text{dop}} \bullet i} = 18,854\ mm \approx 19\ mm$$

l = l_c + b = 41 mm

d = 78 mm

h = 14 mm

p_dop = 0, 8 • k_cj = 68 MPa

i − ilosc wpustow

Zalecana minimalna długość wpustu dla dobranego przekroju wynosi l = 63 mm, dobieram więc dwa wpusty pryzmatyczne zaokrąglone pełne A22x14x63.

III) uwzględniając średnicę czopa, na którym zastosowane zostanie połączenie wpustowe, zakładam

dwa wpusty pryzmatyczne typu A zaokrąglone pełne o wymiarach przekroju 20x12 na podstawie

normy PN­-70/M-85005

$$M_{1} = \frac{F_{31} \bullet D_{3}}{2} = 1402500\text{\ Nmm}$$

$$l_{c} = \frac{4 \bullet M_{1}}{d \bullet h \bullet p_{\text{dop}} \bullet i} = 49,107\ mm \approx 50\text{\ mm}$$

l = l_c + b = 70 mm

d = 70 mm

h = 12 mm

p_dop = 0, 8 • k_cj = 68 MPa

i − ilosc wpustow

Zalecana minimalna długość wpustu dla dobranego przekroju wynosi l = 56 mm, dobieram więc dwa wpusty pryzmatyczne zaokrąglone pełne A20x12x70.