1. Wstęp.

Na podstawie kinematyki manipulatora jesteśmy w stanie zdefiniować macierz, która jest zależna od aktualnej konfiguracji manipulatora i przekształca wektor prędkości poszczególnych przegubów w wektor prędkości ruchu narzędzia roboczego. Macierz o której mowa to jakobian. W zależności od tego jak będziemy go definiowali będziemy uzyskiwali różne wektory prędkości efektora.

2. Przedstawienie obiektu badań.

a) analiza strukturalna

Rodzaje par kinematycznych	Obrotowe
Liczba więzów	5
Liczba stopni swobody	1
Klasa par kinematycznych	5
Oznaczenie

Ruchliwość manipulatora możemy obliczyć z zależności:

W = 6n_r - 5p₅ - 4p₄ - 3p₃ - 2p₂ - p₁

Gdzie:

n_r - liczba ogniw ( ruchomych )

p₅-p₁ - liczba par klasy określonej indeksem

W naszym wypadku ruchliwość wynosi :

W = 6*6 – 5*6 = 6

b) pozycja i orientacja członu roboczego względem układu podstawy manipulatora

Wektor pozycji: ${p^{a,m} = \begin{bmatrix} p^{x} & p^{y} & p^{z} \\ \end{bmatrix}}^{T}$

Macierz orientacji: $B^{a,m} = \begin{bmatrix} \cos({\hat{x}}^{a},{\hat{x}}^{m}) & \cos({\hat{y}}^{a},{\hat{x}}^{m}) & \cos({\hat{z}}^{a},{\hat{x}}^{m}) \\ \cos({\hat{x}}^{a},{\hat{y}}^{m}) & \cos({\hat{y}}^{a},{\hat{y}}^{m}) & \cos({\hat{z}}^{a},{\hat{y}}^{m}) \\ \cos({\hat{x}}^{a},{\hat{z}}^{m}) & \cos({\hat{y}}^{a},{\hat{z}}^{m}) & \cos({\hat{z}}^{a},{\hat{z}}^{m}) \\ \end{bmatrix}$

c) kąty Eulera

Kąty Eulera są kąty które określają położenie dwóch układów kartezjańskich względem siebie.

Obrót wokół osi X

$$B_{x}(\alpha) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \text{cosα} & - sin\alpha \\ 0 & \text{sinα} & \text{cosα} \\ \end{bmatrix}$$

Obrót wokół osi Y₁

$$B_{y_{1}}(\beta) = \begin{bmatrix} \text{cosβ} & 0 & \text{sinβ} \\ 0 & 1 & 0 \\ \text{sinβ} & 0 & \text{cosα} \\ \end{bmatrix}$$

Obrót wokół osi Z₂

$$B_{Z_{2}}(\gamma) = \begin{bmatrix} \text{cosγ} & - sin\gamma & 0 \\ \text{sinγ} & \text{cosγ} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

Prawo składania dla obrotów:

B_{x − y′−z″}(α, β, γ)=B_x(α)•B_y′(β)•B_z″(γ)=

=$\begin{bmatrix} \cos\gamma \bullet \cos\beta & - \left( \sin{\gamma \bullet \cos\beta} \right) & \sin\beta \\ \sin{\gamma \bullet \cos\alpha} + \cos\gamma \bullet \sin\alpha \bullet \sin\beta & \cos{\gamma \bullet \cos{\alpha - \sin{\gamma \bullet \sin{\alpha \bullet \sin\beta}}}} & - \left( \cos{\beta \bullet \sin\alpha} \right) \\ \sin{\gamma \bullet \sin{\alpha - \cos{\gamma \bullet \cos{\alpha \bullet \sin\beta}}}} & \cos{\gamma \bullet \sin{\alpha + \sin{\gamma \bullet \cos{\alpha \bullet \sin\beta}}}} & \cos{\alpha \bullet \cos\beta} \\ \end{bmatrix}$

3. Wykonanie pomiarów:

Nasze ćwiczenie polegało na wyznaczeniu macierzy Jakobiego, a jego przebieg był następujący. Na wstępie odczytaliśmy początkowe współrzędne kartezjańskie chwytaka, czyli naszego punktu P1. Następnie kolejno zmienialiśmy wartość kątów θ, odpowiednich dla każdego przegubu o wartość +1⁰. Po każdej zmianie odpowiedniego kąta θ spisywaliśmy współrzędne punktu P1. Kolejnym krokiem było wykonanie trzech dodatkowych pomiarów dla θ1 , θ2 i θ3 , przy zmianie ich wartości o -1⁰. Odczytane dane wprowadziliśmy to programu MATLAB, dzięki któremu obliczyliśmy macierz Jakobiego.

$$J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial\theta_{1}} & \frac{\partial x}{\partial\theta_{2}} & \frac{\partial x}{\partial\theta_{3}} & \frac{\partial x}{\partial\theta_{4}} & \frac{\partial x}{\partial\theta_{5}} & \frac{\partial x}{\partial\theta_{6}} \\ \frac{\partial y}{\partial\theta_{1}} & \frac{\partial y}{\partial\theta_{2}} & \frac{\partial y}{\partial\theta_{3}} & \frac{\partial y}{\partial\theta_{4}} & \frac{\partial y}{\partial\theta_{5}} & \frac{\partial y}{\partial\theta_{6}} \\ \frac{\partial z}{\partial\theta_{1}} & \frac{\partial z}{\partial\theta_{2}} & \frac{\partial z}{\partial\theta_{3}} & \frac{\partial z}{\partial\theta_{4}} & \frac{\partial z}{\partial\theta_{5}} & \frac{\partial z}{\partial\theta_{6}} \\ \frac{\partial\alpha}{\partial\theta_{1}} & \frac{\partial\alpha}{\partial\theta_{2}} & \frac{\partial\alpha}{\partial\theta_{3}} & \frac{\partial\alpha}{\partial\theta_{4}} & \frac{\partial\alpha}{\partial\theta_{5}} & \frac{\partial\alpha}{\partial\theta_{6}} \\ \frac{\partial\beta}{\partial\theta_{1}} & \frac{\partial\beta}{\partial\theta_{2}} & \frac{\partial\beta}{\partial\theta_{3}} & \frac{\partial\beta}{\partial\theta_{4}} & \frac{\partial\beta}{\partial\theta_{5}} & \frac{\partial\beta}{\partial\theta_{6}} \\ \frac{\partial\gamma}{\partial\theta_{1}} & \frac{\partial\gamma}{\partial\theta_{2}} & \frac{\partial\gamma}{\partial\theta_{3}} & \frac{\partial\gamma}{\partial\theta_{4}} & \frac{\partial\gamma}{\partial\theta_{5}} & \frac{\partial\gamma}{\partial\theta_{6}} \\ \end{bmatrix}$$

Macierz Jacobiego dla wykonanych pomiarów:

Wnioski wyciągnięte na zajęciach podczas obserwacji obiektu badań:

	x	y	z
θ1 + 1	Znaczne odchylenie	Niewielkie odchylenie	Nie zmienia się
θ2 + 1	Nie zmienia się	Znaczne odchylenie	Niewielkie odchylenie
θ3 + 1	Nie zmienia się	Znaczne odchylenie	Niewielkie odchylenie
θ4 + 1	Znaczne odchylenie	Nie zmieni się	Niewielkie odchylenie
θ5 + 1	Nie zmieni się	Niewielkie odchylenie	Znaczne odchylenie
θ6 + 1	Nie zmieni się	Nie zmieni się	Nie zmieni się

Po przeanalizowaniu wyników macierzy Jacobiego zauważamy błąd w ostatniej kolumnie ponieważ podczas zmiany kąta θ₆ nie powinna nastąpić zmiana współrzędnych na żadnej z osi ponieważ efektor zmienia nie zmienia swojego położenia, zmienia się jedynie sposób osiągania punktu przez narzędzie.

4. Wnioski

Nasze doświadczenie poruszyło istotną kwestie konfiguracji manipulatora, które można podzielić na regularne oraz osobliwe (nieregularne). Konfiguracja osobliwa występuje w tedy kiedy macierz Jakobiego nie jest kwadratowa, jeżeli ma ona wymiary mxn to n<m. Wtedy mogą pojawić się tak zwane ruchy osobliwe, czyli takie kiedy ruch danego przegubu nie wpływa na zmianę położenia chwytaka, jest to znakiem tego, że manipulator stracił stopień swobody. Takie zjawisko może spowodować trudności w sterowaniu manipulatorem, a czasem nawet do jego całkowitego unieruchomienia. Wyeliminowanie takiego stanu rzeczy jest często bardzo trudne. Z wyznacznika macierzy Jakobiego można określić czy takie zjawisko ma miejsce, jeżeli jest on równy zeru macierz traci rząd wielkości, a co za tym idzie topień swobody.