Wypływ cieczy z otworów

32. Ustalony wypływ cieczy z małego otworu niezatopionego

Wypływ cieczy z otworów w dnie lub ściance zbiornika jest ustalony, gdy prędkość i wydatek nie zmieniają się w czasie H=const.

Jeżeli wypływ z otworu odbywa się do atmosfery lub do odbiornika, w którym zwierciadło cieczy wznosi się poniżej dolnego punktu otworu to jest to otwór niezatopiony.

Równanie Bernoulliego

$$z_{1\ \ } + \frac{p_{1}}{\gamma} + \frac{\alpha v_{1}^{2}}{2g} = z_{2} + \frac{p_{2}}{\gamma} + \frac{\alpha v_{2}^{2}}{2g} + h_{s}$$

Równanie ciągłości

V₁ F₁ =  V₂ F₂

Przyjmujemy α=1

$$h_{s} = \frac{v_{2}^{2}}{2g}$$

$$v_{1} = v_{2}\ \frac{F_{2}}{F_{1}}$$

H=z₁ − z₂

$$v_{2} = \sqrt{\frac{2g(H + \frac{p_{1} - p_{)}}{\gamma})}{1 + \xi - \frac{F_{2}^{2}}{F_{1}^{2}}}}$$

Dla p₁ = p₂ oraz ${(\frac{F_{2}}{F_{1}})}^{2} = 0$

$v_{2} = \sqrt{\frac{2\text{gH}}{1 + \xi}}\ $=$\sqrt{\frac{1}{1 + \xi}}*\sqrt{2\text{gH}}$ gdzie ξ to współczynnik prędkości, który zmniejsza prędkość w zależności od wielkości straty lokalnej i wynosi 0,96 -0,99

Średnia prędkość z małego otworu $v_{2} = \varphi\sqrt{2\text{gH}}$

H –zagłębienie środka otworu pod zwierciadłem cieczy

$$\kappa = \frac{F}{F_{2}} < 1$$

Obliczamy wydatek takiego otworu

$$Q = F\ V_{2} = F_{2}\text{κφ}\sqrt{2\text{gH}}$$

33.Wypływ cieczy przez przystawki

Przystawką nazywamy króciec stanowiący krótką rurę obramowującą otwór w ściankach lub dni zbiornika, a także końcówkę wylotową z przewodu. Przystawki stosowane są dla ograniczenia wpływu dławienia strumienia na wydatek otworu.

Podział przystawek według

1. Kierunku położenia ich osi: poziome, pionowe i skośne

2. Lokalizacji w stosunku do ściany zbiornika: zewnętrzne i wewnętrzne

3. Kształtu przekroju poprzecznego: koło, kwadratowe, prostokątne i inne

4. Kształtu przekroju podłużnego: cylindryczne, stożkowe zbieżne i rozbieżne, dyszowe.

Przystawki nadają odpowiedni kształt liniom pola strumienia, które po początkowym oderwaniu się od ścianek najczęściej ponownie na niewielkiej odległości przylegają do nich, powodując w otoczeniu przewężenia i ścianek powstanie podciśnienia, które działa ssąco i zwiększa współczynnik wydatku a tym samym i natężenie wypływu.

34.Ustalony wypływ cieczy przez otwór zatopiony

$$z_{1} + \frac{p_{1}}{\gamma} + \frac{\alpha v_{1}^{2}}{2g} = z_{2} + \frac{p_{2}}{\gamma} + \frac{\alpha v_{2}^{2}}{2g} + h_{s}$$

zakladamy

$$\alpha = 1,\ v_{1} < v_{2},\ \text{zatem}\ \frac{v_{1}^{2}}{2g} = 0\ \ \ h_{s} = \xi\frac{v^{2}}{2g},\ p_{1} = p_{2}$$

p₂ = p_a + γz₀

otrzymujemy

$$z_{1} - z_{2} - z_{0} = \frac{v_{2}^{2}}{2g}\left( 1 + \xi \right) = h$$

Stąd średnia prędkość wypływu $v_{2} = \sqrt{\frac{1}{1 + \xi}\sqrt{2\text{gh}}}$ $v_{2} = \varphi\sqrt{2\text{Gh}}$

Wydatek otworu zatopionego $Q = F_{2}\varphi\sqrt{2gh}$ , h- różnica poziomów cieczy w zbiornikach, czyli prędkość wydatek nie zależą od zagłębienia otworu jak w niezatopionych. Prędkość wypływu cieczy jest jednakowa w każdym punkcie otworu, zatem nie zachodzi tutaj potrzeba podziału na otwory o małych i dużych przekrojach.

35.Ustalony wypływ z cieczy z dużego otworu niezatopionego

Na głębokości z wyodrębniamy elementarną powierzchnię dF, której wysokość dz jest tak mała, że możemy obliczyć prędkość wypływu jak z małego otworu, który upraszczamy do postaci:

$$v = \varphi\sqrt{2g\left( z + \frac{v_{0}^{2}}{2g} \right)}$$

Obliczamy elementarny wydatek /dQ/ otworu o powierzchni dF= xy =x$\ \frac{\text{xdz}}{\ \text{sinα}}$

$$\text{dQ} = v\ \text{dF} = \ \varphi\sqrt{2g\left( z + \frac{v_{0}^{2}}{2g} \right)}*\frac{\text{xdz}}{\text{sinα}}$$

Wprowadźmy współczynnik wydatku μ = φκ  chociaż dla elementu κ = 1 stąd

$$\text{dQ} = \frac{\text{μx}\sqrt{2g}}{\text{sinα}}*\sqrt{\left( z + \frac{v_{0}^{2}}{2g} \right)}\text{dz}$$

Chcąc obliczyć całkowity wydatek otworu o powierzchni F obliczamy całkę w granicach H_1, H₂

$$Q = \frac{\text{μx}\sqrt{2g}}{\text{sinα}}\int_{H_{1}}^{H_{2}}\sqrt{\left( z + \frac{v_{0}^{2}}{2g} \right)}\text{dz}$$

Stąd $Q = \frac{2}{3}\mu\frac{x\sqrt{2g}}{\text{sinα}}\left\lbrack \left( H_{2} + \frac{v_{0}^{2}}{2g} \right)^{\frac{3}{2}} - \left( H_{1} + \frac{v_{0}^{2}}{2g} \right)^{\frac{3}{2}} \right\rbrack$

Załóżmy, że otwór jest prostokątny x=b oraz ściana jest pionowa α = 1, wówczas

$$Q = \frac{2}{3}\text{μb}\sqrt{2g}\left\lbrack \left( H_{2} + \frac{v_{0}^{2}}{2g} \right)^{\frac{3}{2}} - \left( H_{1} + \frac{v_{0}^{2}}{2g} \right)^{\frac{3}{2}} \right\rbrack$$

$\text{Je}z\text{eli}\text{\ \ }v_{o} \preccurlyeq 1\ \text{to}\ k = \frac{v_{0}^{2}}{2g} \approx 0\ $to

$$Q = \frac{2}{3}\text{μb}\sqrt{2g}\left( H_{2}^{\frac{3}{2}} - H_{1}^{\frac{3}{2}} \right)$$

wydatek dla ustalonego wyplywu cieczy przez otwor kolo o promieniu r obliczamy wedlug wzoru

$$Q = \mu\sqrt{2g}\int_{H - r}^{H + r}{x\sqrt{z}\text{dz}}$$

Po podstawieniu zalezności z=H-r cosφ, dz+rsinφdφ oraz x=2rsinφ otrzymamy:

$$Q = \mu\sqrt{2\text{gH}}\ r^{2}2\int_{0}^{\pi}{\sin\varphi}^{2}\sqrt{\sqrt{1 - \frac{r}{H}}\cos\varphi}\text{dφ}$$

36.Nieustalony wypływ cieczy z małego otworu niezatopionego

zachodzi wtedy, gdy dopływ do zbiornika /q/ nie jest równy wypływowi /Q/. Gdy q>Q następuje podnoszenie się zwierciadła i wzrasta jego napełnienie oraz natężenie wypływu. Gdy q<Q na odwrót.

Chwilowy wydatek otworu: $Q_{z} = \mu F_{2}\sqrt{2\text{gz}}$

Ze względu na zmienność przekroju poziomego zbiornika F/z/ po czasie d/t/ zwierciadło cieczy obniży się z głębokości /z/ o /dz/, stąd wyznaczymy elementarną objętość wypływu dV₁ = F(z)dz

Objetość cieczy dopływającej w czasie dt, tj. /q dt/ powiekszona o objętość cieczy w warstwie elementarnej musi równac się objętości cieczy która w czasie dt wypłynęła z otworu, czyli $\mu F_{2}\sqrt{2\text{gz}}\ \text{dt}\text{.\ }$ Można to zapisać następująco: q dt + dV₁ = Q_z dt

$$F\left( z \right)\text{dz} = \mu F_{2}\sqrt{2\text{gz}}\ \text{dt}$$

Lewa strona równania oznacza ubytek objętości cieczy w zbiorniku powstały z niezrównoważenia się wypływu z dopływem w czasie dt. $\text{dt} = \frac{F\left( z \right)\text{dz}}{\mu F_{2}\sqrt{\begin{matrix} 2\text{gz} \\ \ \\ \end{matrix}}}\ - \ \frac{1}{q}$

Czas częściowego opróżnienia naczynia: $t = \int_{z_{1}}^{h_{1}}\frac{F(z)}{\mu F_{2}\sqrt{2\text{gz}} - q}$

Gdy q=0 $t = \frac{1}{\sqrt{2g}\mu F_{2}}\int_{0}^{h_{1}}\frac{F\left( z \right)\text{dz}}{\sqrt{z}}$

wzór ogólny na czas opróżnienia całego zbiornika: $T = \int_{0}^{h_{1}}\frac{F(z)}{\mu F_{2}\sqrt{2\text{gz}}} - \frac{1}{q}$

zakładając, że q=0 oraz istnieje niezmienność przekroju poziomego zbiornika F(z)=const =F to po z całkowaniu 2 powyższych wzorów otrzymamy wzory na czas częściowego /t/ i całkowitego /T/ opróżnienia zbiornika

$$t = \frac{2F}{\mu F_{2}\sqrt{2g}}\left( h_{1}^{\frac{1}{2}} - z^{\frac{1}{2}} \right)$$

$$T = \frac{2F}{\mu F_{2}}\sqrt{\frac{h_{1}}{2g}}$$

37. Ustalony wypływ cieczy przez duży otwór częściowo zatopiony

Można traktować jako sumę wypływów z dużego otworu niezatopionego /Q₁/ i zatopionego /Q₂/

Q=Q₁ + Q₂

Rozważamy 2 położenia zwierciadła cieczy. W I fazie w której zwierciadło cieczy w górnym zbiorniku jest położone powyżej górnej krawędzi otworu /H₂ > h,   H₁ > 0wydatki cząstkowe wynoszą:

$$Q_{1} = \frac{2}{3}\mu_{1}b\sqrt{2g}\left( H^{\frac{3}{2}} - {H_{1}}^{\frac{3}{2}} \right)$$

$$Q_{2} = \mu_{2}\left( H_{2} - H \right)\sqrt{2\text{gH}}$$

W II fazie zwierciadło cieczy w górnym zbiorniku nie przekracza wysokości położenia górnej krawędzi otworu(H₂ ≤ h;  H₁ ≤ 0) , wówczas otwór pracuje jak przelew, dla którego wydatki cząstkowe obliczamy ze wzorów: $Q_{1} = \frac{2}{3}\mu_{1}b\sqrt{2g}H^{\frac{3}{\begin{matrix} 2 \\ \\ \end{matrix}}}$

$$Q_{2} = \mu_{2}\left( h - H \right)\sqrt{2\text{gH}}$$

38. Nieustalony wypływ cieczy z dużego otworu niezatopionego

Wypływ cieczy z takiego otworu niezatopionego można podzielić na 2 fazy, z których pierwsza trwa do chwili gdy H₂>h, co oznacza, że zwierciadło w górnym zbiorniku połozone jest powyżej górnej krawędzi otworu. Druga faza dotyczy przedziału położenia zwierciadła w górnym zbiorniku między górną a dolną krawędzią otworu 0 < H₂ ≤ h . Wypływ jest nieustalony, gdy dopływ do zbiornika /q/ względem wypływu przez otwór /Q/ jest mniejszy i dlatego obniża się zwierciadło cieczy w zbiorniku.

Dla I fazy chwilowy wydatek określa wzór: $Q = \frac{2}{3}\text{μb}\sqrt{2g}\left\lbrack z^{\frac{3}{2}} - {(z - h)}^{\frac{3}{2}} \right\rbrack$

Założono, że zwierciadło cieczy w górnym zbiorniku obniż Asię z wysokości H₂ i po pewnym czasie osiągnie położenie z. Następnie w czasie dt zwierciadło ponownie obniży się o dz. Porównujemy objętość wypływającej cieczy z ubytkiem objętości w elementarnej warstwie.

Q dt =   − F (z)dz

$\frac{2}{3}\text{μb}\sqrt{2g}\left\lbrack z^{\frac{3}{2}} - {(z - h)}^{\frac{3}{2}} \right\rbrack$ dt = -F(z) dz

$$\text{dt} = \ \frac{- F\left( z \right)\text{dz}}{\frac{2}{3}\text{μb}\sqrt{2g}\left\lbrack z^{\frac{3}{2}} - {(z - h)}^{\frac{3}{2}} \right\rbrack}$$

Obliczamy czas obniżenia się zwierciadła cieczy z wysokości H₂ do h

$$T_{1} = \ \int_{0}^{T_{1}}{\text{dt}\ =}\ \frac{1}{\frac{2}{3}\text{μb}\sqrt{2g}}\int_{h}^{H_{2}}\frac{F\left( z \right)\text{dz}}{z^{\frac{3}{2}} - {(\ z - a)}^{\frac{3}{2}}}$$

II faze wypływu cieczy z otworu przy położeniu zwierciadła w górnym zbiorniku między górna a dolną krawędzią otworu, który działa jak przelew prostokątny niezatopiony. Chwilowy wydatek można obliczyć ze wzoru: $Q = \frac{2}{3}\text{μb}\sqrt{2g}z^{\frac{3}{2}}$

Q dt =   − F (z)dz

$$\frac{2}{3}\text{μb}\sqrt{2g}z^{\frac{3}{2}}\ \text{dt} = \ - F\ \left( z \right)\text{dt}$$

$$\text{dt} = \frac{- \ F\left( z \right)\text{dz}}{\frac{2}{3}\text{μb}\sqrt{2g}z^{\frac{3}{2}}}$$

Całkowity czas obniżania się zwierciadła w II fazie od górnej do dolnej krawędzi otworu wyniesie:

$T_{2} = \int_{0}^{T_{2}}\text{dt} = \frac{1}{\frac{2}{3}\text{μb}\sqrt{2g}}\int_{0}^{h}\frac{F\ \left( z \right)\text{dz}}{z^{\frac{3}{2}}}$

Łączny czas obniżania się zwierciadła jest sumą T = T₁ +T₂