Projekt stropu monolitycznego hali

Płyta

1. Zestawienie obciążeń stałych stropów

	Rodzaj obciążenia		obciążenia charakterystyczne	γf	obciążenie obliczeniowe
			[kN/m^2]	[-]	[kN/m^2]
I	obciążenia stałe
1	Żywica syntetyczna	15*0,01	0,15	1,35	0,20
2	gładź cementowa	21*0,05	1,05	1,35	1,42
3	folia polietylenowa	-	0	-	0
4	płyta konstrukcyjna	25*0,08	2,00	1,35	2,70
	RAZEM	g	3,35	-	4,52
II	obciążenia zmienne	p	8,50	1,5	12,75

1. Schemat statyczny płyty

Belka czteroprzęsłowa, rozpiętość przęsła l=1,8m

1. Momenty obliczone wg Winklera

3.1 Momenty przęsłowe

- dla wartości charakterystycznych:

maxM_AB = maxM_DE = (0,077g+0,1p)L² = (0,077*3,2+0,1*8,50) * 1, 8²=

=3, 00 kNm/mb

maxM_BC = maxM_CD=(0,036g+0,081p)L² = (0,036*3,2+0,081*8,50) * 1, 8² = 2, 16 kNm/mb

- dla wartości obliczeniowych:

maxM_AB = maxM_DE = (0,077g+0,1p)L² = (0,077*4,32+0,1*12,75) * 1, 8²=

=5, 21 kNm/mb

minM_AB = minM_DE = (0,077g−0,027p)L² = (0,077*4,32−0,027*12,75) * 1, 8²=

=0, 04 kNm/mb

maxM_BC = maxM_CD = (0,036g+0,075p)L² = (0,036*4,32+0,081*12,75) * 1, 8² = 3, 85 kNm/mb

minM_BC = minM_CD = (0,036g−0,050p)L² = (0,036*4,32−0,045*12,75) * 1, 8² = −1, 36 kNm/mb

3.2 Momenty podporowe

- dla wartości charakterystycznych:

minM_A = 0 kNm/mb =   minM_E

minM_B = minM_Dd260135  = (−0,100g−0,117p)L² = (−0,107*3,2−0,121*8,5) * 1, 8² = −3, 78 kNm/mb

minM_c = (−0,100g−0,117p)L² = (−0,071*3,2−0,107*8,5) * 1, 8² = −3, 09kNm/mb

- dla wartości obliczeniowych:

minM_A = 0 kNm/mb =   minM_E

minM_B = minM_Dd260135  = (−0,100g−0,117p)L² = (−0,107*4,32−0,121*12,75) * 1, 8² = −6, 50 kNm/mb

minM_c = (−0,100g−0,117p)L² = (−0,071*4,32−0,107*12,75) * 1, 8² = −5, 41kNm/mb

3.3 Momenty odpowiadające

- dla wartości obliczeniowych:

odp M_B = (−0,107g−0,054p)L² = (−0,107*3,2−0,054*8,5) * 1, 8²=

= − 2, 60 kNm/mb

odp M_c = (−0,071g−0,036p)L² = (−0,071*3,2−0,036*8,5) * 1, 8²=

= − 1, 73 kNm/mb

- dla wartości obliczeniowych:

odp M_B = odp M_c = (−0,107g−0,054p)L² = (−0,107*4,32−0,054*12,75) * 1, 8²=

= − 3, 73 kNm/mb

odp M_c = (−0,071g−0,036p)L² = (−0,071*4,32−0,036*12,75) * 1, 8²=

= − 2, 48 kNm/mb

3.4 Momenty uśrednione

- dla wartości charakterystycznych:

$$usrM_{\text{AB}} = usrM_{\text{DE}} = \left( \min M_{\text{AB}} + \frac{\text{odp}.M_{B}}{2} \right):2 = \left( 0,04 + \frac{- 2,98\ \ }{2} \right):2 = - 0,77\text{kNm}/\text{mb}$$

$$usrM_{\text{BC}} = usrM_{\text{CD}} = \left( \min M_{\text{BC}} + \frac{\text{odp}.M_{B} + \text{odp}.M_{C}}{2} \right):2 = \left( - 1,36 + \frac{- 3,73 - 2,48\ \ }{2} \right):2 = - 2,23\ \text{kNm}/\text{mb}$$

- dla wartości obliczeniowych:

$$usrM_{\text{AB}} = usrM_{DE} = \left( \min M_{\text{AB}} + \frac{\text{odp}.M_{B}}{2} \right):2 = \left( 0,04 + \frac{- 2,98\text{\ \ }}{2} \right):2 = - 0,77\text{kNm}/\text{mb}$$

$$usrM_{\text{BC}} = usrM_{\text{CD}} = \left( \min M_{\text{BC}} + \frac{\text{odp}.M_{B} + \text{odp}.M_{C}}{2} \right):2 = \left( - 1,36 + \frac{- 3,73 - 2,48\text{\ \ }}{2} \right):2 = - 2,23\ \text{kNm}/\text{mb}$$

3.5 Momenty na krawędziach podpory

- dla wartości charakterystycznych:

odpV_B^L = (−0,600g−0,617p)L = (−0,600*3,03−0,617*8,60) * 1, 65 = −11, 755 kN/mb

odpV_B^P = (0,500g+0,583p)L = (0,500*3,03+0,583*8,60) * 1, 65 = 10, 773 kN/mb

odpV_A^L = odpV_A^P = 0 kN/mb

$$\left\lbrack M_{A} \right\rbrack = - \left( \left| \min M_{A} \right| - min\left| \text{odp}V_{A}^{L};\text{odp}V_{A}^{P} \right|\frac{b_{z}}{2} \right) = 0\text{\ kNm}/\text{mb}$$

$$\left\lbrack M_{B} \right\rbrack = - \left( \left| \min M_{B} \right| - min\left| \text{odp}V_{B}^{L};\text{odp}V_{B}^{P} \right|\frac{b_{z}}{2} \right) = - \left( \left| - 3,564 \right| - \min\left| - 11,755;10,773 \right|*\frac{0,18}{2} \right) = - \left( 3,564 - 11,755*0,09 \right) = - 2,506\ \text{kNm}/\text{mb}$$

- dla wartości obliczeniowych:

odpV_B^L = |(−0,607g−0,621p)L|=|(−0,607*4,32−0,621*12,75) * 18|=18, 97 kN/mb

odpV_B^P = |(0,536g+0,603p)L|=|(0,536*4,32+0,603*12,75) * 1, 8|=18, 01 kN/mb

odpV_C^L = |(−0,464g−0,571p)L|=|(−0,464*4,32−0,571*12,75) * 1, 8|=16, 71 kN/mb

odpV_C^P = |(0,464g+0,571p)L|=|(0,464*4,32+0,571*12,75) * 1, 8|=16, 71 kN/mb

$$\left\lbrack M_{B} \right\rbrack = - \left( \left| \min M_{B} \right| - min\left| \text{odp}V_{B}^{L};\text{odp}V_{B}^{P} \right|\frac{b_{z}}{2} \right) = - \left( \left| - 6,5 \right| - \min\left| 18,97;18,01 \right|*\frac{0,15}{2} \right) = - 5,19\ \text{kNm}/\text{mb}$$

$$\left\lbrack M_{C} \right\rbrack = - \left( \left| \min M_{B} \right| - min\left| \text{odp}V_{B}^{L};\text{odp}V_{B}^{P} \right|\frac{b_{z}}{2} \right) = - \left( \left| - 5,41 \right| - \min\left| 16,71;16,71 \right|*\frac{0,15}{2} \right) = - 4,21\ \text{kNm}/\text{mb}$$

1. Obliczenia wstępne

Do projektowania przyjęto:

beton klasy C30/37:

f_ctm  = 2, 9 MPa

f_ck  =  16 MPa

f_cd  =  α_cc  *  f_ck / γ_c  =  1 * 16 MPa / 1, 5  =  10, 667 MPa  =  1, 0667 kN/ cm²

E_cm  =  32 GPa

stal klasy :  A − III ( RB 400 W ) 

f_yd =  350 MPa  = $350000\frac{\text{kN}}{m^{2}}$

f_yk  =  400 MPa = $400000\frac{\text{kN}}{m^{2}}$

$$\xi_{eff,\ lim}\ = \ 0,8*\frac{\varepsilon_{u1}}{\ \varepsilon_{u1} + \frac{\text{f\ }_{\text{yd}}}{Es}}\ = \ 0,8*\frac{0,0035}{0,0035 + \frac{350MPa}{200*10^{3}\text{MPa}}}\ = 0,53$$

1. Obliczenie wysokości użytecznej przekroju płyty

Wysokość użyteczną przekroju możemy obliczyć wg wzoru:

Klasa ekspozycji XC1

c_min =10 mm

c_min,b =6 mm

c_min,dur =15mm dla S4 iXC1

C_min =15mm

Δc_dev =5 mm

C_nom =20 mm

d  =  h  c_nom  −  0, 5c_min, b =  80 − 20 − 0.5  • 6 = 60 mm

$$d'\ = \ d\ + \frac{1}{3}*\frac{b_{z}}{2} = \ 5,5\ cm\ + \ \frac{1}{3}*\frac{15\text{\ cm\ }}{2} = 80mm$$

a ₁ = c_min  +  Δc_dev  +  0, 5φ =  10 + 5 + 0.5 * 6  =  18mm

c  =  a ₁  O/ 2  =  25 mm  10 mm / 2  =  20 mm  =  2, 0 cm

h′  =  a ₁   +  d′  =  25 mm  +  85 mm  =  110 mm  =  11, 0 cm

1. Obliczenie momentu rysującego

$$M_{\text{cr}} = W_{x}*f_{\text{ctm}} = \frac{h^{2}}{6}*{b*f}_{\text{ctm}} = \frac{{0,08}^{2}}{6}*1*2900 = 3,093\ \text{kNm}$$

1. Wymiarowanie

Przekrój AB = Przekrój DE

1)  M_sd = maxM_AB = 5, 21 kNm

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{M_{\text{sd}}}{bd^{2}f_{\text{cd}}} = \frac{5,21}{1*{0,06}^{2}*21429} = 0,0748$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2\mu_{\text{eff}}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,0748} = 0,0778$$

ξ_eff, lim = 0, 49 dla A − III

ξ_eff, lim = 0, 49 ≥  ξ_eff = 0, 0778

$$A_{s1}^{\text{reg}} = \frac{\xi_{\text{eff}}\text{bd}f_{\text{cd}}}{f_{\text{yd}}} = \frac{0,0778*1*0,06*21429}{435000} = 0,000219m^{2} = 2,19\text{\ cm}^{2}$$

$$s_{\max} = \min\begin{Bmatrix} 2h \\ 250\text{mm} \\ \end{Bmatrix} = \min\begin{Bmatrix} 2*8 \\ 25 \\ \end{Bmatrix} = \min\begin{Bmatrix} 16 \\ 25 \\ \end{Bmatrix} = 16\ \text{cm}$$

$$A_{s1}^{\min} = \max\begin{Bmatrix} 0,26\frac{f_{\text{ctm}}}{f_{\text{yk}}}\text{bd} \\ 0,0013\text{bd} \\ \end{Bmatrix} = \max\begin{Bmatrix} 0,26*\frac{2900}{500000}*1,0*0,06 \\ 0,0013*1,0*0,06 \\ \end{Bmatrix} = 0,000086\text{\ m}^{2} = 0,86\text{\ c}m^{2}$$

$$A_{O6} = \frac{(\pi\left( 0,6 \right)^{2} + \pi\left( 0,8 \right)^{2})/2}{4} = 0,3644\ \text{cm}^{2}$$

$$\frac{100\ cm}{\frac{2,19}{0,3644\text{\ cm}^{2}}} = \ 17,96\ \text{cm}\text{\ \ \ } \rightarrow \mathbf{\ \ \ przyjeto\ prety}\mathbf{\ }\mathbf{O}\mathbf{6/}\mathbf{O}\mathbf{8\ }\mathbf{co\ 16}\mathbf{\text{\ cm}}\mathbf{\ ze\ wzgledu\ na\ }\mathbf{\text{maksymalny}}\mathbf{\text{\ rozst}}\mathbf{a}\mathbf{w}$$

Sprawdzenie:

$$A_{S1}^{\text{prov}} = \left( \frac{100\ cm}{16\text{\ cm}} \right)\ *A_{O6/O8} = \left( \frac{100\ cm}{16\text{\ cm}} \right)\ *0.3644\ \text{cm}^{2} = 2,45\text{\ cm}^{2} > 1,60\ \text{cm}^{2}\ = \ A_{S1}$$

$$\text{ρ\ }_{L}^{\text{prov}} = \frac{A_{S1}^{\text{prov}}}{\ b*d\ }*100\ \%\ = \frac{2,57\ \text{cm}^{2}}{\ 100\ cm\ *\ 5,5\ cm\ }*100\ \%\ = \ 0,47\%$$

2)  M_sd = usrM_AB = −0, 95 kNm

| − 0, 95|  <  3, 09  =  Mcr → Zbrojenie nie jest wymagane

Przekrój BC = Przekrój CD

1)  M_sd = maxM_BC = 3, 85 kNm

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{M_{\text{sd}}}{bd^{2}f_{\text{cd}}} = \frac{3,85}{1*{0,06}^{2}*21429} = 0,0553$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2\mu_{\text{eff}}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,0553} = 0,0569$$

ξ_eff, lim = 0, 49 dla A − III

ξ_eff, lim = 0, 49 ≥  ξ_eff = 0, 0569

$$A_{s1}^{\text{reg}} = \frac{\xi_{\text{eff}}\text{bd}f_{\text{cd}}}{f_{\text{yd}}} = \frac{0,0569*1*0,06*21429}{435000} = 0,000160m^{2} = 1,60\text{\ cm}^{2}$$

$$s_{\max} = \min\begin{Bmatrix} 2h \\ 250\text{mm} \\ \end{Bmatrix} = \min\begin{Bmatrix} 2*8 \\ 25 \\ \end{Bmatrix} = \min\begin{Bmatrix} 16 \\ 25 \\ \end{Bmatrix} = 16\ \text{cm}$$

$$A_{s1}^{\min} = \max\begin{Bmatrix} 0,26\frac{f_{\text{ctm}}}{f_{\text{yk}}}\text{bd} \\ 0,0013\text{bd} \\ \end{Bmatrix} = \max\begin{Bmatrix} 0,26*\frac{2900}{500000}*1,0*0,06 \\ 0,0013*1,0*0,06 \\ \end{Bmatrix} = 0,000086\text{\ m}^{2} = 0,86\ cm^{2}$$

$$A_{O6} = \frac{(\pi\left( 0,6 \right)^{2}}{4} = 0,283\ \text{cm}^{2}$$

$$\frac{100\ cm}{\frac{1,60}{0,283\text{\ cm}^{2}}} = \ 17,68cm\text{\ \ \ } \rightarrow \mathbf{\ \ \ przyjeto\ prety\ }\mathbf{O}\mathbf{6\ co\ 16\ cm\ ze\ wzgledu\ na\ minimalny\ rozstaw}$$

Sprawdzenie:

$$A_{S1}^{\text{prov}} = \left( \frac{100\ cm}{16\ cm} \right)\ *A_{O6/O8} = \left( \frac{100\ cm}{16\ cm} \right)\ *0.283\ \text{cm}^{2} = 1,77\text{\ cm}^{2} > 1,60\ \text{cm}^{2}\ = \ A_{S1}$$

$$\text{ρ\ }_{L}^{\text{prov}} = \frac{A_{S1}^{\text{prov}}}{\ b*d\ }*100\ \%\ = \frac{2,57\ \text{cm}^{2}}{\ 100\ cm\ *\ 5,5\ cm\ }*100\ \%\ = \ 0,47\%$$

2)  M_sd = usrM_AB = −2, 23 kNm

| − 2, 23|  <  3, 09  =  Mcr → Zbrojenie nie jest wymagane

Podpora A = Podpora E

1)   M_sd = min M _A =  min M _A  =  0 kNm

|0|   <   2, 03 kNm  =  Mcr → Zbrojenie nie jest wymagane

2)   M_sd = [M _A]  =  [M _A]  =  0 kNm

|0|   <   2, 03 kNm  =  Mcr → Zbrojenie nie jest wymagane

A_s1^AB ≥ A_s1^A ≥ 0, 5A_s1^AB → przyjeto prety O6 co 13 cm 

Podpora B = Podpora D

1)   M_sd = minM_B = −6, 50 kNm

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{M_{\text{sd}}}{b{d'}^{2}f_{\text{cd}}} = \frac{6,50}{1*{0,08}^{2}*21429} = 0,0451$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2\mu_{\text{eff}}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,0451} = 0,0462$$

ξ_eff, lim = 0, 49 dla A − III

ξ_eff, lim = 0, 49 ≥  ξ_eff = 0, 0462

$$A_{s1}^{\text{reg}} = \frac{\xi_{\text{eff}}\text{bd}f_{\text{cd}}}{f_{\text{yd}}} = \frac{0,070*1*0,08*21429}{435000} = 0,000187m^{2} = 1,87\text{\ cm}^{2}$$

$$s_{\max} = \min\begin{Bmatrix} 2h \\ 250\text{mm} \\ \end{Bmatrix} = \min\begin{Bmatrix} 2*8 \\ 25 \\ \end{Bmatrix} = \min\begin{Bmatrix} 16 \\ 25 \\ \end{Bmatrix} = 16\ \text{cm}$$

$$A_{s1}^{\min} = \max\begin{Bmatrix} 0,000104 \\ 0,000124 \\ \end{Bmatrix} = 0,000124\ m^{2} = 1,24\text{\ c}m^{2}$$

$$A_{O6} = \frac{\pi\left( 0,6 \right)^{2}}{4} = 0,283\text{\ cm}^{2}$$

$$\frac{100\ cm}{\frac{1,87\text{\ cm}^{2}}{0,283\text{\ cm}^{2}}} = \ 15,16\ cm\ \ \ \rightarrow \ \ \ \mathbf{przyjeto\ prety\ }\mathbf{O}\mathbf{6\ co\ }\mathbf{15}\mathbf{\text{\ cm}}$$

Sprawdzenie:

$$A_{S1}^{\text{prov}} = \left( \frac{100\ cm}{15\text{cm}} \right)*A_{O6} = \left( \frac{100\ cm}{15\text{\ cm}} \right)\ *\ 0.2827\ cm^{2} = 1,88\text{\ cm}^{2} > 1,87\ \text{cm}^{2}\ = \ A_{S1}$$

15 cm  <  16 cm  =  S_max

$$\text{ρ\ }_{L}^{\text{prov}} = \frac{A_{S1}^{\text{prov}}}{\ b*d'\ }*100\ \%\ = \frac{2,98\ \text{cm}^{2}}{\ 100\ cm\ *\ 8,5\ cm\ }*100\ \%\ = \ 0,54\%$$

2)  M_sd = [M_B] = [M_D] = −5, 19 kNm

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{M_{\text{sd}}}{bd^{2}f_{\text{cd}}} = \frac{5,19}{1*{0,06}^{2}*21429} = 0,0746$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2\mu_{\text{eff}}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,0746} = 0,0776$$

ξ_eff, lim = 0, 49 dla A − III

ξ_eff, lim = 0, 49 ≥  ξ_eff = 0, 0776

$$A_{s1}^{\text{reg}} = \frac{\xi_{\text{eff}}\text{bd}f_{\text{cd}}}{f_{\text{yd}}} = \frac{0,0776*1*0,06*21429}{435000} = 0,000218m^{2} = 2,18\text{\ cm}^{2}$$

$$s_{\max} = \min\begin{Bmatrix} 2h \\ 250\text{mm} \\ \end{Bmatrix} = \min\begin{Bmatrix} 2*8 \\ 25 \\ \end{Bmatrix} = \min\begin{Bmatrix} 16 \\ 25 \\ \end{Bmatrix} = 16\ \text{cm}$$

$$A_{s1}^{\min} = \max\begin{Bmatrix} 0,26\frac{f_{\text{ctm}}}{f_{\text{yk}}}\text{bd} \\ 0,0013\text{bd} \\ \end{Bmatrix} = \max\begin{Bmatrix} 0,26*\frac{2900}{500000}*1,0*0,06 \\ 0,0013*1,0*0,06 \\ \end{Bmatrix} = 0,000086\text{\ m}^{2} = 0,86\ cm^{2}$$

$$A_{O6} = \frac{(\pi\left( 0,6 \right)^{2}}{4} = 0,283\ \text{cm}^{2}$$

$$\frac{100\ cm}{\frac{2,18}{0,283\text{\ cm}^{2}}} = \ 12,97cm\text{\ \ \ } \rightarrow \mathbf{\ \ \ przyjeto\ prety\ }\mathbf{O}\mathbf{6\ co\ 1}\mathbf{2}\mathbf{\text{\ cm\ }}$$

Sprawdzenie:

$$A_{S1}^{\text{prov}} = \left( \frac{100\ cm}{12\text{\ cm}} \right)\ *A_{O6} = \left( \frac{100\ cm}{12\text{\ cm}} \right)\ *0.283\ \text{cm}^{2} = 2,36\text{\ cm}^{2} > 1,75\ \text{cm}^{2}\ = \ A_{S1}$$

$$\text{ρ\ }_{L}^{\text{prov}} = \frac{A_{S1}^{\text{prov}}}{\ b*d\ }*100\ \%\ = \frac{2,57\ \text{cm}^{2}}{\ 100\ cm\ *\ 5,5\ cm\ }*100\ \%\ = \ 0,47\%$$

Podpora C

1)   M_sd = minM_C = −5, 41 kNm

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{M_{\text{sd}}}{b{d'}^{2}f_{\text{cd}}} = \frac{5,41}{1*{0,08}^{2}*21429} = 0,0376$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2\mu_{\text{eff}}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,0451} = 0,0383$$

ξ_eff, lim = 0, 49 dla A − III

ξ_eff, lim = 0, 49 ≥  ξ_eff = 0, 0383

$$A_{s1}^{\text{reg}} = \frac{\xi_{\text{eff}}\text{bd}f_{\text{cd}}}{f_{\text{yd}}} = \frac{0,383*1*0,08*21429}{435000} = 0,000155m^{2} = 1,55\text{\ cm}^{2}$$

$$s_{\max} = \min\begin{Bmatrix} 2h \\ 250\text{mm} \\ \end{Bmatrix} = \min\begin{Bmatrix} 2*8 \\ 25 \\ \end{Bmatrix} = \min\begin{Bmatrix} 16 \\ 25 \\ \end{Bmatrix} = 16\ \text{cm}$$

$$A_{s1}^{\min} = \max\begin{Bmatrix} 0,000104 \\ 0,000124 \\ \end{Bmatrix} = 0,000124\ m^{2} = 1,24\ cm^{2}$$

$$A_{O6} = \frac{\pi\left( 0,6 \right)^{2}}{4} = 0,283\text{\ cm}^{2}$$

$$\frac{100\ cm}{\frac{1,55\text{\ cm}^{2}}{0,283\text{\ cm}^{2}}} = \ 18,26cm\ \ \ \rightarrow \ \ \ \mathbf{przyjeto\ prety\ }\mathbf{O}\mathbf{6\ co\ }\mathbf{16\ }\mathbf{\text{\ cm}}\mathbf{\ ze\ wzgledu\ na\ rozstaw\ maksymalny}$$

Sprawdzenie:

$$A_{S1}^{\text{prov}} = \left( \frac{100\ cm}{16\text{cm}} \right)*A_{O6} = \left( \frac{100\ cm}{16\text{\ cm}} \right)\ *\ 0.2827\ cm^{2} = 1,77\text{\ cm}^{2} > 1,55\ \text{cm}^{2}\ = \ A_{S1}$$

$$\text{ρ\ }_{L}^{\text{prov}} = \frac{A_{S1}^{\text{prov}}}{\ b*d'\ }*100\ \%\ = \frac{2,98\ \text{cm}^{2}}{\ 100\ cm\ *\ 8,5\ cm\ }*100\ \%\ = \ 0,54\%$$

2)  M_sd = [M_B] = [M_D] = −4, 21 kNm

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{M_{\text{sd}}}{bd^{2}f_{\text{cd}}} = \frac{4,21}{1*{0,06}^{2}*21429} = 0,0604$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2\mu_{\text{eff}}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,0746} = 0,0624$$

ξ_eff, lim = 0, 49 dla A − III

ξ_eff, lim = 0, 49 ≥  ξ_eff = 0, 0624

$$A_{s1}^{\text{reg}} = \frac{\xi_{\text{eff}}\text{bd}f_{\text{cd}}}{f_{\text{yd}}} = \frac{0,0624*1*0,06*21429}{435000} = 0,000218m^{2} = 1,75\text{\ cm}^{2}$$

$$s_{\max} = \min\begin{Bmatrix} 2h \\ 250\text{mm} \\ \end{Bmatrix} = \min\begin{Bmatrix} 2*8 \\ 25 \\ \end{Bmatrix} = \min\begin{Bmatrix} 16 \\ 25 \\ \end{Bmatrix} = 16\ \text{cm}$$

$$A_{s1}^{\min} = \max\begin{Bmatrix} 0,26\frac{f_{\text{ctm}}}{f_{\text{yk}}}\text{bd} \\ 0,0013\text{bd} \\ \end{Bmatrix} = \max\begin{Bmatrix} 0,26*\frac{2900}{500000}*1,0*0,06 \\ 0,0013*1,0*0,06 \\ \end{Bmatrix} = 0,000086\text{\ m}^{2} = 0,86\ cm^{2}$$

$$A_{O6} = \frac{(\pi\left( 0,6 \right)^{2}}{4} = 0,283\ \text{cm}^{2}$$

$$\frac{100\ cm}{\frac{1,75}{0,283\text{\ cm}^{2}}} = \ 16,13\text{cm}\text{\ \ \ } \rightarrow \mathbf{\ \ \ przyjeto\ prety\ }\mathbf{O}\mathbf{6\ co\ }\mathbf{16}\mathbf{\text{\ cm\ }}$$

Sprawdzenie:

$$A_{S1}^{\text{prov}} = \left( \frac{100\ cm}{16\text{\ cm}} \right)\ *A_{O6} = \left( \frac{100\ cm}{16\text{\ cm}} \right)\ *0.283\ \text{cm}^{2} = 1,77\text{\ cm}^{2} > 1,75\ \text{cm}^{2}\ = \ A_{S1}$$

$$\text{ρ\ }_{L}^{\text{prov}} = \frac{A_{S1}^{\text{prov}}}{\ b*d\ }*100\ \%\ = \frac{2,57\ \text{cm}^{2}}{\ 100\ cm\ *\ 5,5\ cm\ }*100\ \%\ = \ 0,47\%$$

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Przekrój	Momenty	d	μeff	ξeff	As1^reg	As1^min	Φ; s	As1^prov	ρL^prov
[-]	[kNm/mb]	[m]	[-]	[-]	[cm^2]	[cm^2]	[mm;cm]	[cm^2]
AB=DE	5,21	0,6	0,0748	0,0778	2,19	0,86	Φ6/ Φ8 co 16cm	2,45	0,47%
BC=CD	3,85	0,6	0,0553	0,0569	1,60	0,86	Φ6 co 16cm	1,77
B = D	6,50	0,08	0,0451	0,0462	1,87	1,24	Φ6 co 15cm	1,88	0,35%
C	5,41	0,08	0,376	0,0383	1,55	1,24	Φ6 co 16cm	1,77	0,54%
[B]=[D]	5,19	0,06	0,0746	0,0776	2,18	0,86	Φ6 co 12cm	2.36	0,22%
[C]	4,21	0,06	0,0604	0,0624	1,75	0,86	Φ6 co 16cm	1,77	0,27%

1. Stan Graniczny Użytkowalności

6.1 Dane materiałowe:

t₀ = 28 dni 

wilgotnosc wzgledna powietrza − RH = 50%

$$h_{0} = \frac{2*A_{c}}{u} = \frac{2*1000\ mm*80\ mm}{2*1000\ mm + 2*80\ mm} = 74,07mm$$

 O_∞, to = 2, 5

α_e = E_s/ E_c, eff  = (  E_s/ E_cm )*( 1  +  O_∞, to )=( 200 GPa /  29 GPa )*(1 + 3, 658)=32, 124 

6.2 Wyznaczenie sił wewnętrznych

g_k = 3, 2 kN/m

p_k = 8, 5 kN/m

p_k.it = Ψ * p_k = 0, 8 * 8, 5 kN/m =  6, 8 kN/m

g = g_k + p_k.it = 3, 2 kN/m + 6, 8 kN/m = 10 kN/m

maxM_AB = maxM_DE = (0,077g+0,1p)L² = (0,077*3,2+0,1*6,8) * 1, 8²=

=3, 00 kNm/mb

maxM_BC = maxM_CD=(0,036g+0,081p)L² = (0,036*3,2+0,081*6,8) * 1, 8² = 2, 16 kNm/mb

minM_B = minM_Dd260135  = (−0,100g−0,117p)L² = (−0,107*3,2−0,121*6,8) * 1, 8² = −3, 78 kNm/mb

minM_c = (−0,100g−0,117p)L² = (−0,071*3,2−0,107*6,8) * 1, 8² = −3, 09kNm/mb

6.3 Sprawdzenie warunku rozwarcia rys prostopadłych

W_k = S_r, max(ε_sm − ε_cm ) ≤  W_max

W_max = 0, 4 mm  dla klasy ekspozycji XC1

Przęsło AB

|3, 00 |< 3, 09  =  Mcr → przekrój niezarysowany (faza I)

Charakterystyki geometryczne przekroju:

Faza II

$$\rho = \frac{A_{S1}^{\text{prov}}}{\ b*d\ }\ = \frac{2,57\text{\ cm}^{2}}{\ 100\ cm\ *\ 5,5\ cm\ } = \ 0,00467$$

$$x_{||} = d*\left\lbrack \sqrt{(\rho*\alpha_{e}*\left( 2 + \rho*\alpha_{e} \right)} - \rho*\alpha_{e} \right\rbrack =$$

$$= 5,5\ cm*\left\lbrack \sqrt{0,00467*32,124*\left( 2 + 0,00467*32,124 \right)} - 0,00467*32,124 \right\rbrack = 2,299\ cm$$

$$I_{||\ } = \frac{b*{x_{||}}^{3}}{3} + \alpha_{e}*A_{S1,\ AB}*{(d - x_{||})}^{2} =$$

$$= \frac{100\ cm*{(2,299\ cm)}^{3}}{3} + 32,124*2,57\ \text{cm}^{2}*\left( 5,5\ cm - 2,299\ cm \right)^{2} = 1250,967\text{\ cm}^{4}$$

$$s = 11cm < 5*2,5cm = 5*a_{1} = 5*\left( c + \frac{O}{2} \right) = 5*\left( 2,0 + \frac{1,0}{2} \right) = 12,5\ cm$$

$A_{c,eff} = \min\begin{Bmatrix} b*2,5*\left( h - d \right) \\ b*\frac{h - x_{||}}{3}\ \\ \end{Bmatrix} = \min\begin{Bmatrix} 100\ cm*2,5*\left( 8\ cm - 5,5\ cm \right) \\ 100\ cm*\frac{8\ cm - 2,299\ cm}{3} \\ \end{Bmatrix} = \min\left\{ 625\text{\ cm}^{2};190,03\ \text{cm}^{2} \right\} = 1190,03\ \text{cm}^{2}$

$$\rho_{p,eff} = \frac{A_{S1\ }}{A_{c,eff}} = \frac{2,57\text{\ cm}^{2}}{190,03\ \text{cm}^{2}} = 0,01352$$

S_r, max = k₃ * c + k₁* $k_{2}*k_{4}*\frac{O}{\rho_{p,eff}} = 3,4*2,0\ cm + 0,8*0,5*0,425*\frac{0,6\ cm}{0,01352} = 14,344cm$

$$\sigma_{s} = \alpha_{e}*\frac{M_{\text{Eqp}}}{I_{||}}*\left( d - x_{||}\ \right) = 32,124*\left( \frac{255,2\ \text{cm}^{2}}{1250,967\ \text{cm}^{4}} \right)*\left( 5,5\ cm - 2,299\text{\ cm} \right) = 20,977\ kN/\text{cm}^{2}$$

$$\varepsilon_{\text{sm}} - \varepsilon_{\text{cm}} = \frac{\left\lbrack {\lbrack\sigma}_{s} - \left( k_{t}*\frac{f_{ct,eff}}{\rho_{p,eff}}*\left( 1 + \alpha_{e,t}*\rho_{p,eff} \right)\ \right) \right\rbrack}{E_{\text{s\ }}}\ \geq 0,6*\ \sigma_{s}/E_{\text{s\ }}\text{\ \ \ \ }$$

$$\frac{\left\lbrack 20,977\ kN/\text{cm}^{2} - \left( 0,4*\frac{0,19\ kN/\text{cm}^{2}}{0,01352}*\left( 1 + 32,124*0,01352 \right) \right) \right\rbrack}{20000\ kN/\text{cm}^{2\ }}\text{\ \ \ } \geq 0,6*\frac{20,977\ kN/\text{cm}^{2}}{20000\ kN/\text{cm}^{2\ }}$$

ε_sm − ε_cm = 0, 646*10⁻³ kN/cm² ≥ 0, 629 * 10⁻³ kN/cm² = 0, 6 *  σ_s/E_s  

W_k = s_r, max * (ε_sm − ε_cm ) = 14, 344 cm * 0, 646*10⁻³ kN/cm²  ≤  W_max = 0, 04cm

0, 00927 cm ≤ 0, 04 cm

Warunek rozwarcia rys prostopadłych w przęśle AB został spełniony

Podpora B

| − 3, 016 |  >  2, 03  =  Mcr → przekrój zarysowany (faza II)

Charakterystyki geometryczne przekroju:

Faza II

$$\rho = \frac{A_{S1}^{\text{prov}}}{\ b*d'\ }\ = \frac{2,98\text{\ cm}^{2}}{\ 100\ cm\ *\ 8,5\ cm\ } = \ 0,003506$$

$$x_{||} = d'*\left\lbrack \sqrt{(\rho*\alpha_{e}*\left( 2 + \rho*\alpha_{e} \right)} - \rho*\alpha_{e} \right\rbrack =$$

$$= 8,5\ cm*\left\lbrack \sqrt{0,003506*32,124*\left( 2 + 0,003506*32,124 \right)} - 0,003506*32,124 \right\rbrack = 3,189\ cm$$

$$I_{||\ } = \frac{b*{x_{||}}^{3}}{3} + \alpha_{e}*A_{S1,\ B}*{(d' - x_{||})}^{2} =$$

$$= \frac{100\ cm*{(3,189\ cm)}^{3}}{3} + 32,124*2,98\ \text{cm}^{2}*\left( 8,5\ cm - 3,189\text{\ cm} \right)^{2} = 3781,257\text{\ cm}^{4}$$

$$s = 9,5\ cm < 5*2,5cm = 5*a_{1} = 5*\left( c + \frac{O}{2} \right) = 5*\left( 2,0 + \frac{1,0}{2} \right) = 12,5\ cm$$

$A_{c,eff} = \min\begin{Bmatrix} b*2,5*\left( h' - d' \right) \\ b*\frac{h' - x_{||}}{3}\ \\ \end{Bmatrix} = \min\begin{Bmatrix} 100\ cm*2,5*\left( 11,0\ cm - 8,5\ cm \right) \\ 100\ cm*\frac{11\ cm - 3,189\ \ cm}{3} \\ \end{Bmatrix} = \min\left\{ 625\text{cm}^{2},260,37\text{cm}^{2} \right\} = 260,37\ \text{cm}^{2}$

$$\rho_{p,eff} = \frac{A_{S1\ }}{A_{c,eff}} = \frac{2,98\text{\ cm}^{2}}{260,37\text{\ cm}^{2}} = 0,01144$$

S_r, max = k₃ * c + k₁* $k_{2}*k_{4}*\frac{O}{\rho_{p,eff}} = 3,4*2,0\ cm + 0,8*0,5*0,425*\frac{0,6\ cm}{0,01144} = 15,716\ cm$

$$\sigma_{s} = \alpha_{e}*\frac{M_{\text{Eqp}}}{I_{||}}*\left( d' - x_{||}\ \right) = 32,124*\left( \frac{301,6\ \text{cm}^{2}}{3781,257\text{\ cm}^{4}} \right)*\left( 8,5\ cm - 3,189\ cm \right) = 13,608\ kN/\text{cm}^{2}$$

$$\varepsilon_{\text{sm}} - \varepsilon_{\text{cm}} = \frac{\left\lbrack \sigma_{s} - \left( k_{t}*\frac{f_{ct,eff}}{\rho_{p,eff}}*\left( 1 + \alpha_{e}*\rho_{p,eff} \right)\ \right) \right\rbrack}{E_{\text{s\ }}}\ \geq 0,6*\ \sigma_{s}/E_{\text{s\ }}\text{\ \ \ \ }$$

$$\frac{\left\lbrack 13,608\ kN/\text{cm}^{2} - \left( 0,4*\frac{0,19\ kN/\text{cm}^{2}}{0,01144}*\left( 1 + 32,124*0,01144 \right) \right) \right\rbrack}{20000\ kN/\text{cm}^{2\ }}\text{\ \ \ } \geq 0,6*\frac{13,608\ kN/\text{cm}^{2}}{20000\ kN/\text{cm}^{2\ }}$$

ε_sm − ε_cm = 0, 298*10⁻³ kN/cm² ≤ 0, 408 * 10⁻³ kN/cm² = 0, 6 *  σ_s/E_s  

(ε_sm − ε_cm)′ = 0, 408 * 10⁻³ kN/cm²

W_k = S_r, max * (ε_sm − ε_cm ) = 15, 716 cm * 0, 408*10⁻³kN/cm²  ≤  W_max = 0, 04cm

0, 00641cm ≤ 0, 04cm

Warunek rozwarcia rys prostopadłych nad podporą B został spełniony

6.6 Sprawdzenie warunku ugięcia: α ≤ α _lim

Przęsło AB

|2, 552 |  >  2, 03  =  Mcr → przekrój zarysowany (faza II)

ζ  = 1  β * ( σ_sr / σ_s )²  = 1  β * ( M_cr / M_AB )² = 1 − 0, 5 * (2, 03 kNm/ 2, 552 kNm)² = 0, 6836

β = 0, 5 dla obciążeń długotrwałych

$$\alpha_{k} = \frac{5}{48}*\left( 1 - \frac{{|M}_{A} + M_{B}|}{10*M_{\text{AB}}} \right) = \frac{5}{48}*\left( 1 - \frac{0 + | - 3,016|}{10*2,552} \right) = 0,0919$$

$$E_{c,eff} = \frac{E_{\text{cm}}}{1 + O_{\infty,to}} = \frac{29\ GPa}{1 + 3,658} = 6,226\ GPa$$

Faza I

S_y = α_e * A_s1 * d + b * h * 0, 5 * h = 32, 124 * 2, 57 cm² * 5, 5 cm + 100 cm * 8 cm * 0, 5 * 8 cm = 3654, 073 cm³

A = α_e * A_s1 + b * h = 32, 124 * 2, 57 cm² + 100 cm * 8 cm = 882, 559 cm²

$$x_{|} = \frac{S_{y}}{A} = \frac{3654,073\text{\ cm}^{3}}{882,559\text{\ cm}^{2}} = 4,140\ cm$$

$$I_{|} = \frac{b*{x_{|}}^{3}}{3} + \frac{b(h - {x_{|})}^{3}}{3} + \alpha_{e,}*A_{S1,\ AB}*{(d - x_{|})}^{2} =$$

$$= \frac{100\ cm*{(4,140\ cm)}^{3}}{3} + \frac{100\ cm(8\ cm - {4,140\ cm)}^{3}}{3} + 32,124*2,57\ \text{cm}^{2}*{(5,5\ cm - 4,140\ cm)}^{2} = 4435,047\ \text{cm}^{4}$$

$$a_{|} = \alpha_{k}*\frac{M_{\text{Eqp}}*{l_{\text{eff}}}^{2}}{\text{E\ }_{c,eff}*I_{|}} = 0,0919*\frac{255,2\ kNcm*\left( 165\ cm \right)^{2}}{622,6\ kN/\text{cm}^{2}*4435,047\text{\ cm}^{4}} = 0,2312\ cm$$

I_||  = 1250, 967 cm⁴

$$a_{||} = \alpha_{k}*\frac{M_{\text{Eqp}}*{l_{\text{eff}}}^{2}}{\text{E\ }_{c,eff}*I_{||}} = 0,0919*\frac{255,2\ kNcm*\left( 165\ cm \right)^{2}}{622,6\ kN/\text{cm}^{2}*1250,967\text{cm}^{4}} = 0,8198\ cm$$

a = ζ * a_|| + (1−ζ) * a_| = 0, 6836 * 0, 8198 cm + (1−0,6836) * 0, 2312 cm = 0, 6336 cm

$$a_{\min} = \frac{l_{\text{eff}}}{250} = \frac{165\ cm}{250} = 0,66\ cm$$

a = 0, 6336m ≤  0, 66cm = a_min

Warunek ugięcia w przęśle AB został spełniony

Przęsło BC

|1,611 kNm| <  2, 03  =  Mcr → przekrój bez rys (faza I)

ζ  = 1  β * ( σ_sr / σ_s )²  = 1  β * ( M_cr / M_BC )² = 1 − 0, 5 * (2, 03 kNm/ 1, 611 kNm)² = 0, 2061

β = 0, 5 dla obciążeń długotrwałych

$$\alpha_{k} = \frac{5}{48}*\left( 1 - \frac{{|M}_{B} + M_{\text{C\ }}|}{10*M_{\text{BC}}} \right) = \frac{5}{48}*\left( 1 - \frac{0 + | - 3,016|}{10*1,611} \right) = 0,0847$$

$$E_{c,eff} = \frac{E_{\text{cm}}}{1 + O_{\infty,to}} = \frac{29\ GPa}{1 + 3,658} = 6,226\ GPa$$

Faza I

S_y = α_e * A_s1 * d + b * h * 0, 5 * h = 32, 124 * 1, 22 cm² * 5, 5 cm + 100 cm * 8 cm * 0, 5 * 8 cm = 3415, 552 cm³

A = α_e * A_s1 + b * h = 32, 124 * 1, 22 cm² + 100 cm * 8 cm = 839, 191 cm²

$$x_{|} = \frac{S_{y}}{A} = \frac{3415,552\text{\ cm}^{3}}{839,191\text{\ cm}^{2}} = 4,07\ cm$$

$$I_{|} = \frac{b*{x_{|}}^{3}}{3} + \frac{b(h - {x_{|})}^{3}}{3} + \alpha_{e,}*A_{S1,\ BC}*{(d - x_{|})}^{2} =$$

$$= \frac{100\ cm*{(4,07\ cm)}^{3}}{3} + \frac{100\ cm*(8\ cm - {4,07\ cm)}^{3}}{3} + 32,124*1,22\ \text{cm}^{2}*{(5,5\ cm - 4,07\ cm)}^{2} = 4350,729\ \text{cm}^{4}$$

$$a_{|} = \alpha_{k}*\frac{M_{\text{Eqp}}*{l_{\text{eff}}}^{2}}{\text{E\ }_{c,eff}*I_{|}} = 0,0847*\frac{161,1\ kNcm*\left( 165\ cm \right)^{2}}{622,6\ kN/\text{cm}^{2}*4350,729\ \text{cm}^{4}} = 0,1371\ cm$$

a = (1−ζ) * a_| = (1−0,2061) * 0, 1371 cm = 0, 1088 cm

$$a_{\min} = \frac{l_{\text{eff}}}{250} = \frac{165\ cm}{250} = 0,66\ cm$$

a = 0, 1088 cm ≤  0, 66 cm = a_min

Warunek ugięcia w przęśle BC został spełniony