Określenie płynu

Płyny to ciecze i gazy (ośrodki mające bardzo małą sprężystość postaciową)

Ciecze różnią się od gazów tym że ich objętość nieznacznie zmienia się pod wpływem sił zewnętrznych

Gazy odznaczają się dużą ściśliwością

W zwykłych warunkach zajmują całą przestrzeń w której się znajdują (brak sprężystości postaciowej i objętościowej)

Równania mechaniki płynów są takie same dla cieczy i gazów gdy nie występuje swobodna powierzchnia cieczy i można nie uwzględnić ściśliwości gazu

Płyn jako ośrodek ciągły

Płyn rzeczywisty zajmuje się modelem teoretycznym

Continuum – ośrodek ciągły

Zakłada się że model teoretyczny płynu jest ośrodkiem ciągłym ( nie uwzględnia się struktury cząsteczkowej płynu)

Płyn jest materią ciągłą wypełniającą przestrzeń w sposób doskonale ciągły

(dowolnie małe otoczenie punktu w jej przestrzeni zachowuje jej właściwości)

Założenie ciągłości wprowadza ograniczenia dotyczące najmniejszej masy płynu (dopuszczalnie małego otoczenia) w której obowiązują ogólne prawa mechaniki

Objętość ta nazwana elementem płynu musi być dostatecznie duża w stosunku do średnich długości swobodnych dróg międzycząsteczkowych i bardzo mała w stosunku do wymiarów liniowych ciał stałych ograniczających rozpatrywaną masę płynów (ściany zbiornika) lub poruszających się w tym płynie ( samolot)

Właściwości płynów

Gęstość, ciężar właściwy, objętość właściwa

Gęstością średnią elementu płynu o masie Δm i objętości ΔV w chwili t

W ogólnym przypadku gęstość płynu zależy od czasu temperatury i ciśnienia

Objętość właściwa jest odwrotnością gęstości

Gęstość cieczy zmniejsza się ze wzrostem temperatury a zwiększa z podwyższeniem ciśnienia

Gęstość cieczy o szerokim zakresie wartości ciśnienia i temperatury zmienia się nieznacznie ρ=const.

Gęstość gazu dodatkowo zależy od prędkości gazu (przy dużych prędkościach)

Płyn barotropowy – to płyn którego gęstość jest stała lub zależy tylko od ciśnienia, jego przeciwieństwem jest płyn baroklinowy

Ściśliwość płynu

Ściśliwość płynu charakteryzuje jego podatność na odkształcenia objętościowe przy zmianie ciśnienia

Średni współczynnik ściśliwości to iloraz względnej zmiany objętości do zmiany ciśnienia

Moduł sprężystości płynu to odwrotność współczynnika ściśliwości

Współczynnik ściśliwości to również związek między gęstością a ciśnieniem

Zależność współczynnika ściśliwości od ciśnienia

Dla gazów (przy ściskaniu izotermicznym)

Dla cieczy

Ściśliwość cieczy jest tak mała że w większości przypadków jest pomijalna

Rozszerzalność cieplna płynów

Rozszerzalność cieplna płynów charakteryzuje jego podatność na odkształcenie objętościowe przy zmianie temperatury

Współczynnik rozszerzalności cieplnej jest miarą odkształcalności wyrażający względną zmianę objętości przy zmianie temperatury o 1 K

Współczynnik rozszerzalności cieplnej można także wyrazić w postaci związku między gęstością i temperaturą

Lepkość płynu

Lepkość płynów to zdolność płynów do przenoszenia naprężeń stycznych przy wzajemnym przenoszeniu elementów poruszających się z różnymi prędkościami

Naprężenie styczne jest proporcjonalne do gradientu prędkości, płyny dla których słuszna jest ta reguła nazwane są niutonowskimi

Płyny w których naprężenia styczne nie są liniowa funkcją gradientu prędkości to płyny nieniutonowskie

Współczynnik proporcjonalności μ to dynamiczny współczynnik lepkości (lepkość dynamiczna [Pa s; kg m/s])

Kinematyczny współczynnik lepkości – lepkość kinematyczna to iloraz lepkości dynamicznej przez gęstość

Lepkość zależy od rodzaju płynu, jego temperatury, i nieznacznie od ciśnienia

W cieczach wzrost temperatury powoduje zwiększenie się odległości między cząstkami wskutek czego maleją siły spójności i zmniejszenie się siły tarcia wewnętrznego

W gazach wzrost temperatury zmniejsza średnią drogę swobodną cząstek i powiększa liczbę zderzeń między cząsteczkami gazu co prowadzi do zwiększenia siły tarcia wewnętrznego

Lepkość wody i powietrza w zależności od temperatury

Siły działające w płynach

Ciśnienie p działające w dowolnym punkcie płynu (przy braku naprężeń stycznych) nie zależy od orientacji elementu powierzchniowego przechodzącego przez ten punkt – prawo Eulera

Ciśnienie jest skalarowi funkcją (ciągłą i różniczkowalną) miejsca i czasu p=p(x,y,z t)

Prawo to jest słuszne dla płynu idealnego i dla płynu rzeczywistego pozostającego w spoczynku lub poruszającego się jak ciało sztywne

Rodzaje przepływów

Laminarny (uwarstwiony); turbulentny (burzliwy)

Przepływ jest laminarny gdy elementy płynów poruszają się w warstwach

W przepływie turbulentnym oprócz ruchu głównego występuje fluktuacje parametrów hydrodynamicznych (prędkości i ciśnienia)

Przepływ jest ustalony jeśli wszystkie parametry ruchu są niezależne od czasu (ciśnienie gęstość przepływu prędkość w każdym punkcie przestrzeni nie zmieniają się )

W przepływie nieustalonym parametry zależne są od czasu

Przepływ jest jednowymiarowy gdy w przekroju poprzecznym strugi charakteryzujące go parametry są stałe
Adhezja - siły przylegania

Statyka płynów

Równanie równowagi płynów

Podstawowe równanie hydrostatyki określa zależności między ciśnieniem a jednostkowymi siłami masowymi działającymi na płyn znajdujący się w spoczynku

Gdy na płyn nie działają siły masowe to z równań równowagi wynika że

Prawo Pascala zwane jest prawem równomiernego rozchodzenia się ciśnienia w płynie

Gdyby na płyn działały wyłącznie siły powierzchniowe, ciśnienie miało by wówczas taką samą wartość w każdym punkcie płynu

Podstawowe zagadnienia statyki płynów to

- określenie związku między ciśnieniem a jednostkowymi siłami masowymi

- znalezienie równania powierzchni izobarycznej

Powierzchnie izobaryczne w jednorodnym polu sił masowych są płaszczyznami

Przekroje naczyń połączonych powinny być tak duże, by siły adhezji działające między ścianami ich przewodów a cząstkami cieczy nie odgrywały większej roli

Powierzchnią ekwipotencjalną izobaryczną wspólną w obu naczyniach będzie płaszczyzna zetknięcia się obu cieczy oraz wszystkie płaszczyzny leżące poniżej ponieważ przechodzą one przez tę samą ciecz jednorodna (p_A=p_B)

W naczyniach połączonych stosunek wysokości słupów dwu nie mieszających się ze sobą cieczy ponad płaszczyzną ich zetknięcia jest równy odwrotnemu stosunkowi ich gęstości

Równowaga względna cieczy to taki przypadek ruchu podczas którego poszczególne elementy cieczy są nieruchome względem siebie i względem naczynia (ciecz z naczyniem porusza się jak ciało stałe)

W ruchu postępowym naczynia wszystkie powierzchnie ekwipotencjalne są płaszczyznami równoległymi do powierzchni swobodnej a jednostkowa siła masowa f jest do nich prostopadła

Znając rozkład ciśnienia w cieczy będącej w spoczynku możemy określić

- powierzchnię ciała stałego zanurzonego w cieczy

- siły hydrostatyczne działające na ściany zbiornika zawierającego ciecz

- napór hydrostatyczny

Napór hydrostatyczny na ścianę płaską o dowolnym konturze i dowolnie nachyloną do płaszczyzny poziomej ma bezwzględną wartość równą ciężarowi słupa cieczy którego podstawą jest dana ściana, a wysokością głębokość jej środka geometrycznego pod zwierciadłem cieczy

Napór na poziome dno zbiornika zależy jedynie od pola powierzchni dna i od odległości od zwierciadła cieczy (nie zależy od kształtu naczynia ani od ilości zawartej w nim cieczy

Wektor naporu hydrostatycznego działającego na ciało zanurzone w płynie jest siłą której moduł jest równy ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało

Prawo Archimedesa

Ciało zanurzone w płynie traci pozornie tyle na ciężarze ile waży płyn wyparty przez to ciało

Ciało pływa w cieczy gdy pozostawione swobodnie wynurza się częściowo nad jej swobodną powierzchnie lub gdy zanurzone całkowicie utrzymuje określone położenie

Stateczność pływania to zdolność powrotu ciała pływającego wychylonego ze stanu równowagi do położenia pierwotnego

Oś pływania - prosta przechodząca przez środek masy S i środek wyporu Σ

Linia pływania – linia przecięcia zwierciadła cieczy z powierzchnią ciała w niej częściowo zanurzonego

Przekrój pływania – płaskie pole ograniczone linią pływania

Kinematyka płynów

Metoda lagrange’a opisuje zmianę różnych wielkości hydrodynamicznych zachodzącą podczas przepływu indywidualnie dla każdego elementu płynu

Metoda lagrange’a (analiza wędrowna płynów) opisuje zmiany różnych wielkości (prędkości przyspieszenia, ciśnienia gęstości) które zachodzą dla poszczególnych elementów podczas ich ruchu

Z metodą lagrange’a związane są pojęcia:

- Powierzchnia płynna – dowolna (otwarta lub zamknięta) powierzchnia ruchoma utworzona z tych samych poruszających się elementów płynu traktowanych jako punkty materialne (kształt powierzchni może zmieniać się w czasie)

- obszar płynny – obszar ograniczony zamkniętą powierzchnią płynną

Metoda eulera polega na tym że w nieruchomym układzie współrzędnych wydziela się pewien obszar wypełniony płynem i bada się zmianę wielkości charakteryzujących przepływ w danym punkcie

Pochodna substancjalna – zupełna pochodna prędkości czyli przyspieszenie a

Pochodna konwekcyjna dotyczy przesunięcia elementu płynu w inne położenie

Strumień objętości – to strumień wektora prędkości v przechodzący przez powierzchnię A

Cyrkulacja prędkości wzdłuż zewnętrznej linii konturowej równa się sumie cyrkulacji wzdłuż zewnętrznych boków konturów składowych

Suma cyrkulacji elementarnych równa się cyrkulacji wzdłuż konturu C ograniczającego poletka brzegowe

Z metodą Eulera związane jest pojęcie powierzchni kontrolnej czyli otwartej lub zamkniętej nieruchomej powierzchni utworzonej przez te same nieruchome punkty przestrzeni.

Obszar kontrolny – obszar ograniczony zamkniętą powierzchnią kontrolną

Najważniejsze twierdzenie kinematyki płynów:

Ruch elementu płynu składa się z ruchów translacyjnego, obrotowego i deformacji elementu

Wir pola to rotacja wektora prędkości

Podstawowe równania mechaniki płynów

Zasada zachowania pędu

Prędkość zmiany pędu płynu zawartego w poruszającej się objętości V równa się wypadkowej sił zewnętrznych działających na ten płyn

Zmiana pędu w czasie spowodowana jest przez siły masowe i powierzchniowe

Równanie Eulera – równanie ruchu cieczy doskonałej

Zasada zachowania momentu pędu

Prędkość zmiany momentu pędu równa się sumie momentów wszystkich sił działających na ciało

Zasada zachowania energii

Energia przypadająca na jednostkę masy jest sumą energii kinetycznej v²/2 oraz energii wewnętrznej e

Energia całkowita płynu:

Zmiana tej energii w czasie może nastąpić

- na skutek działania sił zewnętrznych (powierzchniowych i masowych) podczas przemieszczania się obszaru płynnego

- wskutek doprowadzenia z zewnątrz do obszaru energii cieplnej (przez przewodnictwo cieplne)

Praca sił zewnętrznych

Energia cieplna

Zasada zachowania energii

Równanie zachowania energii

Różniczkowa forma zasady zachowania energii całkowitej