1. Synteza strukturalna i geometryczna mechanizmu

1. 1. Budowa łańcucha kinematycznego

1. 2. Ruchliwość i klasa mechanizmu

Ruchliwość mechanizmu:

Ilość członów: 3

Liczba par kinematycznych klasy 4: 0

Liczba par kinematycznych klasy 5: 4 [(0,1),(1,2),(2,3),(3,0)]

w=3*n-p4-2*p5

w=3*3-0-2*4

w=1

Klasa mechanizmu:

Po odłączeniu członu napędzającego 1 pozostałe człony 2 i 3 tworzą grupę strukturalną.

Ruchliwość grupy strukturalnej po połączeniu jej członów ruchomych

z podstawą n=2, p5=3 (0,2),(2,3),(3,0)

w_gr=3*n-2*p5=0

Grupa strukturalna jest grupą klasy 2 postaci 1.

Analizowany mechanizm składa się z członu napędzającego 1 i grupy strukturalnej klasy 2, jest zatem mechanizmem klasy 2.

Nazwa strukturalna mechanizmu: mechanizm suwakowo – korbowy

Nazwa funkcjonalna mechanizmu: mechanizm chwytaka

Ograniczenia geometryczne:

|AB|<|BD|

S_max=$\sqrt{{|AE|}^{2} + {|CE|}^{2}}$

S_min=|AB|+|BD|

Model mechanizmu w programie SAM:

Przyjęte dane do obliczeń kinematycznych:

s₀=330[mm]=0,033[m]

Δs=400[mm]=0,04[m]

V₁=200[mm/s]

s_A=s₀+V₁*t

Czas ruchu członu: t=0,5[s]

Położenie członu napędzającego: s_A=430[mm]=0,043[m]

l_AE= 220[mm]=0,022[m]

l_EB= 200[mm]=0,02[m]

l_EC= 300[mm]=0,03[m]

l_BD= 620[mm]=0,062[m]

2. Analiza kinematyczna mechanizmu

2.1. Analiza kinematyczna mechanizmu metodą grafoanalityczną

Obliczenie prędkości punktu B:

VB=VA+VBA

VB | DB

VA ||AD

VA =V1

VBA | AB

Obliczenie prędkości punktu C:

VC=VA+VCA

VA=V1

VA ||AD

VCA=ω1*|CA|=170,05[mm/s] $\omega_{1} = \frac{V_{\text{BA}}}{|AB|}$=0,4571[rad/s]

VCA | AC

Obliczenie przyspieszenia punktu B:

aB=aA+aBA

aA=0

aBA=aⁿBA+a^tBA

aB= aⁿBA+a^tBA

aB= aⁿB+a^tB

aⁿB+a^tB = aⁿBA+a^tBA

aⁿBA || AB

a^tBA | AB

aⁿB || BD

a^tB | BD

$$\omega_{2} = \frac{VB}{|BD|} = 0,1210\lbrack rad/s\rbrack$$

aⁿBA = ω₁²|AB| = 59, 7550[mm/s²]

aⁿB = ω₂²|BD| = 9, 07742[mm/s²]

Obliczenie przyspieszenia punktu C:

aC=aA+aCA

aA=0

aCA=aⁿCA+a^tCA

aC= aB+aⁿCB+a^tCB

aB+aⁿCB+a^tCB = aⁿCA+a^tCA

aⁿCB || CB

a^tCB | CB

aⁿCA || AC

a^tCA | AC

aⁿCA = ω₁²|AC| = 61, 308[mm/s²]

aⁿCB = ω₁²|BC| = 59, 1855[mm/s²]

2.2. Analiza kinematyczna mechanizmu metoda analityczną

Dane: l₁, l₂, l₃(t), φ₃ = π

Szukane: V_B, a_B, φ₁

l₁+l₂+ l₃=0

$$\left\{ \begin{matrix} \ l_{1}\text{cos\ }\varphi_{1} + l_{2}\text{cos\ }\varphi_{2} - \ l_{3} = 0 \\ l_{1}\text{sin\ }\varphi_{1} + l_{2}\text{sin\ }\varphi_{2} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\text{sin\ }\varphi_{2} = - \frac{l_{1}}{l_{2}}\sin\varphi_{1}$$

$$\text{cos\ }\varphi_{2} = \sqrt{1 - \sin^{2}\varphi_{2}} = \sqrt{1 - \frac{l_{1}^{2}}{l_{2}^{2}}\sin^{2}\varphi_{1}}$$

$$l_{1}\text{cos\ }\varphi_{1} - l_{2}\sqrt{1 - \frac{l_{1}^{2}}{l_{2}^{2}}\sin^{2}\varphi_{1}}{- \ l}_{3} = 0$$

Po podniesienu do kwadratu:

$$l_{2}^{2}\left( 1 - \frac{l_{1}^{2}}{l_{2}^{2}}\sin^{2}\varphi_{1} \right) = \ l_{3}^{2} - \ 2l_{1}l_{2}\cos\varphi_{1} + l_{1}^{2}\cos^{2}\varphi_{1}$$

Po zastosowaniu wzoru (jedynka trygonometryczna):

l₂² − l₁²  +  l₁²cos²φ₁ =  l₃² −  2l₁l₂cosφ₁ + l₁²cos²φ₁

i ostatecznie:

$$\cos\varphi_{1} = \frac{l_{2}^{2} - l_{1}^{2} - l_{3}^{2}}{- 2l_{1}l_{3}}$$

po podstawieniu: t=0,5[s], l₁ = 420[mm],  l₂=620[mm],   l₃ = 610[mm]

cosφ₁=0,3203 φ₁= 71,319[⁰]

Obliczanie φ₂

$$\cos\varphi_{2} = \ \frac{l_{3} - l_{1}\cos\varphi_{1}}{l_{2}}$$

cosφ₂=0,7669 φ₂=309,924[⁰]

Wyznaczenie prędkości kątowych:

−ω₁l₁sinφ₁−ω₂l₂sinφ₂ − V_A = 0

Obliczenie ω₁(obracamy układ współrzędnych o kąt φ₂)

−ω₁l₁sin(φ₁− φ₂) − ω₂l₂sin(φ₂−φ₂)−V_Acosφ₂ = 0

$$\omega_{1} = \frac{- V_{A}\cos\varphi_{2}}{l_{1}{sin(\varphi}_{1}{- \ \varphi}_{2})}$$

ω₁ = 0, 4277[rad/s]

Obliczenie ω₂(obracamy układ współrzędnych o kąt φ₁)

−ω₁l₁sin(φ₁− φ₁) − ω₂l₂sin(φ₂−φ₁)−V_Acosφ₁ = 0

$$\omega_{2} = \frac{- V_{A}\cos\varphi_{1}}{l_{2}{sin(\varphi}_{2}{- \ \varphi}_{1})}$$

ω₂0, 4277[rad/s]

Obliczenie przyśpieszeń kątowych:

−ε₁l₁sinφ₁−ω₁²l₁cosφ₁ − ε₂l₂sinφ₂ − ω₂²l₂cosφ₂ = 0

Obliczenie ε₁(obracamy układ współrzędnych o kąt φ₂)

−ε₁l₁sin(φ₁ − φ₂)−ω₁²l₁cos(φ₁− φ₂)−ε₂l₂sin(φ₂ − φ₂)−ω₂²l₂cos(φ₂ − φ₂)=0

$$\varepsilon_{1} = \frac{\omega_{2}^{2}l_{2} - \omega_{1}^{2}l_{1}\cos{(\varphi}_{1}{- \ \varphi}_{2})}{l_{1}\sin{(\varphi}_{1}{- \ \varphi}_{2})}$$

ε₁ = 0, 02936[rad/s²]

Obliczenie ε₂(obracamy układ współrzędnych o kąt φ₁)

−ε₁l₁sin(φ₁ − φ₁)−ω₁²l₁cos(φ₁− φ₁)−ε₂l₂sin(φ₂ − φ₁)−ω₂²l₂cos(φ₂ − φ₁)=0

$$\varepsilon_{2} = \frac{\omega_{1}^{2}l_{1} - \omega_{2}^{2}l_{2}\cos{(\varphi}_{2}{- \ \varphi}_{1})}{l_{2}\sin{(\varphi}_{2}{- \ \varphi}_{1})}$$

ε₂ = 0, 10893[rad/s²]

Obliczenie V_B i a_B

$${\dot{\varphi}}_{1} = \omega_{1}\ ,\ {\ddot{\varphi}}_{1} = \varepsilon_{1}$$

r_B=S_A+l₁

r_BX=S_A+l₁ *cosφ₁

r_BY=l₁ *sinφ₁

$$V_{\text{BX}} = \ \frac{Dr_{\text{BX}}}{\text{Dt}} = V_{A} - \sin\varphi_{1}$$

$$V_{\text{BY}} = \ \frac{Dr_{\text{BY}}}{\text{Dt}} = l_{1}{\dot{\varphi}}_{1}\cos\varphi_{1}$$

$$V_{B} = \ \sqrt{V_{\text{BX}}^{2} + V_{\text{BY}}^{2}\ } = \sqrt{l_{1}^{2}{\dot{\varphi}}_{1}^{2}\cos^{2}\varphi_{1} + \left( V_{A} - \sin\varphi_{1} \right)^{2}}$$

V_B = 76, 0127[mm/s]

$$a_{\text{BX}} = \ \frac{{D^{2}r}_{\text{BX}}}{Dt^{2}} = 0 - l_{1}{\ddot{\varphi}}_{1}\sin\varphi_{1} - \ l_{1}{\dot{\varphi}}_{1}^{2}\cos\varphi_{1} = {- l_{1}{\ddot{\varphi}}_{1}\sin\varphi_{1} - l}_{1}{\dot{\varphi}}_{1}^{2}\cos\varphi_{1}$$

$$a_{\text{BY}} = \ \frac{D^{2}r_{\text{BY}}}{Dt^{2}} = \ l_{1}{\ddot{\varphi}}_{1}\cos\varphi_{1} - \ l_{1}{\dot{\varphi}}_{1}^{2}\sin\varphi_{1}$$

$$a_{B} = \ \sqrt{a_{\text{BX}}^{2} + a_{\text{BY}}^{2}} = \sqrt{\left( - l_{1}{\ddot{\varphi}}_{1}\sin\varphi_{1} - \ l_{1}{\dot{\varphi}}_{1}^{2}\sin\varphi_{1} \right)^{2} + \left( \ l_{1}{\ddot{\varphi}}_{1}\cos\varphi_{1} - \ l_{1}{\dot{\varphi}}_{1}^{2}\sin\varphi_{1} \right)^{2}\text{\ \ }}$$

a_B = 65, 9931[mm/s²]

$$l_{4} = \sqrt{\frac{l_{1}^{2}}{4} + l_{\text{EC}}^{2}}$$

φ₄ = φ₁ + α

r_C=S_A+l₁

r_CX=S_A+l₄ *cosφ₄

r_CY=l₄ *sinφ₄

$${\dot{\text{\ φ}}}_{4} = \omega_{1}{,\ \ \ddot{\varphi}}_{4} = \varepsilon_{1}\ $$

$$V_{\text{CX}} = \ \frac{Dr_{\text{CX}}}{\text{Dt}} = V_{A} - \sin\varphi_{4}$$

$$V_{\text{CY}} = \ \frac{Dr_{\text{CY}}}{\text{Dt}} = l_{4}{\dot{\varphi}}_{4}\cos\varphi_{4}$$

$$V_{C} = \ \sqrt{V_{\text{CX}}^{2} + V_{\text{CY}}^{2}\ } = \sqrt{l_{4}^{2}{\dot{\varphi}}_{4}^{2}\cos^{2}\varphi_{4} + \left( V_{A} - \sin\varphi_{4} \right)^{2}}$$

V_C = 114, 0691[mm/s]

$$a_{\text{CX}} = \ \frac{{D^{2}r}_{\text{CX}}}{Dt^{2}} = 0 - l_{4}{\ddot{\varphi}}_{4}\sin\varphi_{4} - \ l_{4}{\dot{\varphi}}_{4}^{2}\cos\varphi_{4}$$

$$a_{\text{CY}} = \ \frac{D^{2}r_{\text{CY}}}{Dt^{2}} = \ l_{4}{\ddot{\varphi}}_{4}\cos\varphi_{4} - \ l_{4}{\dot{\varphi}}_{4}^{2}\sin\varphi_{4}$$

$$a_{C} = \ \sqrt{a_{\text{CX}}^{2} + a_{\text{CY}}^{2}} = \sqrt{\left( l_{4}{\ddot{\varphi}}_{4}\sin\varphi_{4} - \ l_{4}{\dot{\varphi}}_{4}^{2}\sin\varphi_{4} \right)^{2} + \left( \ l_{4}{\ddot{\varphi}}_{4}\cos\varphi_{4} - l_{4}{\dot{\varphi}}_{4}^{2}\cos\varphi_{4} \right)^{2}\text{\ \ }}$$

a_C = 58, 2587[mm/s²]

2.3. Analiza kinematyczna mechanizmu w programie SAM

a_C = 57, 57886[mm/s²]

V_C = 113, 72608[mm/s]

a_B = 65, 44174[mm/s²]

V_B = 75, 44050[mm/s]

ε₁ = 0, 02462[rad/s²]

ε₂ = 0, 10473[rad/s²]

ω₁ = 0, 39168[rad/s]

ω₂ = −0, 12202[rad/s]

2.4 Porównanie wyników

Lp	Parametr	SAM	Metoda grafoanalityczna	Metoda analityczna
1	ω1	0, 39168	0,4571	0, 4277
2	ω2	−0, 12202	0, 1210	−0, 1210
3	ε1	0, 02462	0, 03134	0, 02936
4	ε2	0, 10473	0, 11207	0, 10893
5	VB	75, 44050	76,5	76, 0127
6	aB	65, 44174	66,5	65, 9931
7	VC	113, 72608	115,1	114, 0691
8	aC	57, 57886	59,2	58, 2587

3. Analiza kinetostatyczna mechanizmu

1. Obliczenie sił ciężkości, sił bezwładności i momentów od sił bezwładności oraz przyjęcie zewnętrznych sił i momentów oporu

Moment bezwładności:

m₂=2[kg]

J_S2=$m_{2}*\frac{l_{2}^{2}}{12}$

J_S2=0.0294[kg*m²]

P₂=2[N]

M₃=1[Nm]

B₂=-m₂a_S2

B₂= m₂a_S2=2*0,03272=0,065[N]

M_B2=- J_S2ε₁

M_B2= J_S2ε₁=0,0294*0,1047=0,0031[Nm]

G₂=m₂*g=19,62[N]

$\sum_{}^{}{P_{i} = 0\ ,\ \ \ R_{12}^{n}} + R_{12}^{t} + B_{2} + G_{2} + P_{2} + R_{30}^{n} + R_{30}^{t} = 0$

$$\sum_{}^{}{M_{iB(2)} = 0,\ \ {- R}_{12}^{t}\left| \text{AB} \right| - B_{2}h_{2} + G_{2}h_{3} + P_{2}h_{4} + M_{B2} = 0\ \ }$$

$$R_{12}^{t} = \frac{{- B}_{2}h_{2} + G_{2}h_{3} + P_{2}h_{4} + M_{B2}}{|AB|}$$

R₁₂^t = 6, 5061[N]

$$\sum_{}^{}{M_{iB(3)} = 0,\ \ R_{30}^{t}\left| \text{BD} \right| + M_{3} = 0\ \ }$$

$$R_{03}^{t} = \frac{- M_{3}}{|BD|}$$

R₀₃^t = 1, 6129[N]

R₁₂ⁿ + R₁₂^t + B₂ + G₂ + P₂ + R₃₀ⁿ + R₃₀^t = 0

1. Równanie równowagi sił zewnętrznych i reakcji działających na człon napędzający

P_R1 + R₀₁ + R₁₂ = 0

Po odczytaniu:

P_R1 = 2[N]

R₁₂ = 17, 5[N]

1. Analiza kinetostatyczna metodą mocy chwilowych.

P_R1V_A  +  B₂V_S2 + G₂V_S2 + M_B2ω₁ + P₂V_C + M₃ω₂ = 0

P_R1V_A  +  B₂V_S2cos(70, 50)+G₂V_S2cos(115, 40)+M_B2ω₁ + P₂V_Ccos(33, 50)+M₃ω₂ = 0

$$P_{R1} = \frac{{- \ B}_{2}V_{S2}\cos\left( {70,5}^{0} \right) - G_{2}V_{S2}\cos\left( {115,4}^{0} \right) - M_{B2}\omega_{1} - P_{2}V_{C}\cos\left( {33,5}^{0} \right) - M_{3}\omega_{2}}{V_{A}}$$

P_R1 = 2, 2367[N]

1. Analiza kinetostatyczna w programie SAM

Porównanie Wyników:

Metoda grafoanalityczna	Metoda mocy chwilowych	Obliczenie w programie SAM
2[N]	2,2367[N]	2,158511[N]