ĆWICZENIE 9 Jest trzech podejrzanych o kradzież: Piotr, Robert i Stanisław. Ustalono, iż:
(i) W kradzieży brała udział 1 lub 2 osoby.
(ii) Jeśli Robert jest niewinny, to Stanisław też.
(iii) Robert nigdy nie pracuje sam.
(iv) Stanisław nigdy nie współpracuje z Robertem.
O kim wiadomo na pewno, że jest winien? Kto jest na pewno niewinny?
Mamy trzy zdania: Piotr jest winny – p,
Robert jest winny – r,
Stanisław jest winny – s
W trzech pierwszych kolumnach wpisujemy zmienne p, r , s i wszystkie 8 możliwych kombinacji wartości logicznych
| p | r | s | |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 1 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | 1 |
| 5 | 0 | 1 | 1 |
| 6 | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 1 | 1 | 0 |
| 8 | 1 | 1 | 1 |
Zdanie (i) pozwala wykreślić wiersz 1 oraz 8.
Zdanie (ii) ma schemat: ¬r⇒¬s
Pomocniczo zatem w kolumnach * i ** wpisujemy ¬r, ¬s i określamy wartość logiczną tych zdań, a potem wartość zdania ¬r⇒¬s
| p | r | s | *¬r | **¬s | ¬r⇒¬s | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 3 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 4 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 6 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 7 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Możemy wykreślić wiersze: 4 i 6.
Zdanie (iii) pozwala wykreślić wiersz, w którym r jest prawdziwe, a p i s są fałszywe, czyli wiersz 3. Wtedy bowiem sam Robert byłby winny, a przecież – zgodnie ze zdaniem (iii) nie pracuje on sam.
Zdanie (iv) można zapisać: ¬(s⇔r). Pomocniczo – najpierw ustalamy wartość zdania (s⇔r) (w kolumnie ***), a dopiero potem ustalamy wartość zdania ¬(s⇔r).
| p | r | s | *¬r | **¬s | ¬r⇒¬s | *** s⇔r | ¬(s⇔r). | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | |
| 5 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | |
| 7 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | |
Możemy wykreślić wiersze: 2 i 5. Zostaje tylko wiersz 7 – a zatem winni są zarazem Piotr i Robert, a Stanisław - niewinny.