Akademia Techniczno — Humanistyczna w Bielsku — Białej

Wydział Budowy Maszyn i Informatyki

Rok Akademicki 2011/2012

Studia: stacjonarne, inżynierskie

Semestr: 5

Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn

Specjalność: SiS / KWKiW

Sekcja laboratoryjna: 1

LABORATORIUM

DRGAŃ MECHANICZNYCH

ĆWICZENIE NR 2

DRGANA UKŁADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY PRZY POMIJALNIE MAŁYM TŁUMIENIU

Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia było zapoznanie się ze zjawiskiem drgań mechanicznych układu o jednym stopniu swobody przy pomijalnie małym tłumieniu. Doświadczenie polegało na wyznaczeniu okresu drgań układu w trzech jego położeniach oraz zbadanie wpływu kierunku siły ciężkość na częstość drgań własnych tego układu.

Przebieg ćwiczenia:

1. Trzykrotnie zmierzenie i zanotowanie wymiaru l przedstawionego na schemacie stanowiska.

2. Zmierzenie w trzech równomiernie od siebie oddalonych miejscach wymiarów b oraz h sprężyny oraz ich zanotowanie.

3. Odpisanie masy obciążnika.

4. Obliczenie współczynnik k sztywności sprężyny.

5. Na podstawie zależności (1), (2) oraz (3) obliczenie teoretycznych wartości częstości drgań własnych badanego układu, odpowiadające trzem różnym położeniom.

6. Przeprowadzenie trzykrotnego pomiar czasu trwania 10 wahnięć masy m w każdym z rozpatrywanych położeń, przy czym max. wychylenie od położenia równowagi nie może przekroczyć 30˚.

7. Obliczenie okresów drgań układu występujących w każdym z rozpatrywanych położeń.

8. Na podstawie średnich wartości okresu drgań wyznaczenie doświadczalne wartości częstości drgań własnych badanego układu, odpowiadające poszczególnym położeniom.

10. Porównanie otrzymanych wyniki doświadczalnych z wynikami teoretycznymi.

Schemat stanowiska laboratoryjnego:

Schemat stanowiska pomiarowego w 3 różnych położeniach. Przyjmujemy że wychylenie jest małe i wynosi mniej niż 30^o. Układ z przykładu pierwszego możemy zastąpić modelem matematycznym zastępczym przedstawionym poniżej:

1

2

3

Na rysunkach przedstawiono schemat układu drgającego o jednym stopniu swobody, w trzech różnych położeniach, głównymi elementami są:

- podstawa;

- płaska sprężyna o wymiarach b x h;

- obciążnik o masie m.

Dane wejściowe:

Masa obciążnika m = 203 [g] = 0,203 [kg]

Wymiary b x h sprężyny płaskiej:

h1=0,7 [mm]	b1=17,95 [mm]
h2=0,7 [mm]	b2=18,3 [mm]
h3=0,7 [mm]	b3=18,5 [mm]
Wyniki średnie:
h=0,7 [mm]	b=18,25 [mm]

Wymiar l (długość) sprężyny płaskiej: l = 213 [mm]

Zestawienie wyników pomiarów:

Przeprowadzony został pomiar czasu trwania 10 wahnięć masy m w każdym z rozpatrywanych położeń, przy czym max. wychylenie od położenia równowagi nie mogło przekroczyć 30˚.

Wyniki pomiarów:

-położenie „1” - 10 wahnięć w 9 sekund;

-położenie „2” - 10 wahnięć w 6,7 sekundy;

-położenie „3” - 10 wahnięć w 5,1 sekundy.

Przebieg obliczeń, zestawienie wyników obliczeń:

Położenie 1:

Okres dziesięciu wahnięć:

T_10I = 9 [s]

Okres jednego wahnięcia:

$$T_{1} = \frac{T_{10I}}{10} = \frac{9}{10} = 0,9\ \left\lbrack s \right\rbrack$$

Częstość drgań własnych układu:

$$\alpha_{1} = \frac{2\pi}{T_{1}} = \frac{2\pi}{0,9} = 6,98\ \left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$

Obliczenia modelu matematycznego:

Przyjmujemy że wychylenie jest małe i wynosi mniej niż 30^o. Model z przykładu pierwszego możemy zastąpić modelem zastępczym układu przedstawionym na poniższym rysunku:

Sztywność sprężyny k wyznaczamy ze wzoru:

$$k = \frac{3EI}{l^{3}}$$

gdzie:

E=2,1•10¹¹ [Pa]

$$I = \frac{b \bullet h^{3}}{12} = \frac{0,01825 \bullet {0,0007}^{3}}{12} = 5,2 \bullet 10^{- 13}\left\lbrack m^{4} \right\rbrack$$

$$k = \frac{3EI}{l^{3}} = \frac{3 \bullet 2,1 \bullet 10^{11} \bullet 5,2 \bullet 10^{- 13}}{{0,213}^{3}} = 33,9\ \left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$

zmierzone wymiary w milimetrach b, h oraz l zostały przeliczone dla ułatwienia obliczeń na metry:

h=0,7 [mm] = 0,0007 [m]

b=18,25 [mm] = 0,01825 [m]

l = 213 [mm] = 0,213 [m]

Korzystamy z II Prawa Newtona:

J • φ = −k • φ • l² + m • g • l • sinφ ≈ −k • φ • l² + m • g • l • φ

gdzie:

J = m • l² - masowy moment bezwładności

m – masa obciążnika;

l – długość sprężyny płaskiej.

Masowy moment bezwładności:

J = m • l² = 0, 203 • (0, 213²) = 0, 0092 [kg•m²]

po przeniesieniu wyrazów na lewą stronę otrzymamy:

J • φ + k • l² • φ − m • g • l • φ = 0

po podzieleniu równania przez masowy moment bezwładności J otrzymamy:

$$\varphi + \frac{k \bullet l^{2} - m \bullet g \bullet l}{J} \bullet \varphi = 0$$

Równanie to jest równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego opisującym drgania swobodne bez tłumienia układu liniowego o jednym stopniu swobody. Szukana częstość drgań własnych α_I układu w pozycji „1” jest określona przez współczynnik φ następująco:

$$\alpha_{I} = \sqrt{\frac{k \bullet l^{2} - m \bullet g \bullet l}{J}} = \sqrt{\frac{33,9 \bullet {0,213}^{2} - 0,203 \bullet 9,81 \bullet 0,213}{0,0092}} = 11\ \left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$

Położenie 2:

Okres dziesięciu wahnięć:

T_10II = 6, 7 [s]

Okres jednego wahnięcia:

$$T_{2} = \frac{T_{10II}}{10} = \frac{6,7}{10} = 0,67\ \left\lbrack s \right\rbrack$$

Częstość drgań własnych układu:

$$\alpha_{2} = \frac{2\pi}{T_{2}} = \frac{2\pi}{6,7} = 9,38\ \left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$

Obliczenia modelu matematycznego:

Sztywność sprężyny k wyznaczamy ze wzoru:

$$k = \frac{3EI}{l^{3}}$$

gdzie:

E=2,1•10¹¹ [Pa]

$$I = \frac{b \bullet h^{3}}{12} = \frac{0,01825 \bullet {0,0007}^{3}}{12} = 5,2 \bullet 10^{- 13}\left\lbrack m^{4} \right\rbrack$$

$$k = \frac{3EI}{l^{3}} = \frac{3 \bullet 2,1 \bullet 10^{11} \bullet 5,2 \bullet 10^{- 13}}{{0,213}^{3}} = 33,9\ \left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$

zmierzone wymiary w milimetrach b, h oraz l zostały przeliczone dla ułatwienia obliczeń na metry:

h=0,7 [mm] = 0,0007 [m]

b=18,25 [mm] = 0,01825 [m]

l = 213 [mm] = 0,213 [m]

Korzystamy z II Prawa Newtona:

J • φ = −k • φ • l² ≈ −k • φ • l²

gdzie:

J = m • l² - masowy moment bezwładności

m – masa obciążnika;

l – długość sprężyny płaskiej.

Masowy moment bezwładności:

J = m • l² = 0, 203 • (0, 213²) = 0, 0092 [kg•m²]

po przeniesieniu wyrazów na lewą stronę otrzymamy:

J • φ + k • l² • φ = 0

po podzieleniu równania przez masowy moment bezwładności J otrzymamy:

$$\varphi + \frac{k \bullet l^{2}}{J} \bullet \varphi = 0$$

Równanie to jest równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego opisującym drgania swobodne bez tłumienia układu liniowego o jednym stopniu swobody. Szukana częstość drgań własnych α_II układu w pozycji „2” jest określona przez współczynnik φ następująco:

$$\alpha_{\text{II}} = \sqrt{\frac{k \bullet l^{2}}{J}} = \sqrt{\frac{33,9 \bullet {0,213}^{2}}{0,0092}} = 12,92\ \left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$

Położenie 3:

Okres dziesięciu wahnięć:

T_10III = 5, 1 [s]

Okres jednego wahnięcia:

$$T_{3} = \frac{T_{10III}}{10} = \frac{5,1}{10} = 0,51\ \left\lbrack s \right\rbrack$$

Częstość drgań własnych układu:

$$\alpha_{3} = \frac{2\pi}{T_{3}} = \frac{2\pi}{0,9} = 12,92\ \left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$

Obliczenia modelu matematycznego:

Sztywność sprężyny k wyznaczamy ze wzoru:

$$k = \frac{3EI}{l^{3}}$$

gdzie:

E=2,1•10¹¹ [Pa]

$$I = \frac{b \bullet h^{3}}{12} = \frac{0,01825 \bullet {0,0007}^{3}}{12} = 5,2 \bullet 10^{- 13}\left\lbrack m^{4} \right\rbrack$$

$$k = \frac{3EI}{l^{3}} = \frac{3 \bullet 2,1 \bullet 10^{11} \bullet 5,2 \bullet 10^{- 13}}{{0,213}^{3}} = 33,9\ \left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$

zmierzone wymiary w milimetrach b, h oraz l zostały przeliczone dla ułatwienia obliczeń na metry:

h=0,7 [mm] = 0,0007 [m]

b=18,25 [mm] = 0,01825 [m]

l = 213 [mm] = 0,213 [m]

Korzystamy z II Prawa Newtona:

J • φ = −k • φ • l² − m • g • l • sinφ ≈ −k • φ • l² − m • g • l • φ

gdzie:

J = m • l² - masowy moment bezwładności

m – masa obciążnika;

l – długość sprężyny płaskiej.

Masowy moment bezwładności:

J = m • l² = 0, 203 • (0, 213²) = 0, 0092 [kg•m²]

po przeniesieniu wyrazów na lewą stronę otrzymamy:

J • φ + k • l² • φ + m • g • l • φ = 0

po podzieleniu równania przez masowy moment bezwładności J otrzymamy:

$$\varphi + \frac{k \bullet l^{2} + m \bullet g \bullet l}{J} \bullet \varphi = 0$$

Równanie to jest równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego opisującym drgania swobodne bez tłumienia układu liniowego o jednym stopniu swobody. Szukana częstość drgań własnych α_III układu w pozycji „3” jest określona przez współczynnik φ następująco:

$$\alpha_{\text{III}} = \sqrt{\frac{k \bullet l^{2} + m \bullet g \bullet l}{J}} = \sqrt{\frac{33,9 \bullet {0,213}^{2} + 0,203 \bullet 9,81 \bullet 0,213}{0,0092}} = 14,6\ \left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$

Zestawienie wyników teoretycznych z doświadczalnymi:

	Częstość drgań teoretyczna $\left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$	Częstość drgań doświadczalna $\left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$	$$\frac{Doswiadczalne}{\text{Teoretyczne}} \bullet 100\%$$
Położenie 1	11	6,98	63%
Położenie 2	12,92	9,38	73%
Położenie 3	14,6	12,92	88%

Wnioski: