Nr ćwiczenia: 303	13.11.2012	Joanna Falkowska	Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska	Semestr: I	Grupa: 3 Nr lab: 3
Prowadzący: Dr hab. Józef Grabowski, prof.	Przygotowanie	Wykonanie	Ocena

Wyznaczanie ogniskowych soczewek ze wzoru soczewkowego oraz
metodą Bessela

1. Podstawy teoretyczne

Soczewka to ciało przezroczyste ograniczone dwoma powierzchniami sferycznymi.

Oś optyczna to oś łączącą środki krzywizny obu powierzchni.

Światło przechodzące przez soczewkę ulega kolejno załamaniu na obu jej powierzchniach. Promień przechodzący przez środek optyczny soczewki nie ulega załamaniu niezależnie od kąta padania na soczewkę. Wiązka promieni biegnąca równolegle do osi optycznej skupia się w jednym punkcie, zwanym ogniskiem. Ogniskową nazywamy odległość ogniska od środka soczewki.

Soczewki rozpraszające i skupiające buduje się dobierając odpowiednio promienie krzywizn. W przypadku soczewki rozpraszającej wiązka równoległa padająca na nią po przejściu staje się wiązką rozbieżną. Ogniskiem staje się wtedy punkt przecięcia przedłużeń promieni załamanych.

Położenie ogniska zależy od współczynnika załamania n materiału soczewki względem ośrodka, w którym się znajduje, oraz od promieni krzywizn obu powierzchni ograniczających: R₁ i R₂. Zależność ogniskowej od tych parametrów określa się równaniem:

$$\frac{1}{f} = \left( n - 1 \right)\left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$$

Zdolność skupiająca soczewki D to odwrotność ogniskowej (jej jednostką jest dioptria o wymiarze m^-1):

$$D = \frac{1}{f}$$

Soczewki mają zdolność odwzorowywania punktów polegającą na tym, że promienie wybiegające z punktu P, zwanego przedmiotem, zostają skupione po przejściu przez soczewkę w punkcie O tworząc obraz przedmiotu. Położenie obrazu zależy od położenia przedmiotu oraz od ogniskowej soczewki - określone jest tzw. równaniem soczewkowym:

$$\frac{1}{p} + \frac{1}{o} = \frac{1}{f}$$

gdzie: p to odległość przedmiotu od soczewki, a o to odległość obrazu od soczewki.

Równanie to może jednak być tylko stosowane, gdy:

• Promienie wybiegające z P tworzą niewielki kąt z osią optyczną

• Soczewka jest cienka, czyli jej grubość jest mała w porównaniu z promieniami krzywizny

Aby określić znaki p, o, R₁, R₂ przyjęto umowę:

• p jest zawsze dodatnie

• o, R, f są dodatnie, gdy leżą po przeciwnej stronie soczewki niż przedmiot

• o, R, f są ujemne, gdy leżą po tej samej stronie soczewki co przedmiot

Obraz w soczewce możemy znaleźć stosując konstrukcję geometryczną.

• Konstrukcja obrazu w soczewce skupiającej:

• Konstrukcja obrazu w soczewce rozpraszającej:

W tych konstrukcjach wykorzystuje się dwa charakterystyczne promienie:

• Promień biegnący równolegle do osi optycznej, który po załamaniu przechodzi przez ognisko

• Promień przechodzący przez środek optyczny, który nie zmienia kierunku.

Obraz powstaje w punkcie przecięcia tych promieni lub ich przedłużeń.

Ogniskową układu składającego się z dwóch cienkich soczewek o ogniskowych f₁ i f₂ znajdujących się we wzajemnej odległości d można obliczyć według wzoru:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}} - \frac{d}{f_{1}f_{2}}$$

Metody znajdowania ogniskowych:

• Na podstawie wzoru soczewkowego

Odległości p i o są łatwe do zmierzenia, dzięki czemu wzór soczewkowy możemy wykorzystać do wyznaczenia ogniskowej f. Na ławie optycznej umieszczamy świecący przedmiot, soczewkę oraz ekran w ten sposób, aby na ekranie otrzymać wyraźny obraz przedmiotu. Ekran i soczewka umieszczone są na wózkach, co umożliwia ich przesuwanie wzdłuż ławy. Wskaźnik wózka przesuwający się względem podziałki naniesionej na ławie wyznacza dokładnie położenie wózka lub soczewki.

Ponieważ oszacowanie ostrości obrazu jest połączone z dużą niepewnością, ustawienie wózka powtarzamy kilkakrotnie, ustalając za każdym razem jego położenie, po czym obliczamy wartość średnią.

Znając odpowiednie położenia obliczamy odległości przedmiotu i obrazu, a następnie obliczamy ogniskową korzystając ze wzoru soczewkowego.

Ta metoda nie może być stosowana bezpośrednio do soczewek rozpraszających, ponieważ nie dają one obrazu rzeczywistego. Można jednak obliczyć ogniskową układu złożonego z badanej soczewki rozpraszającej i soczewki skupiającej. Mając ogniskową układu f oraz ogniskową f_s soczewki skupiającej, znajdujemy ogniskową f_r soczewki rozpraszającej z równania na ogniskową układu. Podczas stosowania tej metody należy jednak pamiętać, że obraz rzeczywisty uzyskamy wtedy, gdy będzie spełniony warunek: |f_s|<|f_r|, oraz że ogniskowa soczewki rozpraszającej jest ujemna.

• Metoda Bessela

Odległość obrazu i przedmiotu we wzorze soczewkowym występują w postaci symetrycznej, co oznacza, że po zmianie ich wartości równanie pozostaje w dalszym ciągu prawdziwe. Konsekwencją fizyczną symetrii równania soczewkowego jest możliwość uzyskania ostrego obrazu przy dwóch położeniach soczewki względem przedmiotu.

Przy stałej odległości l przedmiotu od ekranu obraz powstaje w odległości o oraz o’ = p od soczewki. Różnica pomiędzy położeniami soczewki to e. W jednym położeniu obraz jest pomniejszony, a w drugim powiększony w stosunku do przedmiotu. Można napisać więc układ równań:

o + p = l

o − p = e

Po obliczeniu p oraz o i wstawieniu ich do równania soczewkowego otrzymujemy wzór:

$$f = \frac{l^{2} - e^{2}}{4l}$$

Aby obliczyć ogniskową soczewki lub układu soczewek należy zmierzyć odległość przedmiotu od ekranu l oraz różnicę między położeniami soczewki dla których uzyskano ostry obraz. Pomiarów dokonujemy dla kilku położeń ekranu.

1. Wyniki pomiarów

Soczewka A

Nr próby	Odległości [cm]
	o
1	86,5
2	76,2
3	65,8

Soczewka B

Nr próby	Odległości [cm]
	o
1	62
2	49
3	44,3

Soczewka C

Nr próby	Odległości [cm]
	o
1	22,7
2	24,8
3	27,5

Układ A-1

Nr próby	Odległości [cm]
	o
1	21,1
2	21
3	22,2

Układ A-2

Nr próby	Odległości [cm]
	o
1	25,1
2	27,4
3	27,8

Układ A-3

Nr próby	Odległości [cm]
	o
1	19,1
2	19,2
3	19,9

Odległość soczewek w układach A-1, A-2, A-3: d = 4,7 cm

1. Obliczenia

Nr próby	Ogniskowe obliczane ze wzoru soczewkowego [cm]
	A
1	11,6775
2	11,684
3	11,6795
Średnia	11,680333

Korzystając ze średniej wartości ogniskowej soczewki A (obliczonej na podstawie wartości uzyskanych ze wzoru soczewkowego) oraz z wyników trzech kolejnych pomiarów ogniskowych układów A-1, A-2, A-3 uzyskanych ze wzoru soczewkowego można obliczyć ogniskowe soczewek rozpraszających:

Nr próby	Ogniskowe soczewek rozpraszających [cm]
	1
1	-23,3933
2	-25,428
3	-25,6841
Średnia	-24,8351

Nr próby	Ogniskowe obliczone metodą Bessela [cm]
	A
1	11,640975
2	11,640306
3	11,724316
Średnia	11,668532

Korzystając ze średniej wartości ogniskowej soczewki A (obliczonej na podstawie wartości uzyskanych metodą Bessela) oraz z wyników trzech kolejnych pomiarów ogniskowych układów A-1, A-2, A-3 uzyskanych metodą Bessela można obliczyć ogniskowe soczewek rozpraszających:

Nr próby	Ogniskowe soczewek rozpraszających [cm]
	1
1	-38,1725
2	-39,3293
3	-37,7765
Średnia	-38,4261

1. Dyskusja błędów

Niepewności uzyskane dla poszczególnych soczewek w przypadku zastosowania różnych metod obliczania ogniskowej:

	Odchylenia standardowe
	A
Wzór soczewkowy	±0,003329
Metoda Bessela	±0,048311

1. Wnioski

Przybliżone wartości ogniskowych poszczególnych soczewek uzyskane w wyniki zastosowania wzoru soczewkowego i metody Bessela:

Soczewka	Ogniskowe [cm]
	Wzór soczewkowy
A	11,68 ± 0,003
B	22,54 ± 0,928
C	17,85 ± 0,268
1	-24,83 ± 1,255
2	-18,69 ±0 ,817
3	-30,44 ± 1,688

Można zauważyć, że ogniskowe soczewek skupiających A, B, C obliczone ze wzoru soczewkowego i metodą Bessela są prawie takie same. W obu przypadkach błędy są niewielkie. Z tego faktu wynika, że dla soczewek skupiających ogniskowe obliczone obiema metodami będą bardzo podobne. Jednak ogniskowe soczewek rozpraszających obliczone ze wzoru soczewkowego są dużo mniejsze niż obliczone metodą Bessela. Wyniki w obu przypadkach obarczone są sporym błędem. Wynika z tego, że tymi metodami trudno jest obliczyć dokładną ogniskową soczewki rozpraszającej.