POTĘGI

Potęga o wykładniku całkowitym

Zacznijmy od prostego przypadku, gdy wykładnik jest liczbą naturalną.

DEFINICJA

Potęgą o podstawie a i wykładniku naturalnym n nazywamy liczbę

Pamiętajmy o tym, że 00 nie ma sensu liczbowego.[1]

Powyższa definicja to tylko teoria, sprawdźmy co oznacza ona w praktyce:

Powinniśmy to pamiętać z wcześniejszych klas.

Co wtedy, gdy wykładnik jest liczbą całkowitą mniejszą od zera? Skorzystamy z poniższej definicji.

DEFINICJA

Potęgą o podstawie a różnej od zera i wykładniku całkowitym ujemnym (-n) nazywamy odwrotność potęgi an:

.

Zatem jeśli wykładnik jest ujemny, to aby zmienić go na dodatni, musimy odwrócić daną liczbę, na przykład:

Dla potęg całkowitych zachodzą poniższe własności:

TWIERDZENIE

Jeśli m i n są liczbami całkowitymi, a i b liczbami rzeczywistymi różnymi od 0, to:

Powyższe własności można wykorzystać, aby obliczyć:

[edytuj] Pierwiastkowanie

Spójrzmy na definicję:

DEFINICJA

Pierwiastek arytmetyczny n-tego stopnia z liczby nieujemnej a i oznaczany przez to liczba , która spełnia zależność bn = a.

W liczba a jest nazywana liczbą podpierwiastkową.

Definicja może wydawać się dziwna, ale powinniśmy przede wszystkim zapamiętać, że:

Jeśli widzimy pierwiastek, to szukamy takiej nieujemnej liczby b, aby bn = a, czyli:

, ponieważ 32 = 9,

, ponieważ 53 = 125,

, ponieważ .

Zauważmy, że pierwiastek drugiego stopnia zapisujemy jako zamiast .

Powyższa definicja jest niekiedy uogólniana dla pierwiastków nieparzystego stopnia, gdy a jest ujemne:

dla a nieujemnego i n nieparzystego

Na przykład:

,

,

.

W tym podręczniku będziemy korzystać z tego uogólnienia.

Stosowany tutaj symbol pierwiastka arytmetycznego został przyjęty w definicji pierwiastka arytmetycznego dla liczb nieujemnych, co może prowadzić do niejednoznaczności i błędów.

W Niemczech i wielu innych krajach uogólnienie to jest niedopuszczalne.

TWIERDZENIE

Jeśli n i m są liczbami naturalnymi większymi od 1, a a i b są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to:

  • ,

  • ,

  • ,

  • .

Zobaczmy, jak te własności możemy wykorzystać w praktyce:

Oczywiście powyższe przykłady można zrobić na wiele sposobów.

Zauważmy, że dla n parzystego i zachodzą poniższe własności:

Jednak nie są one spełnione dla n nieparzystego.

Dla n nieparzystego i dowolnego zachodzi[2]:

Zobaczmy na przykłady:

, ale także , ponieważ ( − 5)2 = 25 = 52;

, ale ;

, a także (84 = ( − 8)4);

, ale .

[edytuj] Potęga o wykładniku wymiernym

DEFINICJA

Potęgę o podstawie i wykładniku określamy wzorem:

Popatrzmy na kilka przykładów:

Nie wiemy, co oznacza , czy też . Co prawda , ale wartość pozostawimy niezdefiniowaną.

DEFINICJA

Potęgę o podstawie i wykładniku wymiernym określamy wzorem:

I znowu popatrzmy na kilka przykładów:

Dla potęg zachodzą poniższe własności:

TWIERDZENIE

Jeśli m i n są liczbami rzeczywistymi, a i b liczbami rzeczywistymi większymi od 0, to:

  • ,

  • ,

  • ,

  • ,

  • .

Powyższe prawa możemy wykorzystać, aby policzyć na przykład:

[edytuj] Działania na liczbach rzeczywistych

[edytuj] Kolejność wykonywania działań

Kolejność wykonywania działań jest nastepująca:

  1. potęgowanie lub pierwiastkowanie,

  2. mnożenie lub dzielenie (w zależności od kolejności),

  3. dodawanie lub odejmowanie (kolejność także ważna).

Oczywiście jeśli gdziekolwiek występują nawiasy, to najpierw wykonujemy działania w nich zawarte. Przypomnijmy to sobie na kilku przykładach.

Przykład 1.

Ze względu na nieobecność potęg przechodzimy od razu do mnożenie i dzielenia wykonując je w takiej kolejności, jakiej są zapisane – zaraz przed mnożeniem mamy dzielenie, więc wykonujemy je najpierw:

.

Teraz zostało tylko dodawanie i odejmowanie, więc dodajemy i odejmujemy zgodnie z kolejnością (od lewej do prawej):

2 + 2 − 3 − 25 = 4 − 3 − 25 = 1 − 25 = − 24.

Przykład 2.

Najpierw potęgowanie i pierwiastkowanie:

.

Aby obliczyć pierwiastek musimy najpierw obliczyć wartość pod nim:

najpierw dzielenie i mnożenie pod pierwiastkiem (bo już nie ma pod nim potęg):

,

następnie dodawanie i odejmowanie pod pierwiastkiem:

i w końcu wyciągamy pierwiastek:

.

Następne na liście jest mnożenie i dzielenie, które nas nie dotyczy, pozostaje więc dodawanie i odejmowanie:

8 + 9 + 4 = 17 + 4 = 21

Dwa poniższe przykłady rozwiążemy nieco szybciej.

Przykład 3.

Przykład 4.

[edytuj] Wzory skróconego mnożenia

Poznajmy lub przypomnijmy sobie ważniejsze wzory skróconego mnożenia:

Możemy je wykorzystać np. do obliczenia:

choć jak widać metoda ta nie należy do najszybszych, zatem nazwa „wzorów skróconego mnożenia” wydaje się być nieuzasadniona. Spójrzmy jednak na następujący problem:

.

Obliczenie powyższej wielkości mogłoby być trochę nużące, jednak gdy zauważymy, że jest to po prostu jeden ze wzorów skróconego, to zadanie wyda się proste:

.

Oczywiście po nieco żmudnych i nudnych obliczeniach otrzymamy to samo.

[edytuj] Różne prawa na działaniach

Pierwszym prawem, którym się pokrótce zajmiemy będzie prawo przemienności:

Czyli np. 10 + 20 = 20 + 10, podobnie też . Jednak prawo przemienności nie zachodzi dla odejmowania i dzielenia, ponieważ czy też .

Kolejnym prawem będzie prawo łączności, które zachodzi dla dodawania i mnożenia:

czyli na przykład:

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4), ponieważ

(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9, a także

2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9.

Podobnie dla mnożenia:

, ponieważ

i .

Prawo łączności nie sprawdza się w przypadku odejmowania i dzielenia. Zobaczymy to na dwóch przykładach:

Innym prawem jest prawo redukcji (skreśleń):

Przykłady:

Kolejnymi prawami są prawa rozdzielności opisane niżej:

Zobaczmy na kilka przykładów:

,

podobnie:

(25 − 10):5 = 25:5 − 10:5 = 5 − 2 = 3,

a także:

Ważną obserwacją jest na przykład:

10 + 0 = 0 + 10 = 10,

− 5 + 0 = − 5,

.

Ze względu na tę własność, mianowicie a + 0 = 0 + a = a, liczba 0 jest nazywana elementem neutralnym dodawania. Niezależnie jaką liczbę byśmy dodali do 0, to i tak byśmy otrzymali tę samą liczbę.

Podobnie w przypadku mnożenia liczba 1 jest elementem neutralnym mnożenia, ponieważ np.

,

,

.

Czy liczba 1 jest neutralna względem dzielenia? Nie. Co prawda zachodzi a:1 = a, jednak , np. . Dla elementu neutralnego dane działanie musi być przemienne.

Nie wszystkie działania posiadają element neutralny, przykładami są wspomniane wyżej odejmowanie i dzielenie.

Dla każdej liczby rzeczywistej a istnieje dokładniej jedna liczba przeciwna (-a), która spełnia warunek:

a + ( − a) = 0.

Na przykład liczbą przeciwną do 7 jest -7, do -1000 jest 1000, a do 0 jest też 0.

Dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od 0 istnieje dokładnie jedna liczba odwrotna spełniająca warunek:

.

Liczbą odwrotną do 2 będzie , do -10 będzie , do będzie , a do − π będzie .

Na koniec przedstawimy ważną własność mnożenia, otóż iloczyn liczb rzeczywistych jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy 0:

wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0 lub b = 0,

np. jedynie wtedy, gdy a = 0.

Dla każdej pary liczb rzeczywistych a i b oraz liczb naturalnych m i n dodatnich prawdziwe są wzory:

1) a m ∙ a n = a m+n
2) a m : a n = a m-n, dla a ≠ 0 i m>n
3) (a m)n = a m ∙ n
4) a n ∙ b n = (ab) n
5) a n : b n = (a:b) n, dla b ≠ 0

Powyższe wzory są prawdziwe także dla potęg o wykładnikach całkowitych i rzeczywistych (warunek m>n dla wzoru drugiego nie jest już konieczny).


A oto przykłady na zastosowanie pierwszego wzoru:
5 2 ∙ 5 17 = 5 2+17 = 5 19
(⅛) 7 ∙ (⅛) 7 = (⅛) 7+7 = (⅛) 14
(-9) 4 ∙ (-9) 9 = (-9) 4+9 = (-9) 13
5 -20 ∙ 5 20 = 5 -20+20 = 5 0 = 1

A oto przykłady na zastosowanie drugiego wzoru:
5 17 : 5 2 = 5 17-2 = 5 15
5 2 ∙ 5 17 = 5 2-17 = 5 -15 = 1/(5 15)
(⅛) 7 : (⅛) 7 = (⅛) 7-7 = (⅛) 0 = 1
(-3) 7 / (-3) 4 = (-3) 7-4 = (-3) 3 = -27
5 -20 : 5 20 = 5 -20-20 = 5 -40

Przykłady na zastosowanie trzeciego wzoru:
(5 5) 5 = 5 5∙5 = 5 25
(5 -1) 2 = 5 -1∙2 = 5 -2 = 1/25

Przykłady na zastosowanie czwartego wzoru:
3 2 ∙ 2 2 = (3∙2) 2 = 36
5 -2 ∙ 2 -2 = (5∙2) -2 = 1/100 = 0.01
100 57 ∙ 0.01 57 = (100∙0.01) 57 = 1 57 = 1

Przykłady na zastosowanie piątego wzoru:
4 2 : 2 2 = (4:2) 2 = 2 2 = 4
2 -2 : 4 -2 = (2:4) -2 = (1/2) -2 = 2 2 = 4
100 5 : 0.01 5 = (100:0.01) 5 = 10000 5 = (10 4) 5 = 10 20

Przyjrzyjmy się następującemu przykładowi:
5 6 ∙ 6 5
Ponieważ nie mamy tutaj ani takich samych podstaw ani wykładników potęgi, żaden ze wzorów działań na potęgach nie może być zastosowany.


Oblicz: 5 6 + 5 5
Ponieważ mamy tutaj takie same podstawy, możemy skorzystać ze wzoru pierwszego, ale "w drugą stronę", to znaczy:
5 7 + 5 5 = 5 5+2 + 5 5 = 5 2 ∙ 5 5 + 5 5 = 5 5(5 2 + 1) = 26 ∙ 5 5

Szczególną uwagę warto zwrócić na potęgi liczby 10. Zauważmy, że
1 = 10 0
10 = 10 1
100 = 10 2
1000 = 10 3
10000 = 10 4
uogólniając, potęga liczby 10 wskazuje "liczbę zer po jedynce". Zatem dla przykładu 10 20 oznacza liczbę z dwudziestoma zerami, czyli - 100000000000000000000

Warto jeszcze zwrócić uwagę na ujemne potęgi liczby 10. Zauważmy, że
0.1 = 10 -1
0.01 = 10 -2
0.001 = 10 -3
0.0001 = 10 -4
uogólniając, potęga ujemna liczby 10 wskazuje "na którym miejscu po przecinku znajduje się jedynka". Zatem dla przykładu 10 -10 oznacza liczbę - 0.0000000001

Reasumując:


Jeżeli działania na potęgach sprawiają ci kłopoty polecam prosty program Potęgi-ćwiczenia , za pomocą którego można przećw

C - Kółko matematyczne 2 klasa gimnazjum

Uczniowie.......................................................................................................................................................

Szablon rozwiązania – prześledź uważnie rozwiązanie

Zauważamy, że wyrażenie można zapisać jako proporcję.
Przekształcamy zapis do postaci proporcji ustalając jako mianownik prawej strony 1.
Zapisujemy proporcję w postaci iloczynu wyrazów skrajnych i środkowych.
Wykonujemy mnożenie wyrazów skrajnych i środkowych.
Wszystkie wyrazy przenosimy na stronę lewą – wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka, tam gdzie można
0 = 0 Otrzymaliśmy równość, czyli możemy stwierdzić, że początkowy zapis jest prawdziwy.

Schemat do uzupełnienia – zapisz rozwiązanie – uzupełnij tabelę

Zauważamy, że wyrażenie można zapisać jako proporcję.

Przekształcamy zapis do postaci .........................

ustalając jako mianownik prawej strony .............

Zapisujemy proporcję w postaci iloczynu wyrazów

........................... i ...............................

Wszystkie wyrazy przenosimy na stronę lewą – wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka, tam

gdzie można ......................................................

0 = 0
  1. Wykonaj samodzielnie zadanie według powyższego schematu

Wykaż, że:

a) b)

Potęgi

gdy

wzorcownia

home

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2 nowe potegi w europie pdf
Nowe centra potęgi gospodarczej i politycznej
spr kl 5 potęgi, Matematyka, kl 5
CHINY DYNAMICZNY ROZWÓJ MILITARNEJ POTĘGI
Nowe centra potęgi gospodarczej i politycznej, Bezpieczeństwo Narodowe, Międzynarodowe stosunki poli
Potęgi i pierwiastki
Praktykowanie potegi terazniejszosci
Spektakularny upadek europejskiej potęgi
potęgi powtórzenie, materiały szkolne
Przyczyny upadku potęgi Polski
POTĘGI, PIERWIASTKI, LICZBY NIEWYMIERNE
Praca klsowa Potęgi pierwiastki
Inne materiały, mat-potęgi, am*an=am+n
POTĘGI, PIERWIASTKI ZADANIA UTRWALAJĄCE
Prawa sukcesu wedlug Napoleona Hilla Zasady potegi osobistej psnhi2
Potęgi
matematyka, POTĘGI O WYKŁADNIKU CAŁKOWITYM, POTĘGI O WYKŁADNIKU CAŁKOWITYM
matematyka, funkcje potęgi, POTĘGI O WYKŁADNIKU CAŁKOWITYM
potegi e
Potegi Zadanie domowe [PDF] P Rozwiazanie zadania domowego id

więcej podobnych podstron