Potęga o wykładniku całkowitym
Zacznijmy od prostego przypadku, gdy wykładnik jest liczbą naturalną.
![]() |
DEFINICJA Potęgą o podstawie a i wykładniku naturalnym n nazywamy liczbę |
---|
Pamiętajmy o tym, że 00 nie ma sensu liczbowego.[1]
Powyższa definicja to tylko teoria, sprawdźmy co oznacza ona w praktyce:
Powinniśmy to pamiętać z wcześniejszych klas.
Co wtedy, gdy wykładnik jest liczbą całkowitą mniejszą od zera? Skorzystamy z poniższej definicji.
![]() |
DEFINICJA Potęgą o podstawie a różnej od zera i wykładniku całkowitym ujemnym (-n) nazywamy odwrotność potęgi an:
|
---|
Zatem jeśli wykładnik jest ujemny, to aby zmienić go na dodatni, musimy odwrócić daną liczbę, na przykład:
Dla potęg całkowitych zachodzą poniższe własności:
![]() |
TWIERDZENIE Jeśli m i n są liczbami całkowitymi, a i b liczbami rzeczywistymi różnymi od 0, to: |
---|
Powyższe własności można wykorzystać, aby obliczyć:
[edytuj] Pierwiastkowanie
Spójrzmy na definicję:
![]() |
DEFINICJA Pierwiastek arytmetyczny n-tego stopnia z liczby nieujemnej a i |
---|
W liczba a jest nazywana liczbą podpierwiastkową.
Definicja może wydawać się dziwna, ale powinniśmy przede wszystkim zapamiętać, że:
jeśli , to
np.
, ponieważ 43 = 64;
ani a, ani b nie jest liczbą ujemną, np. nie wiemy, co oznacza ;
n jest liczbą całkowitą, większą bądź równą 2, np. ,
,
,
itd.
Jeśli widzimy pierwiastek, to szukamy takiej nieujemnej liczby b, aby bn = a, czyli:
, ponieważ 32 = 9,
, ponieważ 53 = 125,
, ponieważ
.
Zauważmy, że pierwiastek drugiego stopnia zapisujemy jako zamiast
.
Powyższa definicja jest niekiedy uogólniana dla pierwiastków nieparzystego stopnia, gdy a jest ujemne:
dla a nieujemnego i n nieparzystego
Na przykład:
,
,
.
W tym podręczniku będziemy korzystać z tego uogólnienia.
Stosowany tutaj symbol pierwiastka arytmetycznego został przyjęty w definicji pierwiastka arytmetycznego dla liczb nieujemnych, co może prowadzić do niejednoznaczności i błędów.
W Niemczech i wielu innych krajach uogólnienie to jest niedopuszczalne.
![]() |
TWIERDZENIE Jeśli n i m są liczbami naturalnymi większymi od 1, a a i b są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to:
|
---|
Zobaczmy, jak te własności możemy wykorzystać w praktyce:
,
,
,
.
Oczywiście powyższe przykłady można zrobić na wiele sposobów.
Zauważmy, że dla n parzystego i zachodzą poniższe własności:
, ale
.
Jednak nie są one spełnione dla n nieparzystego.
Dla n nieparzystego i dowolnego zachodzi[2]:
Zobaczmy na przykłady:
, ale także
, ponieważ ( − 5)2 = 25 = 52;
, ale
;
, a także
(84 = ( − 8)4);
, ale
.
[edytuj] Potęga o wykładniku wymiernym
![]() |
DEFINICJA Potęgę o podstawie |
---|
Popatrzmy na kilka przykładów:
,
,
.
Nie wiemy, co oznacza , czy też
. Co prawda
, ale wartość
pozostawimy niezdefiniowaną.
![]() |
DEFINICJA Potęgę o podstawie |
---|
I znowu popatrzmy na kilka przykładów:
,
Dla potęg zachodzą poniższe własności:
![]() |
TWIERDZENIE Jeśli m i n są liczbami rzeczywistymi, a i b liczbami rzeczywistymi większymi od 0, to:
|
---|
Powyższe prawa możemy wykorzystać, aby policzyć na przykład:
,
,
.
[edytuj] Działania na liczbach rzeczywistych
[edytuj] Kolejność wykonywania działań
Kolejność wykonywania działań jest nastepująca:
potęgowanie lub pierwiastkowanie,
mnożenie lub dzielenie (w zależności od kolejności),
dodawanie lub odejmowanie (kolejność także ważna).
Oczywiście jeśli gdziekolwiek występują nawiasy, to najpierw wykonujemy działania w nich zawarte. Przypomnijmy to sobie na kilku przykładach.
Przykład 1.
Ze względu na nieobecność potęg przechodzimy od razu do mnożenie i dzielenia wykonując je w takiej kolejności, jakiej są zapisane – zaraz przed mnożeniem mamy dzielenie, więc wykonujemy je najpierw:
.
Teraz zostało tylko dodawanie i odejmowanie, więc dodajemy i odejmujemy zgodnie z kolejnością (od lewej do prawej):
2 + 2 − 3 − 25 = 4 − 3 − 25 = 1 − 25 = − 24.
Przykład 2.
Najpierw potęgowanie i pierwiastkowanie:
.
Aby obliczyć pierwiastek musimy najpierw obliczyć wartość pod nim:
najpierw dzielenie i mnożenie pod pierwiastkiem (bo już nie ma pod nim potęg):
,
następnie dodawanie i odejmowanie pod pierwiastkiem:
i w końcu wyciągamy pierwiastek:
.
Następne na liście jest mnożenie i dzielenie, które nas nie dotyczy, pozostaje więc dodawanie i odejmowanie:
8 + 9 + 4 = 17 + 4 = 21
Dwa poniższe przykłady rozwiążemy nieco szybciej.
Przykład 3.
Przykład 4.
[edytuj] Wzory skróconego mnożenia
Poznajmy lub przypomnijmy sobie ważniejsze wzory skróconego mnożenia:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (kwadrat sumy),
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (kwadrat różnicy),
a2 − b2 = (a − b)(a + b) (różnica kwadratów),
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (sześcian sumy),
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 (sześcian różnicy),
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) (suma sześcianów),
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) (różnica sześcianów).
Możemy je wykorzystać np. do obliczenia:
,
,
,
choć jak widać metoda ta nie należy do najszybszych, zatem nazwa „wzorów skróconego mnożenia” wydaje się być nieuzasadniona. Spójrzmy jednak na następujący problem:
.
Obliczenie powyższej wielkości mogłoby być trochę nużące, jednak gdy zauważymy, że jest to po prostu jeden ze wzorów skróconego, to zadanie wyda się proste:
.
Oczywiście po nieco żmudnych i nudnych obliczeniach otrzymamy to samo.
[edytuj] Różne prawa na działaniach
Pierwszym prawem, którym się pokrótce zajmiemy będzie prawo przemienności:
a + b = b + a
Czyli np. 10 + 20 = 20 + 10, podobnie też . Jednak prawo przemienności nie zachodzi dla odejmowania i dzielenia, ponieważ
czy też
.
Kolejnym prawem będzie prawo łączności, które zachodzi dla dodawania i mnożenia:
(a + b) + c = a + (b + c),
,
czyli na przykład:
(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4), ponieważ
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9, a także
2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9.
Podobnie dla mnożenia:
, ponieważ
i
.
Prawo łączności nie sprawdza się w przypadku odejmowania i dzielenia. Zobaczymy to na dwóch przykładach:
, dosyć duża różnica.
, różnica jeszcze większa.
Innym prawem jest prawo redukcji (skreśleń):
jeśli a + c = b + c, to a = b (skreśliliśmy c),
jeśli i
, to a = b (także skreśliliśmy c)
Przykłady:
Jeśli a + 10 = 20 + 10, to a = 20.
Jeśli , to a = 4.
Kolejnymi prawami są prawa rozdzielności opisane niżej:
prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania:
prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania:
prawo rozdzielności dzielenia względem dodawania:
prawo rozdzielności dzielenia względem odejmowania:
Zobaczmy na kilka przykładów:
,
podobnie:
(25 − 10):5 = 25:5 − 10:5 = 5 − 2 = 3,
a także:
Ważną obserwacją jest na przykład:
10 + 0 = 0 + 10 = 10,
− 5 + 0 = − 5,
.
Ze względu na tę własność, mianowicie a + 0 = 0 + a = a, liczba 0 jest nazywana elementem neutralnym dodawania. Niezależnie jaką liczbę byśmy dodali do 0, to i tak byśmy otrzymali tę samą liczbę.
Podobnie w przypadku mnożenia liczba 1 jest elementem neutralnym mnożenia, ponieważ np.
,
,
.
Czy liczba 1 jest neutralna względem dzielenia? Nie. Co prawda zachodzi a:1 = a, jednak , np.
. Dla elementu neutralnego dane działanie musi być przemienne.
Nie wszystkie działania posiadają element neutralny, przykładami są wspomniane wyżej odejmowanie i dzielenie.
Dla każdej liczby rzeczywistej a istnieje dokładniej jedna liczba przeciwna (-a), która spełnia warunek:
a + ( − a) = 0.
Na przykład liczbą przeciwną do 7 jest -7, do -1000 jest 1000, a do 0 jest też 0.
Dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od 0 istnieje dokładnie jedna liczba odwrotna spełniająca warunek:
.
Liczbą odwrotną do 2 będzie , do -10 będzie
, do
będzie
, a do − π będzie
.
Na koniec przedstawimy ważną własność mnożenia, otóż iloczyn liczb rzeczywistych jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy 0:
wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0 lub b = 0,
np. jedynie wtedy, gdy a = 0.
Dla każdej pary liczb rzeczywistych a i b oraz liczb naturalnych m i n dodatnich prawdziwe są wzory:
1) a m ∙ a n = a m+n
2) a m : a n = a m-n, dla a ≠ 0 i m>n
3) (a m)n = a m ∙ n
4) a n ∙ b n = (ab) n
5) a n : b n = (a:b) n, dla b ≠ 0
Powyższe wzory są prawdziwe także dla potęg o wykładnikach całkowitych i rzeczywistych (warunek m>n dla wzoru drugiego nie jest już konieczny).
A oto przykłady na zastosowanie pierwszego wzoru:
5 2 ∙ 5 17 = 5 2+17 = 5 19
(⅛) 7 ∙ (⅛) 7 = (⅛) 7+7 = (⅛) 14
(-9) 4 ∙ (-9) 9 = (-9) 4+9 = (-9) 13
5 -20 ∙ 5 20 = 5 -20+20 = 5 0 = 1
A oto przykłady na zastosowanie drugiego wzoru:
5 17 : 5 2 = 5 17-2 = 5 15
5 2 ∙ 5 17 = 5 2-17 = 5 -15 = 1/(5 15)
(⅛) 7 : (⅛) 7 = (⅛) 7-7 = (⅛) 0 = 1
(-3) 7 / (-3) 4 = (-3) 7-4 = (-3) 3 = -27
5 -20 : 5 20 = 5 -20-20 = 5 -40
Przykłady na zastosowanie trzeciego wzoru:
(5 5) 5 = 5 5∙5 = 5 25
(5 -1) 2 = 5 -1∙2 = 5 -2 = 1/25
Przykłady na zastosowanie czwartego wzoru:
3 2 ∙ 2 2 = (3∙2) 2 = 36
5 -2 ∙ 2 -2 = (5∙2) -2 = 1/100 = 0.01
100 57 ∙ 0.01 57 = (100∙0.01) 57 = 1 57 = 1
Przykłady na zastosowanie piątego wzoru:
4 2 : 2 2 = (4:2) 2 = 2 2 = 4
2 -2 : 4 -2 = (2:4) -2 = (1/2) -2 = 2 2 = 4
100 5 : 0.01 5 = (100:0.01) 5 = 10000 5 = (10 4) 5 = 10 20
Przyjrzyjmy się następującemu przykładowi:
5 6 ∙ 6 5
Ponieważ nie mamy tutaj ani takich samych podstaw ani wykładników potęgi, żaden ze wzorów działań na potęgach nie może być zastosowany.
Oblicz: 5 6 + 5 5
Ponieważ mamy tutaj takie same podstawy, możemy skorzystać ze wzoru pierwszego, ale "w drugą stronę", to znaczy:
5 7 + 5 5 = 5 5+2 + 5 5 = 5 2 ∙ 5 5 + 5 5 = 5 5(5 2 + 1) = 26 ∙ 5 5
Szczególną uwagę warto zwrócić na potęgi liczby 10. Zauważmy, że
1 = 10 0
10 = 10 1
100 = 10 2
1000 = 10 3
10000 = 10 4
uogólniając, potęga liczby 10 wskazuje "liczbę zer po jedynce". Zatem dla przykładu 10 20 oznacza liczbę z dwudziestoma zerami, czyli - 100000000000000000000
Warto jeszcze zwrócić uwagę na ujemne potęgi liczby 10. Zauważmy, że
0.1 = 10 -1
0.01 = 10 -2
0.001 = 10 -3
0.0001 = 10 -4
uogólniając, potęga ujemna liczby 10 wskazuje "na którym miejscu po przecinku znajduje się jedynka". Zatem dla przykładu 10 -10 oznacza liczbę - 0.0000000001
Reasumując:
Jeżeli działania na potęgach sprawiają ci kłopoty polecam prosty program Potęgi-ćwiczenia , za pomocą którego można przećw
Uczniowie.......................................................................................................................................................
Zauważamy, że wyrażenie można zapisać jako proporcję. | |
---|---|
Przekształcamy zapis do postaci proporcji ustalając jako mianownik prawej strony 1. | |
Zapisujemy proporcję w postaci iloczynu wyrazów skrajnych i środkowych. | |
Wykonujemy mnożenie wyrazów skrajnych i środkowych. | |
Wszystkie wyrazy przenosimy na stronę lewą – wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka, tam gdzie można | |
0 = 0 | Otrzymaliśmy równość, czyli możemy stwierdzić, że początkowy zapis jest prawdziwy. |
Zauważamy, że wyrażenie można zapisać jako proporcję. | |
---|---|
Przekształcamy zapis do postaci ......................... ustalając jako mianownik prawej strony ............. |
|
Zapisujemy proporcję w postaci iloczynu wyrazów ........................... i ............................... |
|
Wszystkie wyrazy przenosimy na stronę lewą – wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka, tam gdzie można ...................................................... |
|
0 = 0 |
Wykonaj samodzielnie zadanie według powyższego schematu
Wykaż, że:
a) b)
|
---|
gdy | ||
wzorcownia home |
||