Nazwisko i imię Kaczmarczyk Patrycja	Ćwiczenie M6 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY METODĄ STOKESA
Kierunek, rok, grupa Biologia, 1 rok, 1 grupa	Ocena kolokwium ………………………….. Data …………………. Podpis ……………….
Prowadzący zajęcia dr Ewa Mandowska

I CZĘŚĆ TEORETYCZNA

Lepkość to właściwość płynów i plastycznych ciał stałych charakteryzująca ich opór wewnętrzny przeciw płynięciu. Lepkością nie jest opór przeciw płynięciu powstający na granicy płynu i ścianek naczynia. Lepkość jest jedną z najważniejszych cech płynów (cieczy i gazów). Nazywa się nią zjawisko występowania sił stycznych przeciwstawiających się przemieszczeniu jednych części ciała względem innych jego części. Zjawisko to powstaje na skutek ruchów cieplnych cząsteczek oraz sił międzycząsteczkowych. W wyniku działania siły tarcia występującego między warstwami cieczy, poruszająca się warstwa pociąga za sobą warstwy sąsiadujące z nią z prędkością tym bardziej zbliżoną do prędkości własnej, im ciecz jest bardziej lepka. To znaczy, że spoczywająca warstwa cieczy hamuje sąsiadujące z nią poruszające się warstwy.

Wyróżniamy 2 rodzaje przepływów: laminarny i turbulentny. Jeżeli przepływ jest łagodny, gładki tzn., sąsiadujące warstwy płynu ślizgają się po sobie nie zaburzając się wzajemnie,

przepływ nazywamy przepływem laminarnym. W przepływnie laminarnym każdy element płynu porusza się po gładkiej trajektorii zwanej strugą. Sąsiednie strugi nie przecinają się. W miarę wzrostu szybkości przepływu, powyżej pewnej prędkości krytycznej, przepływ staje się turbulentny. Przepływ turbulentny charakteryzuje się występowaniem różnego rodzaju wirów oraz ich nagłym znikaniem i pojawianiem się. Przejście z przepływu laminarnego do przepływu turbulentnego odbywa się, gdy energia, a zatem i prędkości „elementów” płynu są tak duże, że wewnętrzne tarcie (lepkość) nie jest już w stanie wytłumić powstających wirów i zaburzeń przepływu.

Ze względu na to, że wszystkie ciecze są lepkie, zjawisko lepkości odgrywa istotną rolę podczas przepływu cieczy oraz podczas ruchu ciała stałego w ośrodku ciekłym.

Ciało stałe, poruszające się w cieczy, napotyka na opór. Mechanizm tego zjawiska polega na tym, że warstwa cieczy przylegająca do powierzchni poruszającego się ciała, wprawia w ruch pozostałe warstwy cieczy. Tak więc istotną rolę odgrywa tu lepkość cieczy.

Na kulkę wrzuconą do cieczy działają trzy siły:

• Siła tarcia wewnętrznego

• Siła wyporu (prawo Archimedesa)

• Siła ciężkości

W fizyce płynów tarcie wewnętrzne jest utożsamiane z lepkością lub jest używane dla określenia mechanizmów powodujących lepkość. Opory tarcia wewnętrznego wynikają z

istnienia sił kohezji i zależą od swobody przemieszczania się cząsteczek.

Prawo Archimedesa głosi, że na ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu, która jest równa ciężarowi wypartej cieczy. Wyraża się je wzorem:

F_w = m_c • g

gdzie $\rho_{c} = \frac{m_{c}}{V_{\text{cia}la}}$ m_c = ρ_c • V_ciala

więc,

F_w = ρ_c • V_ciala • g

Wyprowadzenie wzoru:

F₁ = F₂ + F₃

F₁ = mg

m = ρ • V_k $V_{k} = \frac{4}{3}\pi r^{3}$ $m = \rho \bullet \frac{4}{3}\pi r^{3}$

F₁ = ρ_k • V_k • g

F₂ = m_c • g

$\rho_{c} = \frac{m_{c}}{V_{k}}$ m_c = ρ_c • V_k

F₂ = ρ_c • V_k • g

F₃ = 6πrv

$$v = \frac{s}{t}$$

$$F_{3} = 6\pi r\frac{s}{t}$$

$$\rho_{k} \bullet V_{k} \bullet g = \rho_{c} \bullet V_{k} \bullet g + 6\pi r\frac{s}{t}$$

$$6\pi r\frac{s}{t} = \rho_{k} \bullet V_{k} \bullet g - \rho_{c} \bullet V_{k} \bullet g$$

$$= \frac{\rho_{k} \bullet V_{k} \bullet g - \rho_{c} \bullet V_{k} \bullet g}{6\text{πr}\frac{s}{t}}$$

$$= \frac{V_{k} \bullet g\left( \rho_{k} - \rho_{c} \right)t}{6\text{πrs}}$$

$$= \frac{\frac{4}{3}\pi r^{3}g\left( \rho_{k} - \rho_{c} \right)t}{6\text{πrs}}$$

η = $\frac{2r^{2}g\left(_{k} -_{c} \right)t}{9s}$ (1)

II CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA

Celem doświadczenia jest wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa. Do wykonania zadania potrzebne będą cylinder napełniony olejem parafinowym, kulki teflonowe, przymiar, śruba mikrometryczna, stoper oraz waga analityczna. Dwie kulki teflonowe należy zważyć pojedynczo na wadze analitycznej oraz trzykrotnie zmierzyć ich średnicę śrubą mikrometryczną.

Przebieg doświadczenia:

1. Pomiar średnicy kulek za pomocą śruby mikrometrycznej i zważenie ich za pomocą wagi analitycznej (pomiary należy wpisać do tabeli 1).

2. Wpuszczanie każdej z kulek pojedynczo do cylindra napełnionego olejem parafinowym. Zmierzenie czasu opadania kulki między dwoma kreskami na cylindrze (pomiary należy wpisać do tabeli 2).

3. Wykonanie obliczeń dotyczących gęstości materiału, z którego wykonane są kulki.

4. Obliczenie współczynnika lepkości oleju.

5. Obliczenie niepewności maksymalnej .

TABELA 1

L.p.	M	2r	rśr	Vk	ρk
	[10^-3 kg]	[10^-3 m]	[10^-3 m]	[10^-3 m^3]	[kg/m^3]
Pierwsza kulka (przeźroczysta)	1,3487	12,55	6,275	26,271	0,0513
Druga kulka (biała)	0,8431	11,75	5,875	24,597	0,0343

TABELA 2

L.p.	t	S	tśr	R
	[s]	[m]	[s]	[m]
Pierwsza kulka (przeźroczysta)	3,0	3,0	0,318	3,0
Druga kulka (biała)	15,1	15,0	0,318	15,0

Niepewność:

1. ΔM = 10^-4g = 10^-7kg

2. Δ2r = 10^-2mm = 10^-5m

3. Δt = 1s

4. ΔS = 1mm = 10^-3m

1. Objętość kulki:

$$V = \frac{4}{3}\pi r^{3}$$

$$V_{1} = \frac{4}{3} \bullet 3,14 \bullet \left( 6,275 \bullet 10^{- 3} \right)^{3}$$

V₁ = 1034, 4501 • 10⁻⁹ m³

$$V_{2} = \frac{4}{3} \bullet 3,14 \bullet \left( 5,875 \bullet 10^{- 3} \right)^{3}$$

V₂ = 848, 9693 • 10⁻⁹ m³

1. Gęstość kulki:

$$\rho = \frac{m}{V}$$

$$\rho_{1} = \frac{1,3487 \bullet 10^{- 3}}{1034,4501 \bullet 10^{- 9}} = 0,0013037 \bullet 10^{6} \approx 1303,7\ \frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

$$\rho_{2} = \frac{0,8431 \bullet 10^{- 3}}{848,9693 \bullet 10^{- 9}} = 0,000993 \bullet 10^{6} \approx 993\ \frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

1. Współczynnik lepkości:

$$= \frac{2r^{2}g\left( \rho_{k} - \rho_{p} \right)t}{9s}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\lbrack \right\rbrack = \frac{m^{2} \bullet \frac{m}{s^{2}}\left( \frac{\text{kg}}{m^{3}} - \frac{\text{kg}}{m^{3}} \right)s}{m} = \frac{m^{2}}{s^{2}} \bullet \frac{\text{kg}}{m^{3}} \bullet s = \frac{\text{kg}}{m \bullet s}$$

$$_{1} = \frac{2 \bullet \left( 6,275 \bullet 10^{- 3} \right)^{2} \bullet 9,81 \bullet \left( 1303,7 - 854 \right) \bullet 3}{9 \bullet 0,318}$$

$$_{1} = 364140,42 \bullet 10^{- 6} = 0,3641\frac{\text{kg}}{m \bullet s}$$

$$_{2} = \frac{2 \bullet \left( 5,875 \bullet 10^{- 3} \right)^{2} \bullet 9,81 \bullet \left( 993 - 854 \right) \bullet 15}{9 \bullet 0,318}$$

$$_{2} = 246672,76 \bullet 10^{- 6} = 0,2467\frac{\text{kg}}{m \bullet s}$$

1. Niepewności:

$$= \left| \frac{\ }{\ r} \right|r + \left| \frac{\ }{\ \rho_{k}} \right|\rho_{k} + \left| \frac{\ }{\ t} \right|t + \left| \frac{\ }{\ s} \right|s =$$

$$= \left| 2\frac{2g\left( \rho_{k} - \rho_{p} \right)\text{tr}}{9s} \right|r + \left| \frac{2r^{2}\text{gt}}{9s} \right|\rho_{k} + \left| \frac{2r^{2}g\left( \rho_{k} - \rho_{p} \right)}{9s} \right|t + \left| - \frac{2r^{2}g\left( \rho_{k} - \rho_{p} \right)ts^{- 2}}{9} \right|s =$$

$$= \frac{2r^{2}g\left( \rho_{k} - \rho_{p} \right)t}{9s}\left( \frac{2r}{r} + \frac{\rho_{k}}{\rho_{k} - \rho_{p}} + \frac{t}{t} + \frac{s}{s} \right)$$

$$r = \left| \frac{\partial\ r}{\partial\ D} \right|D = \frac{1}{2}D$$

$$V = \left| \frac{\partial\ V}{\partial\ r} \right|r = 3 \bullet \frac{4}{3}\pi r^{2} \bullet r = 4\pi r^{2}r = \frac{4}{3}\pi r^{3}\left( \frac{3r}{r} \right) = V \bullet \frac{3r}{r}$$

$$\rho = \left| \frac{\partial\ \rho}{\partial\ m} \right|m + \left| \frac{\partial\ \rho}{\partial\ V} \right|V = \left| \frac{1}{V} \right|m + \left| \frac{m}{V^{2}} \right| \bullet \frac{V}{V_{0}} = \frac{m}{V} \bullet \left( \frac{1}{m} \bullet m + \frac{V}{V} \right) = = \rho \bullet \left( \frac{m}{m} + \frac{V}{V} \right)$$

$$r = \frac{1}{2} \bullet 10^{- 5} = 0,5 \bullet 10^{- 5}m$$

$$V_{1} = 1034,4501 \bullet 10^{- 9} \bullet \frac{3 \bullet 0,5 \bullet 10^{- 5}}{6,275 \bullet 10^{- 3}} = 247,2789 \bullet 10^{- 11} \approx 0,24 \bullet 10^{- 8}m^{3}$$

$$V_{2} = 848,9693 \bullet 10^{- 9} \bullet \frac{3 \bullet 0,5 \bullet 10^{- 5}}{5,875 \bullet 10^{- 3}} = 216,7581 \bullet 10^{- 11} \approx 0,21 \bullet 10^{- 8}m^{3}$$

$$\rho_{1} = 1303,7 \bullet \left( \frac{10^{- 7}}{1,3487 \bullet 10^{- 3}} + \frac{247,2789 \bullet 10^{- 11}}{1034,4501 \bullet 10^{- 9}} \right) =$$

$$= 1303,7 \bullet \left( 0,7415 \bullet 10^{- 4} + 0,239 \bullet 10^{- 2} \right) = 3,3136 \approx 0,33 \bullet 10\ \frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

$$\rho_{2} = 993 \bullet \left( \frac{10^{- 7}}{0,8431 \bullet 10^{- 3}} + \frac{216,7581 \bullet 10^{- 11}}{848,9693 \bullet 10^{- 9}} \right) =$$

$$= 993 \bullet \left( 1,186 \bullet 10^{- 4} + 0,2553 \bullet 10^{- 2} \right) = 2,6529 \approx 0,27 \bullet 10\frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

$$_{1} = 0,3641 \bullet \left( \frac{2 \bullet 0,5 \bullet 10^{- 5}}{6,275 \bullet 10^{- 3}} + \frac{3,2126}{1303,7 - 854} + \frac{1}{3} + \frac{10^{- 3}}{0,318} \right) =$$

$$= 0,3641 \bullet \left( 0,1594 \bullet 10^{- 2} + 0,00714 + 0,333 + 0,03145 \right) = 0,3641 \bullet 0,3732 = = 0,1359\ \frac{\text{kg}}{m \bullet s}$$

$$_{2} = 0,2467 \bullet \left( \frac{2 \bullet 0,5 \bullet 10^{- 5}}{5,875 \bullet 10^{- 3}} + \frac{2,6529}{993 - 854} + \frac{1}{15} + \frac{10^{- 3}}{0,318} \right) =$$

$$= 0,2467 \bullet \left( 0,1702 \bullet 10^{- 2} + 0,019086 + 0,0667 + 0,03145 \right) = 0,2467 \bullet 0,118938 = = 0,02934\ \frac{\text{kg}}{m \bullet s}$$

Dyskusja niepewności:

V₁ = (103,44±0,24) • 10⁻⁸ m³

V₂ = (84,96±0,21) • 10⁻⁸ m³

$$\rho_{1} = \left( 130,37 \pm 0,33 \right) \bullet 10\ \frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

$$\rho_{2} = \left( 99,3 \pm 0,27 \right) \bullet 10\ \frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

$$_{1} = \left( 0,36 \pm 0,14 \right)\frac{\text{kg}}{m \bullet s}$$

$$_{2} = \left( 2,5 \pm 0,3 \right)\frac{\text{kg}}{m \bullet s}$$

$$\frac{}{} \bullet 100\%$$

$$_{1} = \frac{0,14}{0,36} \bullet 100\% = 38,8\ \%$$

$$_{2} = \frac{0,3}{2,5} \bullet 100\% = 12\ \%$$

Największy wpływ na niepewność współczynnika lepkości ma pomiar czasu opadania kulki.

Wartości współczynnika lepkości oleju parafinowego znalezione w tablicach fizycznych to:

𝜂 = 0,24 (dla 20℃)

𝜂 = 0,185 (dla 30℃)

Przyspieszenie ziemskie: http://www.fizyka.pk.edu.pl/tabele/PrzyspZ.htm

Wartość współczynnika lepkości oleju parafinowego: http://student.agh.edu.pl/~rumpfy/wp-content/uploads/Laboratorium%20fizyki/Labfiz_02.pdf