Wydział WIiTCh	Imię i nazwisko	Zespół	Data 25.11.2009
Grupa	Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego	Nr ćwiczenia 1	Ocena i podpis

1. Wprowadzenie do ćwiczenia

Przyspieszenie ziemskie g jest to przyspieszenie ciał spadających swobodnie w polu grawitacyjnym Ziemi (przy braku oporów ruchu). Z prawa powszechnej grawitacji Newtona można wyliczyć, że na powierzchni Ziemi jego wartość dana jest wzorem:

$$\mathbf{g = G}\frac{\mathbf{M}_{\mathbf{z}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{z}}^{\mathbf{2}}}$$

gdzie: G – stała grawitacji, M_z – masa Ziemi, R_z – promień Ziemi.

Zatem na biegunach, gdzie promień naszej planety jest najmniejszy będzie ono miało największą wartość. Na wartość przyspieszenia wpływa także ruch obrotowy Ziemi, gdyż związane z nim przyspieszenie odśrodkowe zmniejsza mierzone przyspieszenie ziemskie na całym globie, z wyjątkiem biegunów. Wartość przyspieszenia ziemskiego maleje wraz z wysokością nad powierzchnią Ziemi.

2. Metoda pomiaru

Wartość przyspieszenia ziemskiego możemy wyznaczyć wykorzystując prawa ruchu harmonicznego wahadła prostego. Wahadło proste jest to w naszym przypadku mała kulka zawieszona na nierozciągliwej lekkiej nici, której ciężar możemy zaniedbać. Wychylona zostaje z położenia równowagi o niewielki kąt α˂5˚, który zapewnia dostatecznie dobre wyniki. Kulka swobodnie puszczona wykonuje ruch drgający prosty.

Rozważając ruch kulki pod wpływem siły, która jest składową ciężaru kulki styczną do toru ruchu:

F = −mgsinφ,

gdzie sinφ ≅ φ, a wtedy F = −mgφ

Rozwiązując odpowiednie równanie ruchu dostajemy, że kątowe wychylenie kulki φ jest funkcją okresową czasu o okresie danym wzorem:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ , gdzie l – długość wahadła.

Przekształcając równanie otrzymujemy:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

3. Wykonanie ćwiczenia

Pomiar długości wahadła

2r = 1,5 [cm],

s=60,8 [cm],

l = s + r = 60,8 + $\frac{1,5}{2}$ = 61,55 [cm]

l = 0, 05 [cm]

gdzie:

2r to średnica kulki,

s – długość nici,

l – długość wahadła,

l - niepewność systematyczna równa połowie najmniejszej działki przyrządu

Pomiar i obliczenia okresu ruchu

Lp.	10T [s]	Ti [s]	$$T_{i} - \overset{\overline{}}{T}$$ [s]	$$\left( T_{i} - \overset{\overline{}}{T} \right)^{2}$$ [s^2]
1	16,40	1,64	0,0440	0,061936
2	15,80	1,58	-0,0160	0,000256
3	16,00	1,60	0,0045	0,000016
4	16,00	1,60	0,0045	0,000016
5	15,20	1,52	-0,0760	0,005776
6	16,00	1,60	0,0045	0,000016
7	16,00	1,60	0,0045	0,000016
8	16,40	1,64	0,0044	0,001936
9	15,80	1,58	-0,0160	0,000256
	$$10\overset{\overline{}}{T} = 15,96$$	$$\overset{\overline{}}{T_{i}} = 1,596 \cong 1,60$$		$$\sum_{}^{}\left( T_{i} - \overset{\overline{}}{T} \right)^{2} = 0,010224$$

Obliczenie odchylenia standardowego średniej arytmetycznej $\mathbf{S}_{\overset{\overline{}}{\mathbf{T}}}$ ze wzoru:

$S_{\overset{\overline{}}{T}} = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{}^{}\left( T_{i} - \overset{\overline{}}{T} \right)^{2}}$ , gdzie n – ilość wykonanych pomiarów

$S_{\overset{\overline{}}{T}} = \sqrt{\frac{0,010224}{9 \bullet 8}} = 0,012\ \lbrack s\rbrack$

Niepewności systematyczne

1) Pomiar długości wahadła przyrządem o najmniejszej działce 1mm. Jako niepewność systematyczną przyjmiemy l = 0, 05 [cm]

2) Czas 10T mierzony był stoperem o dokładności 0,1[s], dlatego:

10T = 0, 05[s]T = 0, 005[s]

Niepewności przypadkowe

Wykonano 9 pomiarów 10T. Korzystamy z metody Studenta-Fischera, gdzie τ_90, 7oznacza współczynnik Studenta-Fischera dla 9 pomiarów wartości 10T i poziomu ufności 0,7:

$\overset{\overline{}}{S_{x}} = S_{T} \bullet \tau_{9_{0,7}} = 0,012 1,06 = 0,0130\lbrack s\rbrack$, gdzie τ_90, 7 = 1, 06

Całkowita niepewność pomiaru wartości T oraz l

l_c = l = 0, 05 [cm]

T_max = 3, 250, 0130 = 0, 0423 ≈ 0, 05 [s],

ponieważ n < 10 stosujemy współczynnik Studenta-Fischera dla n=9 i α=0,99, który wynosi 3,25, zaś wartość otrzymanego błędu zaokrąglamy w górę.

Stąd okres T wynosi:

z błędem maksymalnym (1,60±0,05)[s]

z błędem standardowym (1,60±0,02)[s]∖n

Obliczenie przyspieszenia ziemskiego g z wartości uśrednionych:

$$g = \frac{4\pi^{2}l}{{\overset{\overline{}}{T}}^{2}} = \frac{4 \bullet {(3,1416)}^{2} \bullet 0,6155}{{1,60}^{2}} = 9,4918 \approx 9,49\ \left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

Maksymalna niepewność względna i procentowa pomiaru pośredniego g :

$$g = \left| \frac{4\pi^{2}}{{\overset{\overline{}}{T}}^{2}} \right| \bullet \left| l \right| + \left| \frac{- 8\pi^{2}l}{{\overset{\overline{}}{T}}^{3}} \right| \bullet \left| T_{\max} \right|$$

Stąd:

$$\delta_{\max} = \left( \frac{g}{g} \right)_{\max} = \left| \frac{l}{l} \right| + \left| \frac{2T_{\max}}{\overset{\overline{}}{T}} \right|$$

$$\delta_{\max} = \left| \frac{0,0005}{0,6155} \right| + \left| \frac{2 \bullet 0,05}{1,60} \right| = 0,0633$$

δ_% = δ_max • 100%

δ_% = 6, 33%

g_max = g • δ_max

$${g}_{\max} = 9,49 \bullet 6,33\% = 0,6012 \approx 0,60\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

Przyspieszenie ziemskie g wynosi $\mathbf{\approx (9,49 \pm 0,60)\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$

4. Wnioski

W wyniku doświadczenia wyznaczyliśmy przyspieszenie ziemskie o wartości

$(9,49 \pm 0,60)\ \left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$. Natomiast tablicowa wartość przyspieszenia ziemskiego dla Krakowa wynosi (9,8105±0,0001) $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$. Jak łatwo zauważyć wynik pomiaru doświadczalnego mieści się w przedziale z wynikiem tablicowym przyspieszenia ziemskiego. Wynik eksperymentalny posiada jednak dużą niepewność w stosunku do niepewności tablicowego g. Spowodowane jest to następującymi czynnikami:

• niepewności systematyczne wynikające z niezerowej nierozciągliwości nici, niedokładności przyrządów oraz pominięcia oporów powietrza

• niepewności przypadkowe objawiające się różnym, indywidualnym czasem reakcji osoby mierzącej podczas wykonywania pomiarów oraz precyzji w ich odczytywaniu.

Właśnie ten drugi czynnik miał największy wpływ na dokładność wyników otrzymanych w tym doświadczeniu.