Wstęp teoretyczny
Modelem wahadła matematycznego jest mała kulka zawieszona swobodnie na długiej nici. Kulka odchylona z położenia równowagi i swobodnie puszczona porusza się ruchem drgającym zwanym wahadłowym. Wahadło będzie wykonywało ruch zbliżony do harmonicznego, pod warunkiem, że wychylimy je z położenia równowagi o niewielki kąt. Tylko wtedy wypadkowa siły ciężkości kulki mg i reakcji nici R jest wprost proporcjonalna do wychylenia i skierowana do środka tzn. ma znak przeciwny do znaku wychylenia.
Fwyp nie jest proporcjonalna do przemieszczenia kątowego , lecz do sin . Zatem ruch nie jest prostym ruchem harmonicznym. Jeżeli kąt jest mały, to sin jest bardzo bliskie mierzonemu w radianach. Przemieszczenie wzdłuż łuku wynosi:
i dla małych kątów ruch jest w przybliżeniu prostoliniowy.
Zatem dla małych wychyleń siła F jest proporcjonalna do przemieszczenia ze znakiem przeciwnym. Jest to właśnie wymagane kryterium dla prostego ruchu harmonicznego.
Wielkości przy x określają stałą k w równaniu:
Przy małej amplitudzie okres drgań wahadła prostego wynosi:
Cel doświadczenia:
Celem doświadczenia jest wyznaczenie przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego.
II Przebieg doświadczenia, pomiary
Potrzebne przyrządy:
Statyw
Niewielka metalowa kulka, zawieszona na długiej, nierozciągliwej nici
Suwmiarka
Linijka
Stoper
Przebieg doświadczenia:
1.
Mierzymy długość nici od punktu zawieszenia do górnego punktu styczności kulki z płaszczyzną poziomą.
2. Wykonujemy 3 pomiary średnicy kulki za pomocą suwmiarki.
3.
Wychylamy wahadło około 5 cm od położenia równowagi.
4. Za pomocą stopera mierzymy czas 25 pełnych wahnięć.
5. Pomiary wpisujemy do tabeli.
Długość wahadła l [m] |
Średnica kulki d [m] |
Czas trwania 25 okresów t [s] |
Okres T |
Przyspieszenie ziemskie g [m/s2] |
Przyspieszenie ziemskie g' [m/s2] |
1,01 |
0,02004 |
50 |
2 |
9,96 |
9,96 |
1,03 |
0,02 |
51 |
2,04 |
9,76 |
9,76 |
1,01 |
0,02003 |
50 |
2 |
9,96 |
9,96 |
lśr =1,017 |
dśr =0,02002 |
tśr = 50,3 |
2,01 |
gśr = 9,89 |
g'śr = 9,89 |
0,89 |
0,02004 |
48 |
1,92 |
9,52 |
9,52 |
0,9 |
0,02 |
47 |
1,88 |
10,04 |
10,04 |
0,89 |
0,02003 |
47 |
1,88 |
11,06 |
11,06 |
lśr =0,893 |
dśr =0,02002 |
tśr = 47,3 |
1,89 |
gśr = 10,21 |
g'śr = 10,21 |
0,78 |
0,02004 |
45 |
1,8 |
9,5 |
9,5 |
0,78 |
0,02 |
44 |
1,76 |
9,93 |
9,93 |
0,78 |
0,02003 |
44 |
1,76 |
9,93 |
9,93 |
lśr =0,78 |
dśr =0,02002 |
tśr = 44,3 |
1,77 |
gśr = 9,79 |
g'śr = 9,79 |
III Obliczenia:
Obliczam T:
T1 = 2 s
T2 = 2,04 s
T3 = 2 s
T4 = 1,92 s
T5 = 1,88 s
T6 = 1,88 s
T7 = 1,8 s
T8 = 1,76 s
T9 = 1,76 s
Obliczam g:
g1 = 9,96 m/s2
g2 = 9,76 m/s2
g3 = 9,96 m/s2
g4 = 9,52 m/s2
g5 = 10,04 m/s2
g6 = 11,06 m/s2
g7 = 9,5 m/s2
g8 = 9,93 m/s2
g9 = 9,93 m/s2
Obliczam g':
korzystam z wcześniejszych obliczeń:
g1' = 9,96 m/s2
g2' = 9,76 m/s2
g3'= 9,96 m/s2
g4' = 9,52 m/s2
g5' = 10,04 m/s2
g6' = 11,06 m/s2
g7' = 9,5 m/s2
g8' = 9,93 m/s2
g9'= 9,93 m/s2
IV. Błędy pomiarowe:
Obliczamy tylko średni błąd kwadratowy Δg`, ponieważ g`=g.
Lp. |
g` [m/s2] |
ε |
ε2 |
εśr2 |
1. |
9,96 |
0,07 |
0,0049 |
0,15 |
2. |
9,76 |
-0,13 |
0,0169 |
|
3. |
9,96 |
0,07 |
0,0049 |
|
4. |
9,52 |
-0,69 |
0,4761 |
|
5. |
10,04 |
-0,17 |
0,0289 |
|
6. |
11,06 |
0,85 |
0,7225 |
|
7. |
9,5 |
-0,29 |
0,0841 |
|
8. |
9,93 |
0,14 |
0,0196 |
|
9. |
9,93 |
0,14 |
0,0196 |
|
Obliczenia:
n - liczba pomiarów
ε= g`- g`śr
g`śr=9,89 m/s2
g`śr = 10,21 m/s2
g`śr = 9,79 m/s2
g'= 0,044 m/s2
V. Dyskusja błędów
Największy wpływ na dokładność wyniku ma pomiar okresu, gdyż T występuje we wzorze na obliczanie g w drugiej potędze. Niedokładny pomiar czasu jest przyczyną dość dużego błędu.
Pomiar długości wahadła będzie obarczony błędem pomiaru długości nici.
Przy wprawianiu kulki w ruch wystąpiły dodatkowe drgania.
Wzór jest ściśle słuszny jedynie w przypadku idealnym, kiedy poruszająca się kulka nie jest narażona na żadne opory ruchu. W rzeczywistości istnieje tarcie nici w punkcie jej zawieszenia oraz opór powietrza przeciwko ruchowi wahadła. Nieuwzględnienie tych oporów wprowadza oczywiście pewne systematyczne błędy metody pomiarowej.
VI. Wnioski
Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego jest możliwe, ponieważ jak wynika ze wzoru na okres drgań (T) wahadła matematycznego nie zależy on od masy, ani amplitudy, a jedynie od długości wahadła.
Doświadczenie 2:
Cel doświadczenia:
Celem doświadczenia jest zbadanie zależności okresu drgań wahadła matematycznego od jego długości.
II Przebieg doświadczenia, pomiary
Potrzebne przyrządy:
zestaw komputerowy
linijka
wahadło matematyczne
Przebieg doświadczenia:
odmierzamy 5 różnych długości nici
wprawiamy wahadło w ruch odchylając kulkę od położenia równowagi o niewielki kąt (α<50)
wykorzystując program komputerowy, mierzymy okres drgań T wahadła matematycznego dla 5 różnych długości wahadła
Pomiary
Lp. |
Długość wahadła l [m] |
Okres wahadła T [s] |
Przyspieszenie ziemskie g [m/s2] |
Przyspieszenie ziemskie g śr [m/s2] |
1. |
0,34 |
1,182 |
9,6 |
9,75 |
2. |
0,32 |
1,134 |
9,81 |
|
3. |
0,21 |
0,919 |
9,8 |
|
4. |
0,16 |
0,802 |
9,81 |
|
III Obliczenia:
Aby obliczyć g, przekształcam wzór na T:
Obliczam g:
g1 = 9,6 m/s2
g2 = 9,81 m/s2
g3 = 9,8 m/s2
g4 = 9,81 m/s2
Obliczam g śr:
g śr = g1+ g2+ g3+ g4
g śr = 9,75 m/s2
IV. Błędy pomiarowe:
Obliczamy średni błąd kwadratowy Δg
Lp. |
g [m/s2] |
ε |
ε2 |
εśr2 |
1. |
9,6 |
-0,15 |
0,0225 |
0,008 |
2. |
9,81 |
0,06 |
0,0036 |
|
3. |
9,8 |
0,05 |
0,0025 |
|
4. |
9,81 |
0,06 |
0,0036 |
|
Obliczenia:
n - liczba pomiarów
ε = g - gśr
gśr=9,75 m/s2
Δg = 0,026
V. Dyskusja błędów
Dzięki wykorzystaniu w doświadczeniu zestawu komputerowego pomiar okresu drgań wahadła jest łatwy i dość dokładny
Pomiar długości wahadła będzie obarczony błędem pomiaru długości nici i niedokładnie zmierzonej długości średnicy kulki.
Przy wprawianiu kulki w ruch wystąpiły dodatkowe drgania.
Wzór jest ściśle słuszny jedynie w przypadku idealnym, kiedy poruszająca się kulka nie jest narażona na żadne opory ruchu. W rzeczywistości istnieje tarcie nici w punkcie jej zawieszenia oraz opór powietrza przeciwko ruchowi wahadła. Nieuwzględnienie tych oporów wprowadza oczywiście pewne systematyczne błędy metody pomiarowej.
VI. Wnioski
Doświadczenie to dowodzi o zależności pomiędzy okresem drgań wahadła
matematycznego a jego długością. Jak wynika ze wzoru
gdzie T jest wprost proporcjonalne do l. A więc gdy zwiększymy długość, nici na której zawieszona jest kulka i wprowadzimy wahadło w ruch zauważymy, że wraz ze zwiększeniem długości wahadła zwiększy się okres drgań.