1. BADANIE STOPNIA INTEGRACJI

1. Wykres szeregu czasowego

Miedźprawywykres szeregu czasowego

1. Test ADF

$$Y_{t} = \delta Y_{t - 1} + \sum_{i = 1}^{k}{\alpha_{i}Y_{t - 1}} + \varepsilon_{t}$$

H0: δ=0 Y(t) ∼1 Proces niestacjonarny, zintegrowany co najmniej rzędu 1.

H1: δ<0 Y(t)  ∼  0 Proces stacjonarny.

Miedź zmienna testy pierwiastka jednostkowegotest ADFopóźnienie: 0, test z wyrazem wolnym, z wyrazem wolnym i trendem liniowym, pokaż detale regresji, wykorzystaj poziomy zmiennej ok.

Decyzja weryfikacyjna:

p < p-value = 0,05 odrzucamy H0 na korzyść alternatywnej, możemy sądzić, że proces jest stacjonarny, tj. zintegrowany rzędu 0. Koniec.

p > p-value = 0,05 brak podstaw do odrzucenia H0, możemy sądzić, że proces yt jest zintegrowany co najmniej rzędu 1. Dalej badamy

Badanie wyższego stopnia integracji

H0: δ=0 Y(t) ∼2 Proces niestacjonarny, zintegrowany co najmniej rzędu 2.

H1: δ<0 Y(t)  ∼  1 Proces zintegrowany rzędu 1.

Miedźdodawanie zmiennychpierwsze różnice dla wybranych zmiennych

D_miedź zmienna testy pierwiastka jednostkowegotest ADFopóźnienie: 0, test z wyrazem wolnym, z wyrazem wolnym i trendem liniowym, pokaż detale regresji, wykorzystaj poziomy zmiennej ok.

p < p- value = 0,05 odrzucamy H0 na korzyść H1, możemy sądzić, że proces yt jest zintegrowany rzędu 1. Procedura się kończy.

p > p-value = 0.05 brak podstaw do odrzucenia H0, możemy sądzić, że proces yt jest zintegrowany co najmniej rzędu 2.

Badanie wyższego stopnia integracji

H0: δ=0 Y(t) ∼3 Proces niestacjonarny, zintegrowany co najmniej rzędu 3.

H1: δ<0 Y(t)  ∼  2 Proces zintegrowany rzędu 2.

1. KOINTEGRACJA

1. Wykres szeregu czasowego dla wszystkich zmiennych

Zaznaczasz 2 zmienne prawywykres szeregu czasowego

1. Równanie kointegrujące

Y_t = α₀ + α₁X_t + ε_t

Model-KMNKzmienna zależna: KGHM, zmienne objaśniające, miedźok.

Interpretacja podstawowych parametrów:

α_1= 0,276948 W długim okresie wzrost stopy miedzi o jeden punkt procentowy powoduje wzrost stopy zwrotu KGHM o 0,276948 punktu procentowego.

R^2=90% - w 90% całkowita zmienność zmiennej objaśnianej (KGHM) została wyjaśniona przez zmienne objasniające(MIEDŹ).

γ^2=10% - w 10% całkowita zmienność zmiennej objaśnianej (KGHM) nie została wyjaśniona przez zmienność zmiennych objaśniających (MIEDŹ), ma charakter losowy.

Błąd standardowy reszt 2,665577→ odchylenie wartości empirycznych zmiennej KGHM od wartości teoretycznych wynosi średnio +/- 2,665577.

1. Wyznaczanie reszt modelu ko integrującego

Gretl:

Model kointegrującyzapiszresztyok.

1. Korelogram reszt

Reszty uhat_1 prawykorelogramok.

1. Testowanie kointegracji reszt

Test ADF

H0: δ=0 E(t) ∼1 Proces niestacjonarny, zintegrowany co najmniej rzędu 1.

H1: δ<0 E(t)  ∼  0 Proces stacjonarny.

Gretl:

Reszty uhat_1 zmienna testy pierwiastka jednostkowegotest ADFopóźnienie: 0, test z wyrazem wolnym, z wyrazem wolnym i trendem liniowym, pokaż detale regresji, wykorzystaj poziomy zmiennej ok.

P < p-value = 0,05 odrzucamy H0 na korzyść H1, możemy sądzić, że proces yt jest zintegrowany rzędu 0. Proces stacjonarny. Procedura się kończy.

P > p-value = 0,05 brak podstaw do odrzucenia H0, możemy sądzić że proces jest zintegrowany co najmniej rzędu 1. Badamy dalej.

1. Test Engla

Model→model szeregów czasowych→test kointegracji→test Engle’a Grangera

Ważne opóźnienie( z ko integracji) i kolejność zmiennych: najpierw y potem x

Kointegracja występuje, jeżeli każdy wykorzystywany proces jest I(1), tzn. hipoteza zerowa o pierwiastku jednostkowym nie jest odrzucana oraz proces resztowy (uhat) z równania ko integrującego nie jest zintegrowany I(0) , tzn. hipoteza zerowa o pierwiastku zerowym jest odrzucana.

Zmienne MIEDŹ i KGHM są zintegrowane rzędu 1, a reszty są zintegrowane rzędu 0, czyli procesy są skointegrowane.

1. MODEL KOREKTY BŁĘDEM

1. Model kointgrujący równanie długookresowe

Y_t = α₀ + α₁X_t + ε_t

Model-KMNKzmienna zależna: KGHM, zmienne objaśniające, miedźok.

1. Wyznaczanie reszt modelu ko integrującego

Gretl:

Model kointegrującyzapiszresztyok.

1. Model krótkookresowy oparty na przyrostach zmiennych

Y_t = β₀ + β_tX_t + γU_t − 1 + ε_t

Model-KMNKzmienna zależna: d_KGHM, zmienne objaśniające,d_ miedź, reszty opóźnione o 1ok.

1. Korelogram

Model długookresowywykresykorelogram

1. Dodajemy opóźnienia do modelu

2. Test pominiętych zmiennych – metoda aposteriori

Interpretacja modelu:

β0=0,00571310 wyraz wolny został oszacowany ze średnim błędem +/- 0,00571310

β1=0,0467729 wzrost d_miedź o 1pp powoduje wzrost d_kghm średnio o 0,0467729pp, ceteris Paribas

β2=0,0786695 wzrost d_miedź_1 o 1pp powoduje wzrost d_kghm średnio o 0,0786695 pp, ceteris Paribas

β3=-0,0172210 wzrost d_miedź_4 o 1pp powoduje spadek d_kghm średnio o 0,0172210pp, ceteris Paribas

γ =-0,0144 - 1,44% nierównowagi od długookresowej ściezki jest korygowane w kazdym miesiącu,

β4=0,106456 inercyjny przyrost d_kghm w stosunku do okresu sprzed 5 miesiący o 0,106456 pp

1. Prognoza – dodaję obserwację do d_miedź

Błędy ex ante

Vt=0,5 – w okresie prognozowanym rzeczywiste wartości zmiennej prognozowanej będą się róznić od wartości prognoz średnio o +/-0,5

Vt*=(Vt/prognoza)*100% = 368,022% - prognoza niedopuszczalna

Z prawdopodobieństwem 0,95 możemy sądzić że nieznana wartość zmiennej prognozowanej mieści się w przedziale w okresie 2005/01/17 w przedziale od -0,843055 do 1,11395

1. MODEL VAR

1. Badamy rząd zintegrowania zmiennych

2. Badamy rząd opóźnień modelu VAR – na przyrostach zmiennej

Jeżeli zmienne są zintegrowane rzędu 1, to aby zbudować model VAR należy pozbyć się niestacjonarnych zmiennych poprzez wykorzystanie pierwszych różnic badanych zmiennych. Wówczas otrzymujemy zmienne zintegrowane rzędu 0. W przypadku zintegrowania 2 rzędu wykorzystujemy drugie różnice

Model model szeregów czasowych wybór rzędu opóźnienia dla modelu VAR endogeniczne – d_miedx, d_KGHM ok.

Wnioskowanie na podstawie BIC – minimalna wartość kryterium Schwartzca osiągana jest dla modelu VAR(1)

1. Model VAR

Model model szeregów czasowych model wektorowej autoregresji VAR endogeniczne – d_miedx, d_KGHM , opóźnienie: takie jak wyszło w BIC ok.

Hipotezy modelowe równań:

ΔMIEDZ = α₀ + α₁ΔMIEDZ − 1 + α₂ΔKGHM − 1 + ε_t

$$\Delta\hat{MIEDZ} = 0,109 - 0,045\Delta MIEDZ - 1 + 0,074\Delta KGHM - 1$$

ΔKGHM = β₀ + β₁ΔMIEDZ − 1 + β₂ΔKGHM − 1 + η_t

$$\Delta\hat{\text{KGHM}} = 0,013 + 0,078\Delta MIEDZ - 1 - 0,039\Delta KGHM - 1$$

1. Badamy korelogram procesu resztowego, powinien być białym szumem

Model VARzapiszreszty z modelu 1, reszty z modelu 2ok.

Resztykorelagram

1. Prognoza

Błędy ex ante

• Vt=1,75 – w okresie prognozowanym rzeczywiste wartości zmiennej prognozowanej będą się róznić od wartości prognoz średnio o +/-1,75

• Vt*=(Vt/prognoza)*100% = (1,75/0,1)*100% = 1765% - prognoza niedopuszczalna

• Z prawdopodobieństwem 0,95 możemy sądzić że nieznana wartość zmiennej prognozowanej mieści się w przedziale w okresie 2005/01/17 w przedziale od -3,33152 do 3,52959

1. PRZYCZYNOWOŚĆ VAR

ΔX_t = KGHM

ΔY_t = MIEDZ

1. ΔXt jako przyczyna ΔYt

Model 1 – opóźniony w zależności od opóźnienia modelu VAR (pkt. 4.2)

ΔY_t = αΔY_t − 1 + ε_t

ε_t−składnik losowy modelu ΔYt, objaśnianego przez opóźnione wartość Δyt

Wyznaczamy błąd standardowy reszt

Model 2

ΔY_t = αΔY_t − 1 + βΔX_t − 1 + η_t

η_t −  składnik losowy modelu ΔYt objasniany przez opóźnienia Δyt i ΔXT

Wyznaczamy błąd standardowy reszt

Test Grangera

Ho s2(et) = s2(ht) ΔXt nie jest przyczyną ΔYt

H1 s2(et) ¹≠s2(ht) ΔXt jest przyczyną ΔYt

G=$\frac{\mathbf{T}\mathbf{*}\mathbf{\lbrack}\mathbf{S}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{\text{et}} \right)\mathbf{-}\mathbf{S}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{\text{nt}} \right)\mathbf{\rbrack}}{\mathbf{S}^{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathbf{\text{et}}\mathbf{)}}$= -0,53625862

Wartość krytyczna:

Narzędzia tablice statystycznechi kw df: 1 ( to opóźnienie modelu VAR), prawdopodobieństwo 0,05

G<chi kw brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, czyli ΔXt nie jest przyczyną ΔYt

G>chi kw odrzucamy H0 na korzyść alternatywnej, czyli ΔXt jest przyczyną ΔYt

1. ΔYt jako przyczyna ΔXt

Model 1

ΔX_t = αΔX_t − 1 + ε_t

ε_t− składnik losowy modelu ΔXt, objaśnianego przez opóźnione wartość ΔXT

Model 2

ΔX_t = αΔX_t − 1 + βΔY_t − 1 + η_t

η_t −  składnik losowy modelu ΔXt objasniany przez opóźnienia Δyt i ΔXT

H0: s2(et) = s2(ht) ΔYt nie jest przyczyną ΔXt

H1: s2(et) ≠ s2(ht) ΔYt jest przyczyną ΔXt

G=$\frac{\mathbf{T}\mathbf{*}\mathbf{\lbrack}\mathbf{S}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{\text{et}} \right)\mathbf{-}\mathbf{S}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{\text{nt}} \right)\mathbf{\rbrack}}{\mathbf{S}^{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathbf{\text{et}}\mathbf{)}}$= 51,69954712

G>chi^2 – odrzucamy hipotezę zerową na korzyść alternatywnej, czyli ΔYt jest przyczyną ΔXt

G<chi kw brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, czyli ΔYt nie jest przyczyną ΔXt

1. EGZOGENICZNOŚĆ VAR

ΔX_t = KGHM

ΔY_t = MIEDZ

1. Egzogeniczność Δxt względem Δyt

H0=E(v,a)=0 Δxt względem Δyt jest słabo egzogeniczne

H1=E(v,a))≠0 Δxt względem Δyt nie jest słabo egzogeniczne

Model: Δxt= const+Δxt_1+Δyt_1 KMNKzapisz reszty uhat

Model 2: Δyt=const+reszty+Δxt+Δyt_1

Badamy istotność reszt:

Istotne występuje egzogeniczność

Nieistotnesłaba egzogeniczność, Nie występuje tu silna egzogeniczność.

1. Egzogeniczność Δyt względem ΔXT

H0=E(v,a)=0 Δyt względem Δxt jest słabo egzogeniczne

H1=E(v,a))≠0 Δyt względem Δxt nie jest słabo egzogeniczne

Model: Δyt= const+Δxt_1+Δyt_1 KMNKzapisz reszty

Model 2: Δxt=const+reszty+Δyt+Δxt_1

Badamy istotność reszt:

Istotne występuje egzogeniczność

Nieistotnesłaba egzogeniczność, Nie występuje tu silna egzogeniczność.

1. ODPOWIEDŹ NA IMPULS

Model VARwykresyodpowiedź na impuls zbiorczy

D_MIEDŹ – D_KGHM

Wpływ impulsu ze strony d_MIEDŹ w okresie t na d_kghm powoduje krótkookresowy wzrost d_kghm do poziomu 0,14 w okresie t=2. Następnie nastepuje gwałtowny spadek poniżej zera w okresie t=3. Następuje wzrost w następnym okresie i w okresie od t=4 utrzymuje zerową wartość.