PYTANKA OD PROF. ARANOWSKIEJ

13). Z jaką pewnością przyjmuje się hipotezę zerową. Podaj definicję hipotez rozważanych w trakcie wnioskowania.

Hipotezę zerową przyjmuje się z pewnością 1 – alfa, np. jeżeli zakładamy, że alfa = 0,05, to hipotezę zerową przyjmujemy z pewnością 0,95.

W trakcie wnioskowania rozważamy hipotezy: zerową, alternatywną (różnościową bądź kierunkową)

Hipoteza zerowa jest zawsze hipotezą równościową i prostą. Jest hipotezą na temat parametru populacyjnego, którą testuje badacz.

Hipoteza alternatywna jest zaprzeczeniem hipotezy zerowej. Może przyjmować postać różnosciową bądź kierunkową ( w zależności od problemu badawczego )

14). Jakie znasz skale pomiarowe.

Skala nominalna:

• Liczby służą tylko do oznaczenia oraz identyfikacji i klasyfikowania obiektów.

• Jedna liczba odpowiada tylko i wyłącznie jednemu obiektowi.

• Liczby nie odzwierciedlają sumy cech posiadanych przez obiekty.

• Jedyną dopuszczalna operacją na liczbach skali nominalnej jest ich zliczanie.

• Dopuszczalne jest stosowanie ograniczonej liczby statystyk np. procenty i moda.

• wartości na tej skali nie mają oczywistego uporządkowania (np. nazwy miejscowości).

• Jedyną dozwoloną relacją porównującą dwie wartości na skali nominalnej jest równość.

• Wśród skal nominalnych wyróżnia się czasem skale dychotomiczne przyjmujące tylko dwie wartości, np odpowiedź na pytania tak/nie.

Skala porządkowa:

• Skala porządkowa umożliwia uporządkowanie obiektów (przydzielenie liczb) ze względu na stopień nasilenia pewnej cechy .

• Możemy określić, że dany obiekt ma więcej lub mniej danej cechy, ale nie możemy określić o ile > lub <, ponieważ skala ta nie stałej jednostki pomiaru.

• Każde serie liczb, które zachowują uporządkowane relacje między obiektami uznajemy za skale porządkowe.

• Oprócz operacji liczenia dozwolonej na skali nominalnej, skale porządkowe pozwalają na użycie statystyk opartych na centylach, np. percentyla, kwartyli i mediany.

Skala interwałowa:

• Równe liczbowo dystanse pomiędzy liczbami na skali reprezentują reprezentują równe wartości cechy poddanej pomiarowi – stała jednostka pomiaru.

• Skala interwałowa pozwala na porównywanie różnic między cechami.

• Brak ustalenia punktu „0”. Zarówno punkt „0”, jak i jednostki pomiaru są ustalane arbitralnie.

• Każda pozytywna liniowa transformacja w postaci

y = a + bx będzie zachowywała własności tej skali.

• Zaleca się wykorzystywanie w analizach relacji interwałów skali.

• Możemy stosować wszystkie techniki statystyczne właściwe dla skal nominalnej i porządkowej, oraz średnią arytmetyczną, odchylenie standardowe.

Skala ilorazowa:

• Posiada wszystkie własności skali nominalnej, porządkowej i interwałowej (stała jednostka miary).

• Posiada nie arbitralny punkt „0” skali ( tzw.0 bezwzględne)

• Nie tylko różnice, ale także ilorazy wielkości mają interpretację. ( nie tylko „o ile jednostek” coś jest większe/mniejsze, ale i „ile razy” coś jest większe/mniejsze)

• Umożliwia precyzyjne obliczanie relacji między wartościami skali.

• Dozwolone są tylko proporcjonalne transformacje w formie y = bx, gdzie b jest liczbą dodatnią.

• Możemy stosować wszystkie statystyki i techniki statystyczne.

15). Co znaczy termin rozkład z próby statystyki.

Rozkład z próby statystyki jest to rozkład  prawdopodobieństwa estymatora tej statystyki, opisujący zmienność statystyki w zbiorze powtarzanych prób.

(tego nie jestem pewna)

16). Ile stopni swobody ma wariancja i dlaczego?

Spośród n odchyleń podniesionych do kwadratu, tylko n-1 może się swobodnie zmieniać. Wariancja ma n-1 stopni swobody.

[ Liczba stopni swobody dla statystyki będącej estymatorem nieznanej wartości parametru populacji jest równa liczbie wyników, które w sposób niezależny od siebie przyczyniają się do wyznaczenia wartości tej statystyki.]

Wariancja ma n – 1 stopni swobody, ponieważ ostatni wynik w próbie nie jest niezależny – wpływa na niego średnia arytmetyczna, która jest na stale przywiązana do próby. (średnia jest na stałe przywiązana do próby i ponieważ musimy ja wyznaczyć to tracimy na to „1 punkt”)

17). Podaj definicję kwantyli. Jaki jest związek mediany z kwantylami.

Kwantyle to mierniki pozycyjne – zajmują takie miejsce, że dzielą rozkład w interesujący nas sposób. Mediana jest kwantylem 0,5 rzędu.

Kwantylem k rzędu m, k= 1,2,…,m zmiennej losowej X nazywa się wartość x należy do X spełniają równanie:

P(X < bądź równe x) = $\frac{k}{m}$, 0 < $\frac{k}{m}$ < lub równe 1

m = 4 $\frac{k}{4}$ k = 1, 2, 3, 4 - Kwartyle

m = 10 $\frac{k}{10}$ k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 - Decyle

m = 100 $\frac{k}{100}$ k = 1, 2, 3,…, 50, … , 100 - Centyle, Percentyle

Kwantyl m rzędu n to x_max

18). Wystandaryzowany rozkład normalny i jego własności.

Ten czerwony to normalny wystandaryzowany

Właściwości ( rysunek kalka 23)

- Pole na odcinku jednego odchylenia standardowego od średniej (na lewo i prawo) stanowi 68% całego pola w przypadku zmiennej o normalnym rozkładzie prawdopodobieństwa.

- Na odcinku dwu odchyleń – 95,5% całego pola, zaś na odcinku 3 odchyleń – 99,7% pola.

19). Co znaczy termin wartość krytyczna testu statystycznego.

Wartość krytyczna testu statystycznego stanowi granicę pomiędzy przedziałem ufności i przedziałem istotności. Im mniejsza wartość krytyczna, tym łatwiej odrzucić hipotezę zerową, ponieważ potrzeba nam do tego mniej wartości skrajnych.

20). Jaka jest definicja statystyki t – studenta i przy jakich założeniach można ją stosować.

Założenia:

- zmienna X – skala przynajmniej przedziałowa (mierzalna)

- zmienna zależna ma rozkład normalny X (mi, sigma²)

- próba losowa, n – elementowa

- alfa – określone subiektywnie

H₀: mi = mi₀

H₁: mi ≠ mi₀

t = $\frac{\mathbf{\, x - \ \mu}}{\mathbf{\sigma}_{\mathbf{x}}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{x - \ \mu}}{\mathbf{S}}\mathbf{\ \times \ }\sqrt{\mathbf{n}}$

21). Jaką interpretację mają wartości znanych statystyk t – studenta.

Gdy |t|>t_df H₀^-  hipotezę zerową odrzucamy, przyjmując alternatywną.

Gdy |t|<t_df H₀⁺  nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.  

22). Narysuj rozkładał testu F – Fischera i podaj jego definicję.

Jest to test do sprawdzania homogeniczności wariancji dwóch (i tylko dwóch) populacji niezależnych.

Założenia:

- X – skala (przynajmniej przedziałowa)

- X N (μ_1; σ₁²)

- X N (μ_2; σ₂²)

- dwie próby losowe, niezależne

- α − okreslone subiektywnie

Statystyka testu:

F = $\frac{\mathbf{\sigma}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{\sigma}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\approx \ }\frac{\mathbf{S}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{S}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\ \geq 1}$

f₁ = n₁ – 1

f₂ = n₂ – 1

S₁² – wariancja większa ( z próby o liczebności n₁, ze stopniami swobody f₁ = n₁ – 1 )

S₂² – wariancja mniejsza ( z próby o liczebności n₂, ze stopniami swobody f₂ = n₂ – 1 )

F > F_{α, f1, f2} H_o^-

F ≤ F_{α, f1, f2} H₀⁺

RYSUNEK KALKA 47!

23). Postaw hipotezy stawiane przy weryfikowaniu homogeniczności wariancji dwu populacji. Czy mogą mieć postać alternatywną?

H₀: sigma₁² = sigma₂² = sigma²

H₁: sigma₁² > sigma₂² (zawsze taka postać)

24). Kiedy o próbach mówi się „próby niezależne”, a kiedy „próby zależne”. Czy rozróżnienie to wpływa na sposób testowania hipotezy zerowej?

(chyba) Próby niezależne, to próby, które pobrane zostały z dwóch populacji, które są niezależne od siebie (całkiem inne). Próby zależne pobrane są z jednej populacji aczkolwiek w pewnych odstępach czasowych (np. pierwsza próba pobrana na godzinę przed występem a druga na 5 minut przed występem).