Temat: Przypomnienie wiadomości o funkcjach.

Funkcja jest to takie odwzorowanie które każdemu elementowi xєY podporządkowuje dokładnie jeden element z yєY, z każdej dziedziny co zapisujemy:

f:x->y

Czy dane przyporządkowane jest funkcją?

f f

f

x	5	5	5	5
y	1	2	3	4

f

x	1	2	3	4
y	5	5	5	5

f

Funkcja liniowa:

Y=ax+b; a,bєR

Dziedzina X=R

a>0

a – jest to parametr kierunkowy

b – jest to parametr przesunięcia

dziedzina x=R (zbiór liczb rzeczywistych)

y y

y=ax+b

y=ax+b

x x

jest kątem ostrym jest kątem rozwartym

Funkcja kwadratowa:

Trójmian kwadratowy, czyli funkcja

Y=ax²+bx+c; a=0, b,cєR

dziedzina x=R

wyrażenie =b²-4ac wyróżnik trójmianu kwadratowego

Postać kanonicznej trójmianu kwadratowego

Y=a(x+$\ \frac{b}{2a}$)- $\frac{}{4a}$

Miejsca zerowe (pierwiastki)trójmianu kwadratowego

=0trójmian ma 2 różne pierwiastki

X₁=$\frac{- b - \sqrt{}}{2a}$ , x₂ = $\frac{- b + \sqrt{}}{2a}$

X₁ x₂ x₁ x₂

a>0 a<0

=0trójmian ma jeden (dwukrotny) pierwiastek

X₀= $\frac{- b}{2a}$

y y

X₀ x

X₀ x a<0

a>0

<0 trujmian nie ma pierwiastków w zbiorze R

y y

x x

a>0 a<0

Funkcja wykładnicza:

Y=a^x

Dziedzina x=R

Y= ($\frac{1}{2}$) y y=a^x

1

x

a>1

Funkcja logarytmiczna:

Y=log_ax , gdzie a>0 i a=1

Dziedzina xєR

y y=log_ax

a>1

x

y=log$\frac{1}{2}$

log_a b = 2a ^z=b

log₄ 16 = 24²=16

log_? 100 = 10^? = 100 ?=2

log₂X = 3 2³ = 8

log₈64 = 2

Funkcje trygonometryczne:

Y=sin_x , y=cos_x

Dziedziną funkcji Y=sin_x i y=cos_x jest zbiór R

Zbiorem wartości jest przedział ⟨−1,1⟩

y

1 sin_x

x

$\frac{\pi}{2}$ π $\frac{3}{2}\pi$

-1 cos_x

Y=tgx

Dziedziną finkcji Y=tgx jest zbiór R bez liczb postaci $\frac{1}{2}$π+kπ, gdzie kєc.

-$\frac{3}{2}\pi$ - π - $\frac{\pi}{2}$ $\frac{\pi}{2}$ π $\frac{3}{2}\pi$

Y=ctg_x

Dziedziną funkcji Y=ctg_x jest zbiór R bez postaci kπ gdzie kєc.

$- \frac{3}{2}$π -π -$\frac{\pi}{2}$ $\frac{\pi}{2}$ π $\frac{3}{2}$π

Przykład:

Do jakich funkcji elementarnych zaliczamy funkcje:

1. f(x)= 3x-4 potęgowa

2. f(x)= 5x⁷-4x³ potęgowa

3. f(x) =3x²x+7 wykładnicza

4. f(x) = 2e^x wykładnicza

5. f(x) = log₃(x+2) logarytmiczna

6. F(x) = cos 2x trygonometryczna

Dziedzina jest to zbiór wszystkich xєR, dla których wyrażenie f(x) ma sens.

W zbiorze R nie są wykonalne działania:

1. Dzielenie przez zero

$\frac{\mathbf{\text{Licznik}}}{\mathbf{\text{Mianownik}}}\mathbf{\ M = 0}$

1. Pierwistkowe liczb ujemnych gdy stopień pierwiastka jest parzysty

$\sqrt[{\mathbf{\text{parzy}}\mathbf{\text{stego}}}]{\mathbf{L}}\mathbf{\ ,\ L \geq 0}$

1. Logarytmowanie liczb ujemnych i zera

Log L, L  > 0

Przykład:

Wyznaczyć definicje funkcji:

Y=1+$\sqrt{\mathbf{x}}$

D=x≥0

Xє (0,+∞)

0

Y=3 log (x²-4)

D:x² -4>0

X²-4 = 0

A - 1

B- 0

C- -4

=b²-4ac

=0²-4*1*(-4) = 0+16= 16 >0

X₁= $\frac{- 1 - \sqrt{}}{2a}$ = $\frac{- 0 - \sqrt{16}}{2*1}$= $\frac{- 4}{2}$= -2

X₂ = $\frac{- b + \sqrt{}}{2a}$= $\frac{- 0 + \sqrt{16}}{2*1}$= $\frac{4}{2}$=2 xie(−∞,−2) ∪ (2, +∞)

+ +

-2 - 2

Przykład 3

Y= 2 log (x-1)+ log (x-1)

D: $\left\{ \begin{matrix} x + 1 > 0 \\ x - 1 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ $

X+1>0

x>1

-1

Xє (-1,+∞)

x-1>0

x>1

1

xie(1, +∞)

-1 1

Xє (1,+∞)

Y= 2 $\sqrt{1 - x}$² -3 $\sqrt{x}$²-1 +4 sim_x

D: $\left\{ \begin{matrix} 1 - x \geq 0 \\ x - 1 \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ $

1-x²= 0

1-x²= 0 => 1²-x²= 0=> (1-x)*(1+x) =0

A²- b² =(a-b)*(a+b)

25-36=5² -6²=(5-6)*(5+6) = -1*11=-11

1-x=0 ∪ 1+x=0

X=1 ∪ x= -1

Xє<-1,1>

-1 + 1

- -

X²-1>0

X² -1=0

(x-1)*(x+1)=0

x-1=0  ∪  x+1=0 + +

x=1 ∪ x= -1 -1 - 1

-1 1

Odp: xє{−1,1}

Temat: Ciągi liczbowe, granice ciągów liczbowych

Ciągiem liczbowym nazywamy odwzorowaniem f:N->Y

N –zbiór liczb naturalnych

Y – dowolny zbiór

(a_n), {a_n}

A_n – dowolny elemaent ciągu liczbowego

1. Wypisać kilka pierwszych elementów ciągu liczbowego

a_n= $\frac{\mathbf{n}\mathbf{+}\mathbf{3}}{\mathbf{2}\mathbf{n}\mathbf{+}\mathbf{1}}$

n=1

a₁ = $\frac{1 + 3}{2*1 + 1} = \ \frac{4}{3}$

n=2

a₂= $\frac{2 + 3}{2*2 + 1} = \ \frac{5}{5} = 1$

n=3

a₃ =$\frac{3 + 3}{2*3 + 1} = \ \frac{6}{7}$

n=4

a₄= $\frac{4 + 3}{2*4 + 1} = \frac{7}{9}$

$\frac{4}{3},\ 1,\ \frac{6}{7},\ \frac{7}{9}$ …

a₁₀₀= $\frac{100 + 3}{2*100 + 1} = \ \frac{103}{201}$

Przykład

a_n = n^(-1)

n=1

a₁ = 1^(-1)= 1

a= 2

a₂= 2^(-1)=2¹ =2

a= 3

a₃ = 3^(-1)= 3^(-1) = $\frac{1}{3}$

n=4

n₄ = 4^(-1)= 4¹ = 4

n=5

n₅ = 5^(-1) =5^(-1) = $\frac{1}{5}$

Przykład 3

a_n= sin $\frac{\text{nπ}}{2}$

a₁ = sin $\frac{\pi}{2} = 1$

a₂ = sin $\frac{2\pi}{2} = 0$

a₃ = sin $\frac{3\pi}{2} = \ - 1$

a₄ = sin $\frac{4\pi}{2}$ = 0

Granicą ciągu liczbowego jest liczba do której zmierza ciąg

a_n = 0(lim($\frac{1}{2}$)ⁿ =0)

Definicja:

Ciąg (a_n) jest zbliżony do g (ma granicę równą g) n jeżeli a_n-q <

- dla każdego

- istnieje

Ciąg nazywamy rozbieżnym jeżeli granica przy lim a_n =+∞ lub lim a_n = -∞

Wyznaczyć granicę ciągów liczbowych

Lim $\frac{\mathrm{1 -}{7n}^{3}}{{2n}^{3} - 5n + 2} = \operatorname{}{\frac{\frac{1}{n^{3}} - \frac{{7n}^{3}}{n^{3}}}{\frac{{2n}^{3}}{n^{3}} - \frac{{5n}^{3}}{n^{3}} + \frac{2n}{n^{3}}} = \ \operatorname{}\frac{\frac{1}{n^{3}} - 7}{2 - \frac{5}{n^{1}} + \frac{2}{n^{3}}}} = \ \frac{- 7}{2}$

Odp: $\frac{1}{8},\ \frac{1}{27}$

Przykład 2

$\operatorname{}{\frac{1 - {7n}^{3}}{{2n}^{4} - 5n + 2} = \ \operatorname{}{\frac{\frac{1}{n^{4}} - \frac{{7n}^{3}}{n^{4}}}{\frac{{2n}^{4}}{n^{4}} - \frac{5n}{n^{4}} + \frac{2}{n^{4}}} = \ \operatorname{}{\frac{\frac{1}{n^{4}} - \frac{7}{n}}{2 - \frac{5}{n^{3}} + \frac{2}{n^{2}}} = \ \frac{0}{2} = 0}}}$

Przykład 3

$\operatorname{}{\frac{1 - {7n}^{3}}{{2n}^{2} - 5n + 2} = \ }\operatorname{}{\frac{\frac{1}{n^{2}} - \frac{{7n}^{3}}{n^{3}}}{\frac{{2n}^{2}}{n^{2}} - \frac{5n}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}}} = \ \operatorname{}{\frac{\frac{1}{n^{2}} - 7n}{2 - \frac{5}{n} + \frac{2}{n^{2}}} = \ \frac{0}{2} = \ \frac{\infty}{2} = \ - \infty}}$

Twierdzenie dotyczące działań na ciągach liczbowych

1. (an+bn) =  an + bn

2. (an*bn) =  an * 

3. $\operatorname{}{\frac{\text{an}}{\text{bn}} = \ \frac{\operatorname{}\text{an}}{\operatorname{}\text{bn}}}$

bn= 0, , bn=0

Działania na granicach ciągów liczbowych

1.  c = c

2. $\operatorname{}{\frac{1}{n} = 0}$

3. $\operatorname{}{{(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e}$ e= 2,71828……

4. $\operatorname{}{\sqrt[n]{n} = 1}$

5. $\operatorname{}\sqrt[n]{c} = 1$

Twierdzenie o ciągach możemy zapisać symbolicznie:

1. +∞+(+∞)=+∞

2. (-∞)+(-∞) =-∞

3. (-∞) – (+∞) = -∞

4. (+∞)*(+∞) = + ∞

5. (+∞)*(- ∞) = -∞

6. (-∞) *(-∞) = + ∞

7. C+∞ = +∞

8. C- ∞ = - ∞

9. C*(+∞) = +∞

10. C*(-∞0 = -∞

11. $\frac{+ \infty}{c} = \ + \infty$

12. $\frac{- \infty}{c}$= -∞

Twierdzenie (o trzech ciągach) jeżeli dane są 3 ciągi

an, bn, cn, takie że:

an≤bn ≤ cn

an = q

To bn = q

cn = q

Przykład na zastosowanie

Wyznaczyć granicę ciągu

$\operatorname{}\sqrt[n]{3^{n} + 5^{n} + 7^{n}}$

$\sqrt[n]{7^{n}} \leq \sqrt[n]{3^{n} + 5^{n} + 7^{n}} \leq \sqrt[n]{7^{n}7^{n}7^{n}}$

$\operatorname{}\sqrt[n]{7^{n}} = 7$

$\operatorname{}\sqrt[n]{7^{n} + 7^{n} + 7^{n}} = \ \operatorname{}\sqrt[n]{3*7^{n}} = \ \operatorname{}\sqrt[n]{3}*\sqrt[n]{7^{n}} = 1*7 = 7$

Na podstawie twierdzenia o 3 ciągach $\operatorname{}\sqrt[n]{3^{n} + 5^{n} + 7^{n}}$ równa się 7.