1) Klasyfikacja sił z wyprowadzeniami na siłę masową i powierzchniową:

Siły wewnętrzne – wzajemne oddziaływania elementów mas wydzielonego obszaru płynu, siły o charakterze powierzchniowym, znoszące się parami.

Siły zewnętrzne – wynik oddziaływania mas nie należących do wydzielonego obszaru płynu – dzielimy je na siły masowe i siły powierzchniowe.

Siły masowe obejmują każdy element płynu i są proporcjonalne do jego masy.

Siły powierzchniowe działają na powierzchnię obejmującą wydzielony obszar płynu i są proporcjonalne do pola tej powierzchni.
2) Klasyfikacja przepływów:

Przepływy jednowymiarowe, czyli przepływy z jednym dominującym kierunkiem prędkości, np. przepływ w rurociągu o stałym przekroju.

Przepływy dwuwymiarowe, czyli takie gdzie występują dwa równie ważne kierunki przepływu, np. opływ profilu będącego przekrojem płata o nieskończonej rozpiętości lub przepływ w rurociagu o silnie

zmiennym przekroju.

Przepływy trójwymiarowe, czyli takie gdzie występują trzy równie ważne kierunki przepływu, np. opływ trójwymiarowej bryły o złożonej geometrii (samolot, samochód statek itp.).

Przepływ stacjonarny, czyli taki w którym parametry go opisujące nie są zależne od czasu.

Przepływ niestacjonarny, czyli taki w którym parametry go opisujące są zależne od czasu.
3) Omówić modele płynów:

Ciecz idealna (ciecz Pascala) – płyn nielepki i nieściśliwy

Płyn lepki – (płyn Newtona), w którym naprężenia styczne (ścinające) są proporcjonalne do prędkości odkształcenia, np. woda, powietrze, oleje mineralne.

Ciecz lepkoplastyczna (ciecz Binghama) – poniżej pewnej granicy naprężeń zachowuje się jak ciało stałe, a powyżej jak płyn lepki, np. lakiery, pasty, wodny roztwór cementu.
4) Prawo Fouriera:

q =   − h *  T - wzór wektorowy Jednostka: [q] = W/m^2

$q\left( x \right) = - h*\frac{\partial T}{\partial x}$

$q\left( y \right) = - h*\frac{\partial T}{\partial y}$ - wzory skalarne

$q\left( z \right) = - h*\frac{\partial T}{\partial z}$

5) Ciśnienie w gazach:

Gazy cechuje ściśliwość:

dp/dz = -ρg = (p/RT)*g

$\int_{1}^{2}{\frac{\text{dp}}{\varrho} = \ln\frac{p2}{p1} = - \frac{g}{R}}\int_{0}^{2}\frac{\text{dz}}{t}$ n

Atmosfera izotermiczna, gdzie T=T₀:

p₂ = p₁ * exp [- g(z1-z1)/RT₀ ]

pV=nRT

m/V=p/RT -> ρ = p/RT
6) Powierzchnie ekwipotencjalne:

Powierzchnia ekwipotencjalna:

W każdym punkcie pola potencjał prędkości ma inną wartość. Całkowita zmiana potencjału dwóch sąsiednich cząstek: d Φ= ∂Φ/∂x *dx + ∂Φ/ ∂y * dy + ∂ Φ/ ∂z dz = 0, gdzie udx + vdy + wdz = 0.

Powierzchnie ekwipotencjalne – powierzchnie stałego potencjału (ρ i p nie zmieniają się wzdłuż takiej powierzchni), np. swobodna powierzchnia płynu czy powierzchnia rozdziału dwóch nie mieszających sie cieczy o różnych gęstościach.

Wniosek: w polu grawitacyjnym Ziemi powierzchnie stałego ciśnienia hydrostatyczne są poziome.

Wniosek ogólny: powierzchnie izobaryczne i ekwipotencjalne są prostopadłe do wektora sił masowych.
7) Obrót wokół osi pionowej:

Na dowolny element płynu działa jednostkowa siła masowa, która jest sumą wektorową przyspieszenia ziemskiego i odśrodkowego.

X=ω^2 * x

Y= ω^2 * y

Z= -g

(ω^2*r^2) / 2 – gz = C

Równanie powierzchni swobodnej:

z = z₀ + (ω^2*r^2)/(2*g)

z₀=h – (ω^2*R^2)/(4g)

Natomiast ciśnienie określa sie wzorem:

p=p₀ + (ρ* ω^2 * r^2)/2 + ρg(z₀-z)

8) Rurka prądu:

Rurka prądu – powierzchnia prądy, otrzymana przez poprowadzenie przez zamknięty kontur linii prądy. Włókno prądu – powstaje, gdy przekrój rurki jest nieskończenie mały.

Struga - zbiór linii prądu wypełniających w sposób ciągły rurkę prądu.

Dla rurki prądy można wyznaczyć:

Objętościowe natężenie przepływu: Q= ∫_Su_n dS

Objętościowa prędkość średnia: $\tilde{\mathbf{u}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{S}}\int_{\mathbf{S}}^{}{\mathbf{u}_{\mathbf{n}}\mathbf{\ }\mathbf{\text{dS}}}$

Masowe natężenie przepływu: M=∫_Sρu_n dS

Masowa prędkość średnia: $\tilde{\mathbf{u}}\mathbf{=}\frac{\int_{\mathbf{S}}^{}{\mathbf{\rho}\mathbf{u}_{\mathbf{n}}\mathbf{\ }\mathbf{\text{dS}}}}{\int_{\mathbf{S}}^{}{\mathbf{\rho}\mathbf{\ }\mathbf{\text{dS}}}}$

9) Odkształcenie dwuwymiarowe (liniowe i postaciowe):

Prędkość ruchu: u = iu + jv.

Odkształcenie liniowe elementu płynu: składowa prędkości u zmienia sie w kierunku x ,a składowa v w kierunku y. Prowadzi to do przyrostu objętości elementu w czasie dt o wartość (du/dx + dv/dy)dxdydt. Miara prędkości: εxx = du/dx; εyy = dv/dy.

Odkształcenie postaciowe: składowa prędkości u zmienia sie w kierunku y, a składowa v w kierunku x. Prowadzi to do obrotu ścianek elementu płynu o kąty: dα = (dv/dx)dt; dβ=(du/dy)dt.

Miara prędkości: εxy = ½ (du/dy + dv/dx)

Sztywny obrót elementu płynu - suma dwóch odkształceń postaciowych, gdy kąty pomiędzy bokami elementu pozostają proste. Prędkość kątową : Ωz = ½ (dv/dx – du/dy).
10) Odkształcenie trójwymiarowe i prędkość deformacji:

Prędkość ruchu: u = iu + jv + kw.

Element płynu wykonuje ruch ogólny złożony z translacji prędkości u0, obrotu względem bieguna O i deformacji. Na ich skutek ulega zmianie wektor δr łączący punkt A z biegunem. W ogólnym przypadku wektor ten doznaje obrotu i zmiany długości. Można zapisać: d(dr) = (u(A) – u(0)) dt. Różnice prędkości między A i O można rozwinąć w szereg Taylora du= u(a) – u(0) = ∇*u(0)*dr. (mała odległość między A i O).
11) Przepływy wirowe:

Przepływ wirowy, gdy wszędzie (prawie) rotacja pola jest różna od zera. Wtedy każdemu (prawie) punktowi przestrzeni można przypisać wektor wirowości: Ω = rotu = 2ω.
12) Linie wirowe:

Linie wirowe - linie pola wektorowego wirowości, czyli linie styczne w każdym punkcie pola do wektorów wirowości. Równanie linii wirowej: dx/Ωx = dy/Ωy = dz/Ωz

13) Cyrkulacja wektora prędkości i twierdzenie Stokes’a:

Cyrkulacja wektora prędkości:

W poruszającym się płynie rozpatrujemy odcinek krzywej C, nie będącej linią prądu. Każdy element płynu znajdujący się na nim ma prędkość v. Cyrkulacja wektora prędkości wzdłuż łuku AB krzywej C to: ΓAB=∫_A^Bv ds , ds - skierowany element łuku AB, gdzie α – kąt między wektorem prędkości v, a styczną do odcinka AB w danym punkcie. W przypadku całki krzywoliniowej: ΓAB= ∮v ds. Całka dodatnia – ruch zgodnie z kierunkiem całkowania, całka ujemna – przeciwnie.

Twierdzenie Stokes’a:

Cyrkulacja prędkości wzdłuż dowolnego konturu C jest równa strumieniowi wirowości przez dowolną powierzchnię objętą tym konturem Γ = ∫_Srot(u) dS, Twierdzenie: Cyrkulacja prędkości wzdłuż zewnętrznej linii konturowej równa się sumie cyrkulacji wzdłuż zewnętrznych boków konturów składowych.

14) Potencjał prędkości:

Warunki przepływu potencjalnego powodują istnienie pewnej funkcji Φ(x,y,z) lub Φ(x,y,z,t) dla przepływów nieustalonych, takiej, że u=dΦ/dx; v=dΦ/y; w=dΦ/dz; v=grad Φ , gdzie Φ - potencjał prędkości. Jeżeli pole jest bezźródłowe to potencjał prędkości spełnia równanie Laplace’a:

∆^2 * Φ = ∇ Φ = 0
15) Źródło i upust:

Punkt w przestrzeni, z którego stale wypływa lub do którego stale wpływa płyn. Dla źródła strumień objętości wynosi q(v), a dla upustu (-q(v)).Prędkość cząstek na powierzchni kuli o promieniu r:

v = q(v)/4*pi*r^2.

16) Strumień wirowości:

Strumieniem wirowości nazywa się strumień wektora wirowości przechodzący przez powierzchnie A. Elementarny strumień wirowości:

∫_AΩn dA =  ∫_VdivΩ dV

17) Twierdzenie Thompsona:

W przepływie idealnego płynu barotropowego znajdującego sie pod działaniem potencjalnego pola sił masowych cyrkulacja predkosci wzdłuż dowolnej zamkniętej linii nie zmienia się w czasie.
18) II twierdzenie Helmholtza:

II Twierdzenie Helmholtza:

Strumień wirowości w cieczy doskonałej zachowuje niezmienną wartość wzdłuż całej długości strugi wirowej. W przepływie idealnego płynu barotropowego znajdującego się pod działaniem potencjalnego pola sił masowych natężenie włókna wirowego nie zmienia się wzdłuż jego długości i jest stałe w czasie: div(rotv) = 0.

Wnioski

- Włókno wirowe nie może zanikać ani powstawać w plynie,

- Włókno wirowe może tworzyć krzywą zamkniętą,

- Włókno wirowe może się kończyć na swobodnej powierzchni lub na scianach sztywnych,

- W ruchu wirowym biorą udział cały czas te same elementy płynu.

19) Wzór Biota Savarta:

W praktycznym modelowaniu przepływ można podzielić na obszar o ruchu wirowym i obszar o ruchu bezwirowym. Oba te obszary są wzajemnie współzależne. Obszar o ruchu wirowym może być modelowany włóknami wirowymi. Istotne staje się wtedy wyznaczanie pola prędkości, czyli operacja odwrotna do obliczania rotacji pola prędkości.

$$\text{dV} = \ \frac{\Gamma}{4\text{pi}}*\frac{\text{ds}\ \times r}{r\hat{}3}$$

20) Jednowymiarowa objętość kontrolna:

Jeżeli przez B oznaczymy dowolną własność płynu (energię, pęd, itp.), a przez β = dB/dm – wartość właściwą w odniesieniu do jednostki masy, to całkowita wielkość B w odniesieniu do objętości kontrolnej wynosi:

B(CV) =  ∫_CVβρ dV

Wzór określający zmianę wielkości B w układzie w odniesieniu do objętości kontrolnej zawierającej dany układ:

$$\frac{\text{dB}\left( \text{uklad} \right)}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}*\left( \int_{\text{CV}}^{}{\text{βρ}\ \text{dV}} \right) + \ \left( \text{βρ}\ \text{Av} \right)\text{zew} - \ \left( \text{βρ}\ \text{Av} \right)\text{wew}$$

21) Jednowymiarowe twierdzenie Reynoldsa:

$$\frac{\text{dB}\left( \text{uklad} \right)}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}*\left( \int_{\text{CV}}^{}{\text{βρ}\ \text{dV}} \right) + \ \int_{\text{CV}}^{}{\text{βρ}\ \left( v*n \right)\ \text{dA}}$$

Jeżeli objętość kontrolna porusza się z pewną prędkością v(s), to obserwator, który znajduje się w niej będzie widział prędkość płynu wpływającego do objętości jako v(r) : v(r) = v-v(s)

22) Prawo Hagena-Poiseuille'a:

Opisuje zależność między strumieniem objętości cieczy, a jej lepkością, gradientem ciśnień i wielkościami opisującymi naczynie. Strumień objętości jest proporcjonalny do gradientu ciśnienia wzdłuż przewodu.