Analityczny warunek równowagi (metoda analityczna) płaskiego układu sił zbieżnych (czynnych i reakcji więzów) brzmi następująco: aby siły zbieżne leżące w jednej płaszczyźnie były w równowadze, sumy rzutów tych sił na osie układu współrzędnych muszą być równe zeru

Płaski układ sił zbieżnych P₁, P₂,..., P_n przyłożonych do punktu O można zastąpić siłą wypadkową P równą sumie geometrycznej tych sił i przyłożoną również w punkcie O.

Przestrzenny układ sił zbieżnych P₁, P₂,..., P_n przyłożonych do punktu O można zastąpić siłą wypadkową P równą sumie geometrycznej tych sił i przyłożoną również w punkcie O

     

Analityczny warunek równowagi (metoda analityczna) przestrzennego układu sił zbieżnych sprowadza się do trzech równań rzutów sił na dowolne trzy nierównoległe do jednej płaszczyzny osie. Po przyjęciu rzutowania na osie prostokątnego układu współrzędnych Oxyz otrzymamy następujące równania równowagi

Dowolny układ sił, działających na ciało sztywne, o liniach działania leżących w jednej płaszczyźnie możemy zastąpić wektorem głównym R, przyłożonym do dowolnie wybranego środka redukcji O oraz momentem głównym M_o względem środka redukcji O. Wektor główny R jest równy sumie geometrycznej wszystkich sił układu

Parą sił nazywamy układ dwóch sił równej wartości i równoległych (o jednakowych kierunkach), lecz o przeciwnych zwrotach.
Iloczyn wartości jednej z sił i ramienia pary nazywamy momentem pary sił.

Dowolny przestrzenny układ sił działających na ciało sztywne możemy zastąpić wektorem głównym R, przyłożonym do dowolnie wybranego środka redukcji O, równym sumie geometrycznej wszystkich sił układu oraz momentem głównym M_o, równym sumie geometrycznej momentów tych sił względem środka redukcji.

Przestrzenny układ  sił jest w równowadze, jeżeli  sumy rzutów wszystkich sił na trzy osie układu równe są zeru i sumy momentów wszystkich sił względem trzech osi układu są równe zeru.

Układy prętowe dzielimy na kratownice i układy ramowe. W kratownicach wszystkie pręty połączone

są przegubowo, przy czym zakładamy, że siły zewnętrzne i ciężar własny przykładamy jedynie w węzłach,

przez co w poszczególnych prętach mamy do czynienia jedynie z siłami osiowymi (ściskającymi lub

rozciągającymi). Założenie połączeń przegubowych jest idealizacją ponieważ oznacza, że końce prętów mogą

obracać się względem siebie podczas, gdy w rzeczywistości połączone są ze sobą śrubami lub nitami. W teorii

kratownic zakładamy również prostoliniowość i nieważkość prętów. Ramy natomiast składają się z prętów

prostoliniowych lub zakrzywionych. Przenoszą one momenty zginające, siły podłużne i poprzeczne, a

obciążenie zewnętrzne może być przyłożone w dowolnym punkcie układu.

główne osie bezwładnosci figury płaskiej w dowolnym punkcie to dwie prostopadłe osie

wzgledem których jej moment dewiacji jest równy zero a momenty bezwładnosci sa

ekstremalne (główne momenty bezwładnosci).

Osie centralne figury płaskiej to osie wzgledem których jej momenty statyczne sa równe zero.

Dwója zerowa – dwie siły przyłożone do ciała sztywnego lub punktu materialnego, działające wzdłuż tej samej prostej o równych watościach liczbowych i przeciwnych zwrotach.

Więzy – są to połączenia które ograniczają swobodę brył nieswobodnych tzn. takich które nie mogą zajmować dowolnego miejsca w przestrzeni z innymi bryłami.

Zbieżny układ sił – to układ w którym proste działania sił przecinają się w jednym punkcie. Taki układ sił można zastąpić jedną siłą wypadkową.

Dowolny układ sił – to układ w którym proste działania sił są dowolnie położone względem siebie, tzn. nie przecinają się w jednym punkcie. Taki układ sił można zastąpić jedną siłą wypadkową i wypadkowym momentem siły.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi płaskiego zbierznego układu sił jest to, aby wektor główny był równy zeru.

Trzy siły są w równowadze, jeżeli ich proste działania przecinają się w jednym punkcie, leżą w jednej płaszczyźnie a trójkąt sił jest trójkątem zamkniętym.

Zbieżny układ sił możemy zastąpić jedną siłą, gdy suma geometryczna sił P jest różna od zera, układ par sił można zastąpić jedną parą o momencie równym algebraicznej sumie momentów par sił układu.

Warunkiem koniecznym i dostatecznym równowagi płaskiego dowolnego układu sił jest, aby sumy algebraiczne rzutów wszystkich sił na każdą z dwóch nierównoległych osi równały się zeru i suma momentów wszystkich sił względem dowolnie obranego bieguna na płaszczyźnie działania tych sił była równa zeru.

Rozbieżny układ siła możemy zastąpić jedną parą sił której moment równy jest geometrycznej sumie par sił składowych. Momenty tych par sił są równe momentom sił zaczepionych w punktach względem przyjętego bieguna redukcji.

Warunkiem koniecznym i dostatecznym równowagi przestrzennego dowolnego układu sił jest, aby algebraiczne sumy rzutów wszystkich sił na trzy osie prostokątnego układu odniesienia były równe zeru oraz aby algebraiczne sumy momentów wszystkich Si k względem tych trzech osi były równe zeru.

Tarcie potoczyste – powstaje przy usiłowaniu przetoczenia walna o ciężarze G po poziomej płaszczyźnie.

Układ inercjalny (inaczej inercyjny) – układ odniesienia, względem którego każde ciało, niepodlegające zewnętrznemu oddziaływaniu z innymi ciałami, porusza się bez przyspieszenia (tzn. ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku).

III zasada dynamiki - Oddziaływania ciał są zawsze wzajemne. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał mają takie same wartości, taki sam kierunek, przeciwne zwroty i różne punkty przyłożenia (każda działa na inne ciało).

Twierdzenie Steinera (dewiacja) Moment dewiacyjny figury płaskiej względem osi równolegle przesuniętych jest równy momentowi dewiacyjnemu względem osi centralnych, powiększonemu o iloczyn powierzchni i obu składowych równoległego przesunięcia. Moment może być dodatni, ujemny lub równy zeru.

Płaski dowolny układ sił znajduje się w równowadze, jeżeli sumy rzutów wszystkich sił na osie układu są  równe zeru i moment wszystkich sił względem dowolnego punktu O płaszczyzny działania sił jest równy zeru.

Warunki równowagi dowolnego układu sił:

1. Aby dowolny układ sił był w równowadze, warunkiem koniecznym i wystarczającym jest,

by suma sił i suma momentów względem dowolnego punktu były równe zeru.

2. Aby dowolny układ sił był w równowadze, sumy rzutów wszystkich sił na trzy osie

układu współrzędnych oraz sumy momentów wszystkich sił względem tych osi muszą być

równe zeru.

Warunki równowagi płaskiego układu sił:

1. Aby płaski dowolny układ sił był w równowadze, sumy rzutów wszystkich sił na dwie

osie układu współrzędnych i suma momentów tych sił względem dowolnego punktu

płaszczyzny działania sił muszą być równe zeru.

2. Płaski układ sił jest w równowadze, jeŜeli sumy momentów wszystkich sił względem

trzech punktów nie leŜących na jednej prostej są równe zeru.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu materialnego jest aby suma prac przygotowanych wszystkich sił czynnych i reakcji więzów przy dowolnym przesunięciu przygotowanym układu była równa zeru.

Równoważne układy sił

Dwa układy sił są równoważne wtedy,

gdy zastąpienie jednego układu,

działającego na ciało sztywne, przez

drugi układ sił nie wywoła zmiany

ruchu,

Układ sił nazywamy płaskim, jeżeli kierunki

wszystkich sił tego układu położone są w jednej

płaszczyźnie.

Układ sił zbieżnych

Kierunki sił leżących w jednej płaszczyźnie przecinają się w jednym

punkcie.

Punkt przecięcia się kierunków sił nazywa się punktem zbieżności.

Układ można zredukować do siły wypadkowej W przyłożonej w

punkcie zbieżności.

Równoważne układy sił to układy, które wywierają jednakowe działania na ciało sztywne.

1. Układy statycznie wyznaczalne - są to układy, dla których z równań równowagi można jednoznacznie wyznaczyć siły reakcji. Dla takiego układu liczba reakcji jest równa liczbie niezależnych równań równowagi, oraz liczba stopni swobody, która zapewnia geometryczną niezmienność układu jest równa zeru.

2. Układy statycznie niewyznaczalne - są to układy, dla których z równań równowagi otrzymuje się nieskończenie wiele rozwiązań na siły reakcji. W takim przypadku liczba reakcji jest większa od liczby niezależnych równań równowagi, oraz liczba stopni swobody układu jest równa zeru.

Tarciem potoczystym nazywamy tarcie pomiędzy toczącym się kołem (walcem) a płaskim podłożem, po którym koło się toczy. w rezultacie niewielkich odkształceń obu stykających się powierzchni pojawia się siła tarcia która przeciwstawia się temu ruchowi.

Momentem statycznym figury płaskiej względem dowolnej osi nazywamy sumę iloczynów powierzchni pól częściowych A_i i ich odległości r_i od tej osi, lub prościej iloczyn pola powierzchni A tej figury i odległości r₀ środka ciężkości figury od tej osi.

Punkty charakterystyczne sa to:

- początek i koniec pręta

- punkty przyłożenia więzów,

- punkty przyłożenia sił i momentów skupionych,

- punkty stanowiące początek i koniec obciążenia ciągłego

- punkty w których łączą się pręty o różnych krzywiznach,

- więzy skleronomiczne lub stacjonarne, są to takie więzy, że jeżeli nałożone na punkt materialny więzy geometryczne lub kinematyczne nie zależą jawnie od czasu, to znaczy nie zmieniają swego kształtu i swego położenia w przestrzeni.