ĆWICZENIE NUMER 2

OBLICZENIE KONSTRUKCJI MUROWEJ NIEZBROJONEJ WG MODELU CIĄGŁEGO

Schemat budynku przyjęty do obliczeń wybranych fragmentów ściany przedstawiono na załączonym rysunku. Budynek 3 kondygnacyjny, ma poprzeczny układ stropów o rozpiętości 6 m. Dach płaski o spadku 5% kryty papą. Okna o ścianach podłużnych szerokości 0,9 m. Filarek międzyokienny na kondygnacji pierwszej jest obciążony głównie pionowo. Szerokość pasma obliczeniowego wynosi b = 2,4 m. Filarek jest podparty u góry i u dołu.

Dane geometryczne i materiałowe:

- grubość ściany t = 0,24 m

- wysokość ściany w świetle stropów k = 2,5 m

- klasa bloczków 10 MPa

- klasa zaprawy 5 MPa

- częściowy współczynnik bezpieczeństwa γm = 1,7

- cecha sprężystości muru αc ͚ = 700

Zestawienie obciążeń jednostkowych:

- Stropodach wentylowany

Obciążenia stałe

Warstwa	Obciążenie charakterystyczne	Współczynnik obliczeniowy	Obciążenie obliczeniowe
Papa potrójnie	0,20 kN/m2	1,3	0,26 kN/m2
Gładź cementowa 1,5cm:0,015mx21,0kN/m3	0,32 kN/m2	1,3	0,41 kN/m2
Płyty korytkowe	0,87 kN/m2	1,1	0,96 kN/m2
Ścianki ażurowe (śr. 0,8 m) co 3,0 m 0,12m x 0,8m x 0,66 x 14,0kN/m3	0,30 kN/m2	1,1	0,33 kN/m2
Styropian gr. 10 cm 0,1m x 0,45 kN/m3	0,045 kN/m2	1,3	0,06 kN/m2
Strop FERT– 45 [2,95kN/m2]	2,95 kN/m2	1,1	3,25 kN/m2
Tynk cementowo -wapienny 0,015m x 9,0kN/m3	0,29 kN/m2	1,3	0,37 kN/m2
RAZEM:	4,98 kN/m2		5,64 kN/m2

Obliczeniowe obciążenie zmienne (śnieg) 0,78 kN/m2

- Strop

Obciążenie stałe

Warstwa	Obciążenie charakterystyczne	Współczynnik obliczeniowy	Obciążenie obliczeniowe
Parkiet	0,17 kN/m2	1,3	0,22 kN/m2
Zaprawa cementowa zbrojona siatką 0,04m x 24,0kN/m3	0,96 kN/m2	1,3	1,25 kN/m2
Strop FERT – 45 [2,95kN/m2]	2,95 kN/m2	1,1	3,25 kN/m2
Tynk cementowo – wapienny 0,015m x 19,0 kN/m3	0,29 kN/m2	1,3	0,37 kN/m2
RAZEM	4,37 kN/m2		5,09 kN/m2

Obciążenie zmienne

Rodzaj	Obciążenie charakterystyczne	Współczynnik obliczeniowy	Obciążenie obliczeniowe
Zastępcze od ścian działowych	1,25 kN/m2	1,4	1,75 kN/m2
Technologiczne	1,50 kN/m2	1,4	2,10 kN/m2
RAZEM	2,75 kN/m2		3,85 kN/m2

Ściana zewnętrzna o grubości 0,24m z pustaków silikatowych

Warstwa	Obciążenie charakterystyczne	Współczynnik obliczeniowy	Obciążenie obliczeniowe
Mur 0,24m x 18 kN/m3	4,32 kN/m2	1,1	4,75 kN/m2
Styropian 0,1m x 0,45 kN/m3	0,045 kN/m2	1,3	0,06 kN/m2
Tynk cementowo – wapienny 0,015m x 2 x 19,0 kN/m3	0,57 kN/m2	1,3	0,74 kN/m2
RAZEM	4,94 kN/m2		5,55 kN/m2

- Wieniec żelbetowy

Warstwa	Obciążenie charakterystyczne	Współczynnik obliczeniowy	Obciążenie obliczeniowe
0,24m x 0,15m x 25 kN/m3	0,90 kN/m2	1,1	0,99 kN/m2

Obciążenie obliczeniowe poziome od ssania wiatru na ścianę zewnętrzną:

• I strefa obciążenia qk = 0,25 kN/m2

• teren typu C – zabudowany (przy wysokości istniejących budynków powyżej 10m, współczynnik ekspozycji przy wysokości budynku mniejszego od 30mCe = 0,7

współczynnik aerodynamiczny: C = -0,4 dla H/L < 2 ˄ B/L < 1

współczynnik działania porywów wiatru β = 1,8 (dla budowli niepodatnych)

współczynnik obciążenia γf = 1,3

Warstwa	Obciążenie charakterystyczne	Współczynnik obliczeniowy	Obciążenie obliczeniowe
wd = qkxCexCx β = 0,25x0,7x(-0,4)x1,8	-0,13 kN/m2	1,3	-0,16 kN/m2

Dane geometryczne:

- grubość muru t = 0,24m

- szerokość oddziaływania b = 2,4m

- szerokość filarka bl = 1,5m

- szerokość okna x = 0,9m

- wysokość okna y = 1,5m

- rozpiętość stropu w osiach l0 = 6,0m

- rozpiętość w świetle l = 6,0-0,24 = 5,76m

- wysokość kondygnacji w świetle h = 2,5m

- liczba kondygnacji powyżej n = 2

- wysokość budynku H = 8,5m

- szerokość budynku B = 12,0m

- długość budynku L = 20,0m

Dane materiałowe:

- wytrzymałość na ściskanie bloczków fb = 10 MPa

- wytrzymałość na ściskanie zaprawy fm = 5 MPa

Obciążenie pionowe z pasma o szerokości 2,4m:

- stropodach 5,64 kN/m2 x 2,4m x 5,76m/2 = 38,98 kN

- śnieg 0,78 kN/m2 x 2,4m(6,0m/2+0,24m/2+0,1m) = 6,03 kN

- stropy – obciążenie stałe 5,09 kN/m2 x 5,76m/2 x 2,4m = 35,18 kN

- stropy – obciążenie zmienne 3,85 kN/m2 x 5,76m/2 x 2,4m = 26,61 kN

- wieńce żelbetowe 2 x 0,99 kN/m2 x 2,4m = 4,75 kN

- ściany wyższych kondygnacji 2 x 5,55 kN/m2(2,5m x 2,4m – 0,9m x 1,5m) = 51,62 kN

RAZEM: 163,32 kN

Obciążenie od stropu nad parterem:

- obciążenie stałe 5,09 kN/m2 x 5,76m/2 x 2,4m = 35,18 kN

- obciążenie zmienne 3,85 kN/m2 x 5,76m/2 x 2,4m = 26,61 kN

RAZEM: 61,80 kN

Ciężar ściany parteru:

- nad stropem 5,55 kN/m2(2,5m x 2,4m – 0,9m x 1,5m) = 25,58 kN

- w połowie wysokości ściany 5,55 kN/m2(2,5m x 2,4m – 0,9m x 1,5m)/2 = 12,79 kN

- obciążenie poziome od wiatru -0,16 kN/m2 x 2,4m = -0,38 kN/m

Całkowite obciążenie w połowie wysokości ściany:

Nmd = 163,32kN + 61,80kN + 12,79kN = 237,91 kN

Ze względu na sztywne połączenie stropu ze ścianą obciążenie z wyższych kondygnacji i ze stropu działają jako jedna siła przekazywana w środku ciężkości wieńca.

Siły działające pod stropem wyższej kondygnacji:

N1d = 163,32 kN + 61,80 kN = 225,12 kN

Siły działające nad stropem wyższej kondygnacji:

N2d = 163,32 kN + 61,80 kN + 25,58 kN= 250,70 kN

Nmd = 237,91 kN

N1d = 225,12 kN

N2d = 250, 70 kN

Wyznaczenie mimośrodów działania sił.

e_a=$\frac{h}{300}$

e_a=$\frac{2500\text{mm}}{300}$=8.3mm

Minimalna wartość mimośrodu przypadkowego wynosi 10mm.

e_a=8.3mm<0.01m ; przyjęto e_a=0.01m

wysokość kondygnacji (w osi stropów) w tym przypadku są jednakowe:

h₁=h₂=2.5m

L-rozpiętość osiowa stropu

L₃=6.0m

I-moment bezwładności wymiarowanego przekroju ściany (filarka) i stropu

I_I=I=$\frac{b_{1} \cdot h^{3}}{12}$

I_I=I₂=$\frac{b_{1} \cdot h^{3}}{12}$=0.001728m⁴

I₃=$\frac{b \cdot d^{3}}{12}$

I₃= $\frac{2.4m \cdot {(0.15m)}^{3}}{12}$=0.000675m⁴

E-doraźny moduł sprężystości muru i stropu,

α_c-cecha sprężystości muru,

f_k-wytrzymałość charakterystyczna muru na ściskanie

Wytrzymałość charakterystyczna muru na ściskanie (str.15 PN)

f_k=K ⋅ f ⋅ b^0.65 ⋅ f_m^0.25

K=0.5 (element grupy l )

f_k=0.5MPa^0.1 ⋅ (10MPa)^0.65 ⋅ (5MPa)_m^0.25=3.34MPa

Doraźne moduły sprężystości murów:

E₁=E₂=α_c ⋅ f_k

E₁=E₂=1000 ⋅ 3.34MPa=3340MPa

Moduł sprężystości stropu (beton klasy B25 korzystamy z tab.2 PN-B-03264 „Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężyste”):

E₃=29000MPa

Obciążenie rozłożone na stropie-łączne obciążenie stałe i zmienne

q_3d=q_s ⋅ b

q_3d=$(5.09 + 3.85)\frac{\text{kN}}{m^{2}} \cdot 2.4m$=21.46$\frac{\text{kN}}{m}$

Moment węzłowy od obciążenia stropu (rys. norma) w miejscu połączenia stropu ze ścianą:

M_o3=$\frac{q_{3d} \cdot L_{3}^{2}}{12}$

M_o3=$\frac{21.46\frac{\text{kN}}{m} \cdot {(6.0m)}^{2}}{12}$=64.38kNm

Moment w przekroju ściany pod stropem:

M_1d=$\frac{0.85 \cdot M_{03} \cdot (\frac{E_{1} \cdot I_{1}}{h_{1}})}{(\frac{E_{1} \cdot I_{1}}{h_{1}} + \frac{E_{2} \cdot I_{2}}{h_{2}} + \frac{E_{3} \cdot I_{3}}{L_{3}})}\frac{E_{1} \cdot I_{1}}{h_{1}}$=$\frac{E_{2} \cdot I_{2}}{h_{2}}$

M_1d=$\frac{0.85 \cdot 64.38\text{kNm} \cdot (\frac{3340\text{MPa} \cdot {0.001728m}^{4}}{2.5m})}{(\frac{2 \cdot 3340\text{MPa} \cdot {0.001728m}^{4}}{2.5m} + \frac{29000\text{MPa} \cdot {0.000675m}^{4}}{6})}$=16.54kNm

Ponieważ wymiary kondygnacji są powtarzalne, moment M_2dw przekroju ściany nad stropem niższej kondygnacji jest równy M_1d

M_2d=M_1d=16.54kNm

Moment od działania wiatru na ścianę zewnętrzną liczy się jak dla belki ciągłej ze wzoru:

$$M_{\text{wd}} = \frac{w_{d} \cdot h^{2}}{16}$$

$M_{\text{wd}} = \frac{0.38\frac{\text{kN}}{m} \cdot {(2.5)}^{2}}{16}$=0.148kNm

e₁,e₂-mimośrody działania obciążenia pionowego w przekroju ściany pod stropem wyższej kondygnacji (indeks 1 ) i nad stropem niższej kondygnacji (indeks 2), wyznacza się ze wzoru:

e₁=$\frac{M_{1d}}{N_{1d}} + \frac{M_{\text{wd}}}{N_{1d}} + e_{a}$

e₁=$\frac{16.54\text{kNm}}{225.12\text{kN}} + \frac{0.148\text{kNm}}{225.12\text{kN}} + 0.073 + 0.00065$=0.083m

e₂=$\frac{M_{2d}}{N_{2d}} + \frac{M_{\text{wd}}}{N_{2d}} + e_{a}$

e₂=$\frac{16.54\text{kNm}}{250.70\text{kN}} + \frac{0.148\text{kNm}}{250.70\text{kN}} + 0.01m$=0.077m

Minimalna wartość mimośrodu wynosi 5% grubości ściny (tylko części konstrukcyjnej)

0.05 ⋅ t=0.05 ⋅ 0.24m=0.012m

e₁=0.075m >0.05 ⋅ t=0.012m

e₂=0.076m >0.05 ⋅ t=0.012m

M_md=M_ml=$\frac{M_{\text{ld}}}{5}$

M_md=$\frac{16.54\text{kNm}}{5}$=3.31kNm

e_m- mimośród w środkowej strefie ściany:

e_m=$\frac{(M_{\text{md}} + M_{\text{wd}})}{N_{\text{md}}} + e_{a}$>0.05 ⋅ t

e_m=$\frac{(3.31\text{kNm} + 0.148\text{kNm})}{237.91\text{kN}} + 0.01m$=0.025m>0.012m

Model ciągły można stosować, jeżeli są spełnione warunki:

-szerokość wieńca jest równa szerokości ściany,

-strop posiada zbrojenie podporowe zdolne do przeniesienia momentu zamocowania stropu w ścianie,

-średnie naprężenia obliczeniowe ściany σ_cd>0.25MPa,

-mimośród działania obciążenia pionowego w przekroju ściany pod stropem e₁ ≤ 0.33 ⋅ t

Sprawdzenie warunków:

σ_cd= $\frac{N_{\text{md}}}{A}$=$\frac{238\text{kN}}{1.5m \cdot 0.24m}$=661.1kPa=0.66MPa>0.25MPa

e₁=0.075<0.33 ⋅ t=0.33 ⋅ 0.24m=0.0792m

Współczynnik redukcyjny nośności

Współczynniki redukcyjne Φ₁i Φ₂wyznaczone ze wzoru:

Φ₁= $\frac{1 - 2e_{1}}{t}$

Φ₁=$\frac{1 - 2 \cdot 0.083m}{0.24m}$=0.31

Φ₂=$\frac{1 - 2e_{2}}{t}$

Φ₂=$\frac{1 - 2 \cdot 0.077m}{0.24m}$=0.36

Φ_m- współczynnik redukcyjny nośności w środku wysokości ściany (tabl.16 PN). Do wyznaczenia współczynnika są potrzebne wartości:

$\frac{e_{m}}{t}$; α_c, ∞i h_eff

$\frac{e_{m}}{t}$=$\frac{0.024m}{0.24m}$=0.1

Dla murów wykonanych na zaprawie co najmniej 5MPa : α_c, ∞=700

Wysokość efektywna: h_eff=p_n ⋅ p_h ⋅ h

p_h-współczynnik zależny od przestrzennego usztywnienia budynku (tabl.17PN)

p_n- współczynnik zależny od liczby (n) krawędzi usztywnionych, filarek międzyokienny ma dwie krawędzie usztywnione- tj. krawędzie górną i dolną podpartą stropem- przyjmuj się więc wartość współczynnika p_n=0.75- jak dla modelu ciągłego

h_eff=1 ⋅ 0.75 ⋅ 2.5=1.875m

$\frac{h_{\text{eff}}}{t}$=$\frac{1.875m}{0.24m}$=7.8<25

Φ_m=0.74 (tabl.16PN)

Sprawdzenie nośności ściany:

f_k=3.34MPa

f_d=$\frac{f_{k}}{\gamma_{m}}$

f_d=$\frac{3.34}{1.7}$=1.96MPa

A-pole przekroju filarka; gdy jest mniejsze od 0.3m², należy zmniejszyć wartość f_d, dzieląc ją przez współczynnik η_A(tabl.14PN)

A=b₁ ⋅ t

A=1.5m ⋅ 0.24m=0.36m²>0.3m² więc η_A=1.0

N_1Rd=ϕ_i ⋅ f_d ⋅ A

N_1Rd=0.31 ⋅ 0.36m² ⋅ 1.96MPa=0.219MN

N_mRd=ϕ_m ⋅ f_d ⋅ A

N_mRd=0.74 ⋅ 0.36m² ⋅ 1.96MPa=0.522MN

N_2Rd=ϕ₂ ⋅ f_d ⋅ A

N_2Rd=0.36 ⋅ 0.36m² ⋅ 1.96MPa=0.254MN

N_1d=225.12kN=0.225MN

N_md=237.91kN=0.238MN

N_2d=250.70kN=0.251MN

N_1d=0.225MN>N_1Rd=0.219MN (przekroczenie o 27%)

N_md=0.238MN<N_mRd=0.522MN

N_2d=0.251MN<N_2Rd=0.254MN

Wszystkie warunki zostały spełnione, więc nośność filarka jest wystarczająca.