POLITECHNIKA POZNAŃSKA	PRZEMYSŁAW BIELECKI NORBERT GRUSZCZYŃSKI
Data wykonania 24.03.2010
Rok studiów I Semestr II	Wydział: FT Kierunek: ETI Grupa laboratoryjna: II
Temat: Wyznaczenie charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej przetwornika pomiarowego

1. Cel ćwiczenia

Wyznaczenie charakterystyki dynamicznej amplitudowo-częstotliwościowych

1. Wykaz sprzętu pomiarowego

Czujnik indukcyjny MDKa-D-3 VIS 430
Urządzenie BIMETR 1 o zakresie -500÷500µm

1. Opis przebiegu ćwiczenia

W ćwiczeniu należy wykonać pomiary sygnału wejściowego ze wzmacniacza dla różnych częstotliwości oraz wykreślić charakterystykę czułości

1. Zmierzenie w stanie ustalonym maksymalnych odchyleń wskazówek w prawą i lewą stronę, pamiętając o ustawieniach woltomierza

2. Ustalenie na generatorze pierwszej częstotliwości f₁=0,1[Hz]

3. Odczytać wskaźnik miernika (maksymalne i minimalne wychylenie)

4. Kolejno zwiększając częstotliwość o 0,1[Hz] aż do 2,2[Hz] odczytywać wskaźnik miernika

5. Obliczyć parametr wzorcowania

6. Wykonać obliczania a następnie przedstawić graficznie na charakterystykach amplitudowo częstotliwościowych czujnika

1. Schematy pomiarowe

X

1. Wzory i obliczenia

Zmierzono w stanie ustalonym odchylenie wskazówki: prawostronne q’_max = 210 µm i lewostronne q’_min= -260 µm. Stąd wartość amplitudy q_o= 470 µm. Następnie zwiększając stopniowo częstotliwość f_i odczytano wartości odchyleń w stanie dynamicznym q’_i,max i q’_i,min oraz obliczono kolejne amplitudy q_i= q’_{i max} – q’_{i min} Wyniki zamieszczono w poniższej tabeli:

Lp.	fi [Hz]	qmin [μm]	qmax [μm]	qi [μm]	Xi [1/s^2]	Yi
1	0,1	-240	210	450	0,3948	1,091
2	0,2	-250	220	470	1,5791	1,000
3	0,3	-260	240	500	3,5531	0,884
4	0,4	-265	245	510	6,3165	0,849
5	0,5	-285	260	545	9,8696	0,744
6	0,6	-290	265	555	14,2122	0,717
7	0,7	-300	280	580	19,3444	0,657
8	0,8	-305	300	605	25,2662	0,604
9	0,9	-280	290	570	31,9775	0,680
10	1	-260	245	505	39,4784	0,866
11	1,1	-240	220	460	47,7689	1,044
12	1,2	-200	190	390	56,8489	1,452
13	1,3	-165	140	305	66,7185	2,375
14	1,4	-140	120	260	77,3777	3,268
15	1,5	-125	100	225	88,8264	4,363
16	1,6	-100	85	185	101,0647	6,454
17	1,7	-95	65	160	114,0926	8,629
18	1,8	-80	60	140	127,9101	11,270
19	1,9	-65	45	110	142,5171	18,256
20	2	-60	40	100	157,9137	22,090
21	2,1	-55	40	95	174,0992	24,476
22	2,2	-45	35	80	191,0755	34,516

gdzie: q_i= q’_imax –q’_imin X_i=ω² $Y_{i} = \frac{\left( q_{0} \right)^{2}}{\left( q_{i} \right)^{2}}$

Amplitudę drgań przetwornika drugiego rzędu w funkcji pulsacji opisuje zależność:

$$q_{i} = \frac{\omega_{0}^{2\ }q_{0}}{\sqrt{(\omega_{0}^{2\ } - \omega^{2})^{2} + 4p^{2}\omega^{2}}}\ $$

gdzie ω₀ – pulsacja drgań swobodnych, ω – pulsacja wymuszenia, p – współczynnik tłumieni.

Następnie przekształcamy do postaci:

$$\frac{1}{\omega_{0}^{4}}\omega^{4} + \frac{4p - 2\omega_{0}^{2}}{\omega_{0}^{4}}\omega^{2} + 1 = \frac{{q_{i}}^{2}}{q_{0}(\omega)^{2}}$$

I po zastosowaniu podstawień:

X_i =  ω_i²,            $Y_{i} = \frac{q_{i}}{X_{0}(\omega)^{2}}$ , $a_{1} = \ \frac{4p^{2} - 2\omega_{0}^{2}}{\omega_{0}^{4}}$, $a_{2} = \frac{1}{\omega_{0}^{4}}$

Otrzymujemy:

Y_i =  a₂X_i² + a₁X_i + 1

Wartości współczynników a₁, a₂ obliczamy metodą najmniejszych kwadratów dla n=22 wartości pomiarowych.

Warunek MNK ma postać:

$$e = \sum_{i = 1}^{n}{(Y_{i} - a_{2}X_{i}^{2} + a_{1}X_{i} + 1)^{2}} = \min$$

W wyniku różniczkowania zmiennej e względem współczynników a₁ i a₂ otrzymujemy układ równań

$$a_{1\ }\ \sum_{i = 1}^{22}X_{1}^{2} + a_{2}\sum_{i = 1}^{22}X_{i}^{3} = \sum_{i = 1}^{22}{X_{i}Y_{i}} - \sum_{i = 1}^{22}X_{i}$$

$$a_{1\ }\sum_{i = 1}^{22}X_{i}^{3} + a_{2}\sum_{i = 1}^{22}X_{i}^{4} = \sum_{i = 1}^{22}{X_{i}^{2}Y_{i}} - \sum_{i = 1}^{22}X_{i}^{2}$$

Gdzie wartości sum są następujące:

$$\sum_{}^{}{X_{i} = 1,49821*10^{3}}\text{\ \ \ \ \ }\sum_{}^{}X_{i}^{2} = 1,7945139*10^{5}\text{\ \ \ \ }\sum_{}^{}{X_{i}Y_{i}} = 2.191656498*10^{5}$$

$$\sum_{}^{}X_{i}^{3} = 2,5571527*10^{7}\text{\ \ \ \ \ \ \ }\sum_{}^{}X_{i}^{4} = 3,965190945*10^{9}\text{\ \ \ \ \ \ }\sum_{}^{}{X_{i}^{2}Y_{i}} = \ 2.625104658*10^{7}$$

Po podstawieniu wartość do wzoru otrzymujemy:

a₁  1, 7945139 * 10⁵ + a₂2, 5571527 * 10⁷ = 2, 191656498 * 10⁵ − 1, 49821 * 10³

a₁ 2, 5571527 * 10⁷ + a₂3, 965190945 * 10⁹ = 2, 625104658 * 10⁷ − 1, 7945139 * 10⁵

Następnie dokonując obliczeń w programie Excel otrzymujemy

a₁= -0,04276846638

a₂ = 0,001259955985

Następnie obliczamy:

ω₀ −  czestotliwosc wlasna toru pomiarowego

p − wsplczynik tlumienia

ζ  − tlumienie wzgledne

k – pulsacja graniczna (częstotliwość graniczna)

$\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt[4]{a_{2}}}$ $\omega_{0} = \ a_{2}^{- \frac{1}{4}} = {0,001259955985}^{- \frac{1}{4}}\ \approx \ $5,307758525

$f_{0\ } = \frac{\omega_{0}}{2\pi} = \ \frac{5,307758525}{6,28} \approx 0,8451844785$

$p = 0,5\sqrt{\frac{a_{1} + 2\sqrt{a_{2}}}{a_{2}}} = 0,5\ \sqrt{\frac{- 0,04276846638 + 2\sqrt{0.001259}}{0.001259}} \approx 2,366210109$

$\zeta = \frac{p}{\omega_{0}} = \frac{2,366210109\ }{\ 5,307758525}\ \approx 0,44580214$

pulsacja graniczna dla k= 1,05

$$\omega_{1,05} = \omega_{0}\sqrt{\left( 1 - 2\zeta^{\ 2} \right) - \sqrt{\left( 1 - 2\zeta^{\ 2} \right)^{2} - \left( 1 - \frac{1}{k^{2}} \right)}} =$$

$$= 5,307758525\sqrt{\left( 1 - 2*{0,44580214}^{\ 2} \right) - \sqrt{\left( 1 - 2{*0,44580214}^{2} \right)^{2} - \left( 1 - \frac{1}{{1,05}^{2}} \right)}} =$$

$$= 5,307758525\sqrt{0602520903 - \sqrt{0,363031439 - 0,092970521}} =$$

ω_1, 05 ≈ 1, 528228

$$f_{1,05 =}\frac{1,528228}{2\pi} \approx 0,2433$$

f_1, 05 = 0, 24[Hz]

Stąd więc użyteczny zakres częstotliwości przetwarzanych przez przetwornik obejmuje przedział pulsacji (0-1,52228) 1/s lub (0-0,24)Hz

M_p −  szczyt rezonansowy

ω_r −  pulsacja rezonansowa szczytu

$$M_{p} = \frac{1}{2\zeta\sqrt{1 - \zeta^{2}}} = \frac{1}{2*0,44580214\sqrt{1 - {0,44580214}^{2}}} = \frac{1}{0,798103101304} \approx 1,25297$$

$\omega_{r} = \omega_{0}\sqrt{1 - 2\zeta^{2} =}$ 5,307758525$\sqrt{1 - {2*0,44580214}^{2}}$≈4,119999

1. Wnioski

Wraz ze wzrostem częstotliwości wzrasta wartość amplitudy aż do momentu dojścia do szczytu rezonansowego, po osiągnięciu tego szczytu wartość amplitudy maleje.