WIL		Zespół : I	Ocena:
Grupa: 111	Wyznaczanie naprężeń za pomocą tensometru oporowego	Numer ćwiczenia: 16	Data wykonania ćwiczenia:27.03.2011

1. Teoria

Tensometr oporowy jest elementem służącym do wyznaczania wydłużeń względnych ∆l/l występujących w elementach konstrukcji. Zmiany oporu elektrycznego tensometru pozwalają na obliczenie wydłużenia względnego ∆l/l , które jest proporcjonalne do naprężenia σ w odkształconym materiale:

$$\mathbf{\sigma = E}\frac{\mathbf{l}}{\mathbf{l}}$$

gdzie E jest modułem Younga.

Najczęściej spotykaną postacią tensometru oporowego jest drucik metalowy (2r=0,025 mm) wklejony między dwa cienkie paski papieru. Jego opór wynosi zazwyczaj około 100Ω. Tensometr naklejamy klejem acetonowym na oszlifowaną i oczyszczoną powierzchnię badanego elementu i suszymy około doby. Poddajemy następnie materiał deformacji, np. rozciąganiu w kierunku włukien tensometru: druciki ulegają wydłużeniu, ich opór elektryczny się zmienia.

Ze wzoru:

$$\mathbf{R = \rho}\frac{\mathbf{l}}{\mathbf{s}}$$

na opór drutu widać, że na zmianę oporu tensometru składają się: zmiana długości drutu oporowego , zmiana pola przekroju i zmiana oporu właściwego odkształconego drucika. Doświadczenie mówi, że stosunek:

$$\frac{\mathbf{R}}{\mathbf{R}}\mathbf{\ :\ }\frac{\mathbf{l}}{\mathbf{l}}\mathbf{= k}$$

jest dla danego tensometru wielkością stałą, zależną od materiału tensometru.

1. Metoda pomiaru
   Dla znalezienia wydłużenia względnego należy wyznaczyć . Do pomiaru oporu stosujemy obwód elektryczny zwany mostkiem Wheatstone’a. W jedną gałąź mostka włączamy tensometr czynny R₁, drugą, jako opór znany taki sam tensometr, przyklejony takim samym klejem na takim samym podłożu, tzw. Tensometr kompensacyjny R₂. Postępowanie to ma na celu:

• wyeliminowanie wpływu temperatury na opór tensometru, wpływu na ogół silniejszego niż wpływ naprężeń mechanicznych,

• wyeliminowanie zmiany oporu tensometru spowodowanej skurczem kleju.

Tensometr czynny (jego opór R₁) przyklejony jest do płaskownika, w którym będziemy badać naprężenie. Zaczynamy pomiar, gdy płaskownik spoczywa na stole – jest nie obciążony. Poddajemy następnie materiał odkształceniu. W tym celu mocujemy go w uchwycie. Ponieważ zmienia się opór tensometru przyklejonego do odkształconego płaskownika o , równowaga mostka zostaje zakłócona i pojawia się prąd płynący przez galwanometr.

Aby ponownie uzyskać równowagę, przesuwamy styk w nowe położenie . Przy jest spełniona proporcja:

$$\frac{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{4}}\mathbf{-}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}$$

gdzie R₃ oznacza opór odcinka drutu oporowego o długości: . Łatwo go obliczyć ze wzoru:

$$\mathbf{R}\mathbf{=}\mathbf{\rho}\frac{\mathbf{l}}{\mathbf{s}}$$

mając opór całkowity drutu i jego długość (L=1000 mm)

$$\mathbf{}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{R}_{\mathbf{5}}\mathbf{*}\frac{\mathbf{}\mathbf{x}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{L}}$$

Przy założeniu, że: R₁= R₂, zaś : R₃ = R₄ = R₀ + 0,5 R₅, równanie nasze przybierze postać:

$$\frac{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}$$

Pamiętając, że ΔR₃ << R₃, i zaniedbując wyrazy z ΔR₃², przekształcamy nasze równanie do postaci:

$$\mathbf{1}\mathbf{+}\frac{\mathbf{}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{+}\frac{\mathbf{}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}$$

stąd:

$$\frac{\mathbf{}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}\mathbf{}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}$$

Ze wzoru:

$$\frac{\mathbf{R}}{\mathbf{R}}\mathbf{\ :\ }\frac{\mathbf{l}}{\mathbf{l}}\mathbf{= k}$$

wynika, że wydłużenie względne tensometru czynnego jest równe:

$$\frac{\mathbf{l}}{\mathbf{l}}\mathbf{=}\frac{\frac{\mathbf{R}}{\mathbf{R}}}{\mathbf{k}}$$

Podstawiając do wzoru:

$$\mathbf{\sigma = E}\frac{\mathbf{l}}{\mathbf{l}}$$

$$\mathbf{}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{R}_{\mathbf{5}}\mathbf{*}\frac{\mathbf{}\mathbf{x}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{L}}$$

i

$$\frac{\mathbf{}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}\mathbf{}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}$$

i

dostajemy ostateczny wzór na naprężenie mierzone tensometrem:

$$\sigma = \frac{2R_{3}}{R_{3}}*\frac{E}{k}$$

1. Wykonanie ćwiczenia i opracowanie wyników:

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie naprężenia σ w oznaczonym miejscu zginanego płaskownika stalowego.

Parametry tensometru:

1. stała tensometru: k = 2,15

2. opór boczny: R₀ = 100 Ω

3. opór drutu: R₅ = 0,20 Ω

5. Moduł Younga:

6. Długość drutu oporowego: L = 1 m

7. Początkowe położenie styku: x₀ = 0, 429 m 

r m	xi m	Δ xi = | xi – x0 | m	σ N/m^2
obciążenie własne belki	0,368	0,061	2, 379 * 10^7
0,2	0,348	0,081	3, 159 * 10^7
0,3	0,336	0,093	3, 627 * 10^7
0,4	0,326	0,103	4, 017 * 10^7
0,5	0,315	0,114	4, 446 * 10^7
0,6	0,305	0,124	4, 836 * 10^7
0,7	0,294	0,135	5, 265 * 10^7
0,8	0,284	0,145	5, 655 * 10^7

Naprężenia zostały wyliczone ze wzoru:$\ \sigma = \frac{2R_{3}}{R_{3}}*\frac{E}{k}$ w którym ΔR₃ dane jest wyrażeniem

$R_{3} = R_{5}*\frac{x_{i}}{L}\ $, a R₃ = R₄ = R₀ + 0, 5R₅, wiec ostatecznie:

$$\sigma = \frac{2R_{3}}{R_{3}}*\frac{E}{k} = \frac{2E}{k}*\frac{R_{5}}{\left( R_{0} + 0,5R_{5} \right)L}*x_{i} = C*x_{i}$$

$$C = \frac{2E}{k}*\frac{R_{5}}{\left( R_{0} + 0,5R_{5} \right)L} = \frac{2*2,1*10^{11}\frac{N}{m^{2}}}{2,15}*\frac{0,20\mathrm{\Omega}}{\left( 100 + 0,5*0,20 \right)\mathrm{\Omega}*1m} = 1,95*10^{11}\frac{N}{m^{2}}*0,0020\frac{1}{m} = 0,39*10^{9}\frac{N}{m^{3}}$$

$$\mathbf{C}\mathbf{=}\mathbf{0,39*}\mathbf{10}^{\mathbf{9}}\frac{\mathbf{N}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$$

Obliczam niepewność maksymalną σ dla jednego pomiaru (np. dla obciążenia własnego belki):

σ_max = |0,39*10⁹*0,0005| + |−0,39*10⁹*0,0005| = 195000 + 195000 = 390000 = 0, 039 * 10⁷ ∖ n