1. Równania Maxwella jako podstawa matematycznego opisu fal elektromagnetycznych

Podstawę matematycznego opisu wszelkich zjawisk promieniowania i fal elektromagnetycznych w materii stanowią równania sformułowane przez Maxwella w 1864 roku.

Światło to fala elektromagnetyczna, której długość zawiera się w przedziale od 400 do 800 nm i jest widzialna dla oka ludzkiego.

Fale elektromagnetyczne – to rozchodząca się w przestrzeni i w czasie spójna zmiana pola elektrycznego i magnetycznego. Pole elektryczne i magnetyczne zmieniają się okresowo w czasie.

Zmienne pole magnetyczne powoduje powstanie wirowego pola elektrycznego oraz zmienne pole elektryczne powoduje powstanie wirowego pola magnetycznego, co pokazują nam równania Maxwella. Wynika z tego, że pole elektryczne i magnetyczne są ściśle ze sobą powiązane.

Z równam Maxwella wynika też wniosek, że wektory fali elektromagnetycznej są zawsze wzajemnie prostopadłe. Poza tym, leżą one w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali, to znaczy do wektora v prędkości fali. Stąd wniosek, że fale elektromagnetyczne są falami poprzecznymi.

Promieniowanie elektromagnetyczne można opisać dwojako: jako falę i jako strumień fotonów, co było dużym posunięciem w nauce w tamtych czasach. Falę taką charakteryzuje: długość λ i częstość υ. Obie te wielkości są ze sobą związane zależnością:

Inny sposób opisu promieniowania elektromagnetycznego polega na traktowaniu go jako strumienia cząstek – fotonów, pozbawionych wprawdzie masy spoczynkowej, ale niosących ze sobą ściśle określoną energię E = h × ν, gdzie ν jest częstością a h stałą Plancka.

1. Model atomu według Bohra

Model atomu Bohra jest modelem klasycznym i wyjaśnia w prosty sposób powstawania widm emisyjnych. Zgodnie z tym modelem atom wodoru składa się z ciężkiego naładowanego jądra czyli protonu oraz ujemnie naładowanych elektronów krążących po kołowych orbitach o promieniu r. Proton i elektron przyciągają się wzajemnie siła Columbowską oraz siłą równoważącą odśrodkową, która powstrzymuje elektron przed uderzeniem w jądro atomu.

Elektron w atomie wodoru nie może przyjmować dozwolonych wartości energii. Występują tu tzw. poziomy energetyczne. W stanie podstawowym (n=1) okres życia atomu jest nieskończenie długi. W przypadku kiedy dostarczymy energie, atom znajdzie się w stanie wzbudzonym, która pozwoli elektronowi przejść na kolejny poziom energetyczny (n=2, n=3,itp.). Czas zycia atomu w stanie wzbudzonym jest niezmiernie krótki rzędu 10⁻⁸ - 10⁻⁹ s. Elektron przechodzi do stanu podstawowego emitując energię w postaci promieniowania elektromagnetycznego, przy czym energia promieniowania jest różnicą energii elektronu w stanach m i n:

E = hν =  E_m −  E_n

Długość fali emitowanego promieniowania zależy od tego z której orbity i na którą orbitę przeskakuje elektron.

Linie widmowe tworzą serie, w zależności od końcowego poziomu, na który przechodzi elektron.

W widmie atomu wodoru można wyróżnić nastepujące serie: Lymana, Balmera, Paschena, Bracketta, Pfund, Humphreys, które wykazuja swoją obecność w określonych poziomach energetycznych.

3. Rodzaje widm ze szczególnym uwzględnieniem widm liniowych.

Wszystkie ciała pobudzone do świecenia wysyłają promieniowanie elektromagnetyczne w zakresie widzialnym lub w podczerwieni i nadfiolecie. Widma takie nazywamy emisyjnymi.

Rodzaje widm możemy podzielić ze względu na:

1. Długość fali. Wyróżniamy fale: radiowe, mikrofale, podczerwień, widzialne, ultrafiolet, rentgenowskie oraz gamma. Które zawierają się w przedziale długości od 1m dla fal radiowych do ok. 5pm dla fal gamma.

2. Strukturę danych. Wyróżniamy następujące widma:

Widmo liniowe (seryjne) wysyłane przez pojedyncze atomy danego pierwiastka w stanie gazowym. Układają się one w charakterystyczne serie, które można wyodrębnić w poszczególnych przeplatających się liniach widmowych.

Widmo pasmowe, charakteryzuje cząsteczki związków chemicznych, a nie pojedyncze atomy. Widma pasmowe rozszczepione przez przyrządy o szczególnie dużej zdolności rozdzielczej rozpadają się na dużą ilość bardzo bliskich linii widmowych, ułożonych według innych praw niż linie w atomowych widmach seryjnych.

Widma ciągłe, obejmują wszystkie barwy światłą od czerwieni do fioletu, charakteryzują rozżarzone ciała stałe i ciekłe oraz gazy pod dużym ciśnieniem. Rozkład natężeń zależy od rodzaju ciała i jego temperatury; im ona jest wyższa tym bardziej maksimum natężenia w widmie przesuwa się w stronę fal krótkich.

Widmo emisyjne jest widmem promieniowania jakie wysyłają atomy wzbudzone do wyższych poziomów energetycznych. Widmo absorpcyjne otrzymuje się gdy światło w widmie ciągłym przechodzi przez warstwę substancji, która pochłania fale elektromagnetyczne o charakterystycznych dla siebie częstościach.

3. Spektroskop pryzmatyczny

Urządzeniem do pomiaru długości fali widma oraz do pomiaru współczynnika załamania ciał stałych i ciekłych. jest spektroskop pryzmatyczny.. W tym ostatnim przypadku spełniają one również rolę goniometrów, zezwalających na pomiar kąta pryzmatu. Układ optyczny spektrometru rys 1. w zasadzie składa się z trzech elementów: lunety, kolimatora i pryzmatu rozszczepiającego lub siatki dyfrakcyjnej. Kolimator na ogół jest zamocowany na stałe, natomiast luneta, stolik, na którym umieszcza się pryzmat lub siatkę dyfrakcyjną, są obrotowe i osadzone współ osiowo względem koła podziałowego. Światło do kolimatora wchodzi przez wąską podłużną szczelinę. Równoległe wiązki światła wychodzą z obiektywu kolimatora padająca pryzmat (lub siatkę) i ulegają rozszczepieniu dają w płaszczyźnie ogniskowej obrazowej lunety obraz szczeliny kolimatora w postaci widma. Jeśli szczelina kolimatora oświetlona będzie światłem białym, to widmo będzie miało postać tęczy. Jeśli natomiast szczelinę oświetli się światłem składającym się z pewnej skończonej liczby fal, to otrzyma się widmo lub pasm rozdzielonymi ciemnymi obszarami.

Spektrometr służący do obserwacji widm nosi nazwę spektroskopu. Istnieją jednak spektroskopy, za pomocą, których można określić położenie linii widmowych. W tym celu np. umieszczona jest w ognisku obiektywu lunety odpowiednia podziałka wywzorcowana w długościach fali świetlnych. Albo też przez jeden kolimator rzuca się na pryzmat światło o znanym widmie i badanym (jak np. jest w niektórych statoskopach, służących do szybkiej jakościowej oraz niezbyt dokładnej analizy metali i stopów).

3. Zjawisko dyspersji

Światło przechodząc przez pryzmat ulega odchyleniu. Jednym ze skutków dyspersji jest to, że wiązki światła o różnych barwach, padające na granicę ośrodków pod kątem różnym od zera, załamują się pod różnymi kątami. Efekt ten można zaobserwować, gdy światło białe pada na pryzmat i ulega rozszczepieniu na barwy tęczy. Współczynnik załamania światła wynika z prędkości rozchodzenia się światła w ośrodku.

Zależność współczynnika załamania światła od długości fali światła nazywana jest współczynnikiem dyspersji i jest parametrem określającym własności minerałów. Minerały o dużej dyspersji odpowiednio oszlifowane mienią się różnymi barwami w wyniku rozszczepiania światła białego.

Kolejność czynności.

Przed przystąpieniem do ćwiczenia prowadzący podłączył sprzęt i zademonstrował działanie spektrometru, umieścił rurkę wypełnioną helem i wskazał miejsce odczytu danych.

1. Za pomocą bębna odczytałem położenie L wszystkich linii widmowych.

2. W tablicy znajdującej się przy ćwiczeniu odczytałem długość fali zaobserwowanych linii λ_L gazu wzorcowego, którym jest hel.

3. Wykreśliłem krzywą dyspersji spektrometru λ = f (L).

4. Wziąłem rurkę Pluckera wypełnioną Neonem, wybrałem 10 dowolnych linii widmowych i korzystając z wykreślonej przez siebie krzywej dyspersji znalazłem długość fali tych linii.

5. Oszacowałem błędy pomiarowe uwzględniając dokładność określenia położenia linii na skali oraz dokładność odczytu długości fali z krzywej dyspersji.

LHe	λHe [µm]	Barwa	natężenie
158,85 152,00 134,85 - 106,25 104,80 100,50 89,25 73,85 67,35	0,7065 0,6678 0,5876 0,5411 0,5047 0,5015 0,4921 0,4685 0,4471 0,4387	czerwona czerwona żółta żółto-zielona zielona zielona zielono-niebieska niebieska fioletowa fioletowa	słaba silna bardzo silna bardzo słaba słaba silna umiarkowana silna silna bardzo słaba

Obliczenia:

Wybrałem dowolną linie widmową Helu oraz wykonałem dziesięć pomiarów dla tej długości fali.

LHe	λHe [µm]
134,85 134,85 134,90 134,80 134,85 134,75 134,85 134,95 134,90 134,85	0,5876

Wyliczam średnią z następującego wzoru:

$$\overset{\overline{}}{x} = \ \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$$

$$\overset{\overline{}}{x} = \ \frac{5\ \bullet 134,85 + 2 \bullet 134,90 + 134,75 + 134,80 + 134,95}{10}$$

$$\overset{\overline{}}{x} = \ 134,855$$

Wyznaczam odchylenie standardowe $S_{\overset{\overline{}}{x}}$

$$S_{\overset{\overline{}}{x}} = \ \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}^{2}}{n(n - 1)}}$$

$$S_{\overset{\overline{}}{x}} = \ \sqrt{\frac{5\ \bullet {(134,85 - 134,855)}^{2} + 2\ \bullet {(134,90 - 134,855)}^{2} + {(134,75 - 134,855)}^{2} + {(134,80 - 134,855)}^{2} + {(134,95 - 134,855)}^{2}}{9 \bullet 10}}$$

$$S_{\overset{\overline{}}{x}} = \ \sqrt{\frac{5\ \bullet {(5 \bullet 10^{- 3})}^{2} + 2\ \bullet {(45 \bullet 10^{- 3})}^{2} + {(105 \bullet 10^{- 3})}^{2} + {(55 \bullet 10^{- 3})}^{2} + {(95 \bullet 10^{- 3})}^{2}}{9 \bullet 10}}$$

$$S_{\overset{\overline{}}{x}} = \ \sqrt{\frac{10^{- 6}(5\ \bullet 5^{2} + 2\ \bullet 45^{2} + 105^{2} + 55^{2} + 95^{2})}{9 \bullet 10}}$$

$$S_{\overset{\overline{}}{x}} = \ \sqrt{\frac{10^{- 6}(125 + 4050 + 11025 + 3025 + 9025)}{9 \bullet 10}}$$

$$S_{\overset{\overline{}}{x}} = \ \sqrt{\frac{2725}{9} \bullet 10^{- 6}}\ $$

$$S_{\overset{\overline{}}{x}} = \ \frac{5\sqrt{109}}{3} \bullet 10^{- 3}$$

$$S_{\overset{\overline{}}{x}} \approx 0,018$$

Wobec powyższego stwierdzam, że:

$$u\left( \overset{\overline{}}{x} \right) = 0,02$$

L = 134, 85(0, 02)

Wyniki pomiarów widma Neonu:

LNe	λNe [µm]
156,00 152,70 152,00 150,64 149,40 145,40 141,20 136,55 134,20 120,25	0,692 0,671 0,667 0,660 0,654 0,633 0,613 0,594 0,585 0,543

Dla określonej linii widmowej neonu pomiar z wykresu powtarzam 10-krotnie.

λNe[µm]	LNe
0,633 0,632 0,632 0,634 0,634 0,633 0,632 0,633 0,632 0,633	145,40

Wyliczam średnią z następującego wzoru:

$$\overset{\overline{}}{x} = \ \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$$

$$\overset{\overline{}}{x} = \ \frac{4\ \bullet 0,633 + 4 \bullet 0,632 + 2 \bullet 0,634}{10}$$

$$\overset{\overline{}}{x} = \ 0,6328$$

Wyznaczam odchylenie standardowe $S_{\overset{\overline{}}{x}}$:

$$S_{\overset{\overline{}}{x}} = \ \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}^{2}}{n(n - 1)}}$$

$$S_{\overset{\overline{}}{x}} = \ \sqrt{\frac{4\ \bullet {(0,633 - 0,6328)}^{2} + 4\ \bullet {(0,632 - 0,6328)}^{2} + 2\ \bullet {(0,634 - 0,6328)}^{2}}{9 \bullet 10}}$$

$$S_{\overset{\overline{}}{x}} = \ \sqrt{\frac{4\ \bullet {(2 \bullet 10^{- 4})}^{2} + 4\ \bullet {(8 \bullet 10^{- 4})}^{2} + {2\ \bullet (12 \bullet 10^{- 4})}^{2}}{9 \bullet 10}}$$

$$S_{\overset{\overline{}}{x}} = \ \sqrt{\frac{10^{- 8}(4\ \bullet 4 + 4\ \bullet 64 + 2 \bullet 144)}{9 \bullet 10}}$$

$$S_{\overset{\overline{}}{x}} = \ \sqrt{\frac{10^{- 8}(16 + 256 + 288)}{9 \bullet 10}}$$

$$S_{\overset{\overline{}}{x}} = \ \sqrt{\frac{560}{90} \bullet 10^{- 8}}\ $$

$$S_{\overset{\overline{}}{x}} = \ \frac{\sqrt{56}}{3} \bullet 10^{- 4}$$

$$S_{\overset{\overline{}}{x}} \approx 0,00025$$

Wobec powyższego stwierdzam, że:

$$u\left( \overset{\overline{}}{x} \right) = 0,001$$

λ = 0, 633(0, 001)

LNe	λNe [µm]	λ±u(λ) [µm]
156,00 152,70 152,00 150,64 149,40 145,40 141,20 136,55 134,20 120,25	0,692 0,671 0,667 0,660 0,654 0,633 0,613 0,594 0,585 0,543	0,692(0,001) 0,671(0,001) 0,667(0,001) 0,660(0,001) 0,654(0,001) 0,633(0,001) 0,613(0,001) 0,594(0,001) 0,585(0,001) 0,543(0,001)

Wnioski:

Otrzymana krzywa dyspersji wyznaczona przy pomocy znanych długości fal jakie wysyła hel w widmie widzialnym, niejako przeskalowuje skalę spektrometr z wartości L na wartość długości fali λ wyrażoną w nanometrach. Ze względu na kształt krzywej dyspersji błąd określenia długości nieznanej fali λ przy tym samym błędzie odczytu L jest tym większy im większą wartość ma nieznana długość fali.