Wyznaczenie częstości drgań własnych samochodu

Chrysler Town & Country

Praca domowa z przedmiotu Dynamika Pojazdów

Jakub Lasocki, grupa 4.3

Bartosz Drozdowski, grupa 4.4

Prowadzący: prof. dr hab. inż. Wiesław Grzesikiewicz

Warszawa, styczeń 2011

Obiekt modelowania

Obiektem modelowania jest samochód osobowy Town & Country marki Chrysler, rok produkcji 1999 (III generacja modelu). Pojazd ma pięciodrzwiowe nadwozie typu van. Silnik umieszczony z przodu napędza koła przednie. Podstawowe wymiary podwozia przedstawiono na rysunku 1.

Rys. 1. Wymiary samochodu Chrysler Town & Country

Dane techniczne:
masa całkowita:
rozkład mas:
- przód
- tył
rozstaw osi:
rozstaw kół:
- przód
- tył:

• Masa przypadająca na oś przednią:

m_p = 57%·2500 = 1425 [kg]

• Masa przypadająca na oś tylną:

m_t = 43%·2500 = 1075 [kg]

Obliczenia pozostałych parametrów:

• położenie środka masy C:

  1. Zawieszenie przednie

W samochodzie Chrysler Town & Country zastosowano niezależne zawieszenie kół kierowanych z kolumnami McPhersona. Elementy prowadzące stanowią: zespolony w jednej kolumnie amortyzator i sprężyna śrubowa oraz pojedynczy wahacz poprzeczny. Podstawowe części układu zawieszenia koła przedniego przedstawiono na rysunku 2.

Rys. 2. Zawieszenie koła przedniego samochodu Chrysler Town & Country: 1 – piasta koła, 2 – zwrotnica, 3- wahacz dolny, 4 – stabilizator, 5 – przegub kulowy, 6 – amortyzator, 7 – sprężyna śrubowa.

Zawieszenie tylne

Oś tylna samochodu Chrysler Town & Country została połączona z nadwoziem zawieszeniem zależnym w postaci resorów parabolicznych, które pełnią jednocześnie rolę elementów sprężystych i prowadzących (rys. 3). Resor jest połączony z nadwoziem z jednej strony obrotowo a z drugiej wahliwie, zastosowano drążek Panharda.

Rys. 3. Zawieszenie tylne samochodu Chrysler Town & Country

Model obliczeniowy

Jako model obliczeniowy przyjęto płytę prostokątną o masie m i pomijalnie małej grubości (rys. 4). Zawieszono ją w narożach na czterech sprężynach. Model jest obdarzony trzema stopniami swobody – przemieszczeniem wzdłuż osi z oraz obrotami wokół osi x i y.

Rys. 4. Model pojazdu o trzech stopniach swobody

Obliczenia sztywności zawieszenia

Sztywność sprężyn rzeczywistych oblicza się na podstawie porównania ich energii potencjalnej z energią potencjalną sprężyn teoretycznych. W tym celu wprowadzono w miejsce koła teoretyczną sprężynę, której sztywność wyliczono z założonej wstępnie częstości drgań własnych nadwozia f = 1 [Hz] (częstość taka zapewnienia komfort pasażerom podczas jazdy).

Sztywność zawieszenia kół w modelu teoretycznym

Rys. 5. Schematy do obliczeń sztywności sprężyn

Częstość drgań własnych ciała wyraża się wzorem:

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\ \lbrack Hz\rbrack$$

k = 4 • π² • f² • m

gdzie:

m – masa pojazdu przypadająca na jedno koło (odpowiednio osi przedniej lub tylnej)

Otrzymano:

• dla zawieszenia przedniego:

• dla zawieszenia tylnego:

1. Obliczenia sztywności rzeczywistych elementów zawieszenia

   1. Sztywność sprężyn zawieszenia przedniego
      

k_p – sztywność przedniej sprężyny

k_kp – sztywność przedniej sprężyny teoretycznej

z_sp – ugięcie przedniej sprężyny

z_kp – ugięcie przedniej sprężyny teoretycznej

• długość wahacza: l_w = 0,34 [m]

• odległość mocowania kolumny od zwrotnicy: l_a = 0,16 [m]

• kąt odchylenia kolumny: α = 6 [°]

Rys. 6. Schemat kinematyczny zawieszenia osi przedniej samochodu Chrysler Town & Country z kolumną McPhersona

Kolumna (sprężyna z tłumikiem) zamocowane są bezpośrednio do zwrotnicy w punkcie A (rys. 7). Dlatego skok koła przedniego z_kp jest równy skokowi punktu A do punktu A’. Ugięcie sprężyny z_sp jest więc różnicą odległości AB i A’B.

z_sp = |AB| − |A′B|

z_sp = z_kp • cos(α)

Rys. 7. Zależności geometryczne przy ugięciu zawieszenia przedniego

Aby obliczyć sztywność sprężyny należy założyć, że energia potencjalna modelu zawieszenia jest równa energii potencjalnej sprężyny rzeczywistego układu:

gdzie:

- energia potencjalna dla sprężyny przedniej

- energia potencjalna dla teoretycznej sprężyny przedniej

Stąd sztywność sprężyny rzeczywistej przedniego zawieszenia określa wzór:

Ostatecznie:

Sztywność sprężyn zawieszenia tylnego

Badany pojazd ma zawieszenie zależne tylnej osi w postaci sztywnej belki zawieszonej na resorach parabolicznych (patrz: punkt 1.2). Resor jest zamocowany do nadwozia z jednej strony obrotowo a z drugiej wahliwie. Aby uprościć analizę, resory zostały sprowadzone do modelu sprężyny śrubowej. Prowadzenie punktu zamocowania piasty koła przyjęto jako pionowe, ponieważ odchylenia toru ugięcia resoru zamocowanego wahliwie są niewielkie.

Na rys. 8 przedstawiono schemat kinematyczny tylnego zawieszenia. Oczywiście resory znajdują się bliżej osi pojazdu niż piasty kół, co zostanie uwzględnione podczas obliczania przemieszczeń. Przyjęto założenie, że przy niesymetrycznym wymuszeniu (czyli działającym tylko na jedno koło, np. w wypadku napotkania wyboju) i wystąpieniu skoku jednego z kół, oś sztywna obraca się wokół punktu znajdującego się na piaście przeciwległego koła. Sztywność resorów (lewego i prawego) policzono zakładając równoczesne ugięcie obu kół osi.

Rys. 8. Schemat kinematyczny tylnego zawieszenia

• długość osi : l_o = b_t = 1,626 [m]

• odległość mocowania resoru od przeciwległego koła: l_r = 1,47 [m]

• k_t – sztywność resoru

• k_kt – sztywność tylnej sprężyny teoretycznej

• z_st – ugięcie resoru

• z_kt – ugięcie tylnej sprężyny teoretycznej

Ugięcie resoru z_st nie jest równe skokowi koła z_kt. Strzałki ugięć leżą jednak w tej samej płaszczyźnie, dzięki czemu ugięcie z_st można obliczyć korzystając z twierdzenia Talesa (rys. 9).

Rys. 9. Zależności geometryczne przy ugięciu zawieszenia tylnego

Należy przyrównać energie potencjalne:

gdzie:

- energia potencjalna resoru

- energia potencjalna tylnej sprężyny teoretycznej

Stąd sztywność resoru określa wzór:

Ostatecznie:

1. Obliczenia przemieszczeń elementów zawieszenia

   1. Zawieszenie przednie

• odległość punktu mocowania kolumny od osi pojazdu: b_B = 0,61 [m]

• odległość punktu mocowania wahacza od osi pojazdu: b_C = 0, 46 [m]

• odległość osi przedniej od środka ciężkości pojazdu: l₁ = 1,303 [m]

Rys. 10. Oznaczenia wielkości do obliczeń przemieszczeń elementów zawieszenie przedniego

Prawa strona

Przemieszczenie pionowe charakterystycznych punktów zawieszenia określone jest wzorami:

z_A = 0

z_B = z + Φ_x • b_B − Φ_y • l₁

Stąd skrócenie prawej przedniej sprężyny będzie określone zależnością:

u_pp = (z_B − z_A)•cosα

u_pp = (z + Φ_x • b_B − Φ_y • l₁)•cosα

Lewa strona

Skrócenie lewej przedniej sprężyny oblicza się analogicznie, uwzględniając odwrotny kierunek obrotu nadwozia wokół osi x. Ostatecznie wynosić ono będzie:

u_lp = (z − Φ_x • b_B − Φ_y • l₁)•cosα

Zawieszenie tylne

Rys. 11. Oznaczenia wielkości do obliczeń przemieszczeń elementów zawieszenie tylnego

• odległość mocowania resoru od osi wzdłużnej pojazdu: b_E = 0,65 [m]

• odległość osi tylnej od środka ciężkości pojazdu: l₂ = 1,727 [m]

  1. Prawa strona

Przemieszczenie punktów zawieszenia tylnego (rys. 11) pod wpływem ruchów nadwozia:

z_D = 0

z_E = z + Φ_x • b_E + Φ_y • l₂

Stąd ugięcie prawego resoru wyraża zależność:

u_spt = z_E − z_D

u_spt = z_E

u_spt = z + Φ_x • b_E + Φ_y • l₂

Lewa strona

Ugięcie lewego resoru oblicza się analogicznie:

u_slt = z − Φ_x • b_E + Φ_y • l₂

1. Obliczenie momentów bezwładności pojazdu

   1. Moment bezwładności względem osi x (I_x)

W celu wyznaczenia momentu bezwładności pojazdu względem osi x, samochód potraktowano jak ciało obrotowe mające promień bezwładności. Ponieważ nie ma możliwości dokładnego określenia promienia bezwładności (z powodu nieregularności kształtu pojazdu) przyjęto jego wartość równą 1/3 przedniego rozstawu kół:

$$\rho_{x} = \frac{b_{p}}{3} = 0,533\ \lbrack m\rbrack$$

Moment bezwładności względem osi x wynosi:

I_x = m_c • ρ_x²

Moment bezwładności względem osi y

Środek masy pojazdu nie pokrywa się ze środkiem geometrycznym bryły nadwozia. Promień bezwładności oszacowano przyjmując założenie rozsprzęgalności przedniego i tylnego zawieszenia. Stąd warunek:

$$\rho_{y} = \sqrt{l_{1} \bullet l_{2}} = 1,500\ \lbrack m\rbrack$$

Moment bezwładności względem osi y wynosi:

I_y = m_c • ρ_y²

Równania ruchu

Model jest obdarzony trzema stopniami swobody – przemieszczeniem wzdłuż osi z oraz obrotami: wokół osi x – Φ_x i wokół osi y - Φ_y (patrz: punkt 2).

Wzory na energię kinetyczną i energię potencjalną

• Energia potencjalna:

$$E_{p} = \frac{1}{2}k_{p}\left\{ \left\lbrack \left( z + \Phi_{x}b_{B} - \Phi_{y}l_{1} \right)\cos\alpha \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \left( z - \Phi_{x}b_{B} - \Phi_{y}l_{1} \right) \bullet \cos\alpha \right\rbrack^{2} \right\}\ldots + \frac{1}{2}k_{t}\left\{ \left( z + \Phi_{x}b_{E} + \Phi_{y}l_{2} \right)^{2} + \left( z - \Phi_{x} \bullet b_{E} + \Phi_{y} \bullet l_{2} \right)^{2} \right\}$$

• Energia kinetyczna:

$$E_{k} = \frac{1}{2}m{\dot{z}}^{2} + \frac{1}{2}I_{x}{\dot{\Phi_{x}}}^{2} + \frac{1}{2}I_{y}{\dot{\Phi_{y}}}^{2}$$

Równania Lagrange’a

$$\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\partial E_{k}(\dot{X)}}{\partial{\dot{X}}_{i}} \right) + \ \frac{\partial E_{p}\left( X \right)}{\partial X_{i}} = 0$$

gdzie $X = \begin{bmatrix} Z \\ \Phi_{x} \\ \Phi_{y} \\ \end{bmatrix}$ - wektor współrzędnych uogólnionych

Różniczki po współrzędnych uogólnionych:

$$\frac{\partial E_{k}\dot{\left( z \right)}}{\partial\dot{z}} = m\ddot{z}$$

$$\frac{\partial E_{k}\dot{\left( \Phi_{x} \right)}}{\partial\dot{\Phi_{x}}} = I_{x}\ddot{\Phi_{x}}$$

$$\frac{\partial E_{k}\dot{\left( \Phi_{y} \right)}}{\partial\dot{\Phi_{y}}} = I_{y}\ddot{\Phi_{y}}$$

$$\frac{\partial E_{p}(z)}{\partial z} = \left\lbrack 2k_{p}\left( \cos\alpha \right)^{2} + 2k_{t} \right\rbrack z + \lbrack - 2k_{p}l_{1}\left( \cos\alpha \right)^{2} + 2k_{t}l_{2}\rbrack\ \Phi_{y}$$

$$\frac{\partial E_{p}(\Phi_{x})}{\partial\Phi_{x}} = \lbrack 2k_{p}{b_{B}}^{2}\left( \cos\alpha \right)^{2} + 2k_{t}{b_{E}}^{2}\rbrack\Phi_{x}$$

$$\frac{\partial E_{p}(\Phi_{y})}{\partial\Phi_{y}} = \left\lbrack - 2k_{p}l_{1}\left( \cos\alpha \right)^{2} + 2k_{t}l_{2} \right\rbrack z + \lbrack 2k_{p}{l_{1}}^{2}\left( \cos\alpha \right)^{2} + 2k_{t}{l_{2}}^{2}\rbrack\Phi_{y}$$

Równania ruchu

Po podstawieniu wzorów na E_p i E_k do równań Lagrange’a otrzymano równania ruchu względem trzech współrzędnych uogólnionych:

$$m\ddot{z} + \left\lbrack 2k_{p}\left( \cos\alpha \right)^{2} + 2k_{t} \right\rbrack z + \left\lbrack 2k_{t}l_{2} - 2k_{p}l_{1}\left( \cos\alpha \right)^{2} \right\rbrack\Phi_{y} = 0$$

$$I_{x}\ddot{\Phi_{x}} + \left\lbrack 2k_{p}{b_{B}}^{2}\left( \cos\alpha \right)^{2} + 2k_{t}{b_{E}}^{2} \right\rbrack\Phi_{x} = 0$$

$$I_{y}\ddot{\Phi_{y}} + \left\lbrack 2k_{t}l_{2} - 2k_{p}l_{1}\left( \cos\alpha \right)^{2} \right\rbrack z + \left\lbrack 2k_{p}{l_{1}}^{2}\left( \cos\alpha \right)^{2} + 2k_{t}{l_{2}}^{2} \right\rbrack\Phi_{y} = 0$$

Macierzowy zapis równań:

$$M\ddot{X} + \text{KX} = 0$$

Macierz bezwładności:

$$M = \begin{bmatrix} m & 0 & 0 \\ 0 & I_{x} & 0 \\ 0 & 0 & I_{y} \\ \end{bmatrix}$$

Macierz sztywności:

$$K = \begin{bmatrix} 2k_{p}\left( \cos\alpha \right)^{2} + 2k_{t} & 0 & 2k_{t}l_{2} - 2k_{p}l_{1}\left( \cos\alpha \right)^{2} \\ 0 & 2k_{p}{b_{B}}^{2}\left( \cos\alpha \right)^{2} + 2k_{t}{b_{E}}^{2} & 0 \\ 2k_{t}l_{2} - 2k_{p}l_{1}\left( \cos\alpha \right)^{2} & 0 & 2k_{p}{l_{1}}^{2}\left( \cos\alpha \right)^{2} + 2k_{t}{l_{2}}^{2} \\ \end{bmatrix}$$

Częstotliwości drgań własnych

Częstotliwości drgań własnych obliczono z wykorzystaniem programu MathCAD. Zdefiniowano macierze: bezwładności i sztywności:

Utworzono macierz A:

Wyznaczono wartości własne macierzy A:

Ich wartości odpowiadają kwadratowi częstości drgań własnych:

$$\omega^{2} = \begin{bmatrix} 39,489 \\ 48,307 \\ 60,286 \\ \end{bmatrix} \bullet \left( \frac{\text{rad}}{s} \right)^{2}$$

Częstości drgań własnych wynoszą:

$$\omega = \begin{bmatrix} 6,284 \\ 6,95 \\ 7,764 \\ \end{bmatrix} \bullet \frac{\text{rad}}{s}$$

Częstotliwości drgań własnych:

$$f = \frac{\omega}{2\pi} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1,106 \\ 1,236 \\ \end{bmatrix} \bullet \text{Hz}$$

Symulacja – wykresy przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia wybranego punktu nadwozia

Wykresy przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia wyznaczono dla przedniej lewej lampy samochodu - punkt A o przybliżonych współrzędnych (1,8; 0,8; 0) [m]. Warunki początkowe:

z₀ = 0, 01 [m]

Φ_x0 = 0, 01 []

Φ_y0 = 0, 01 []

Granice całkowania: t = 10 [s]