funkcje potegowa, potem jak ocenic model, srednie artym i geom, wspołczynnik korelacji, i macierzowy zapis jakimis najmniejszymi kwadratami

Pytania z poprzednich lat
1.odchylenie standardowe i współczynnik zróżnicowania.
2.rozkład Poissona i rozkład dwumianowy.
3. Asymetria, współczynnik asymetrii
4.model regresji potęgowej.
5.współczynnik korelacji liniowej
6. współczynniki dopasowania modelu( chodziło o współczynniki zbieżności i determinacji)

‎1. Przedstaw sposób oblicznia i interpretowania średniej arytmetycznej i geometrycznej.
2. Charakterystyka mediany i dominanty.
3. Jak się konstruuje momenty statystyczne?
4. Jak się prezentuje asymetria w szeregu?
5. Na czym polega metoda najmniejszych kwadratów?
6. Przedstaw rozdkłady poissona, gaussa-la place, itp.

‎1) wzory i interpretacje średniej geometrycznej i arytmetycznej dla wszystkich szeregów. 2Trzeba było opisać i przedstawić rozkład asymetrii 3) jak obliczyć i zinterpretować parametry a i b w potegowym modelu. 4) jak ocenić modele czy są dobre: podać narzędzia i interpretacje.
to 2 pytanie to takie nie do konca zapamietane ale jest
druga grupa:
1.współczynnik korelacji, 2.momenty zwykłe i centralne, 3.odchylenie standardowe, 4.model regresji. Wszystko trzeba było opisać (wzory itp) oraz podać interpretację

1.a)Współczynnik zmienności informuje nas o zmienności wyników, obserwacji w odniesieniu do "wielkości średniej". Daje nam informacje o rozproszeniu wyników, ale w odniesieniu do tego, jak duża jest średnia (mediana). To pozwala nam na określenie względnej miary rozproszenia i ułatwia nam porównanie zmienności danych cech wśród tej samej grupy osób bądź dwóch grup badanych osób pod względem tej samej cechy b) Odchylenie standardowe – klasyczna miara zmienności, obok średniej arytmetycznej najczęściej stosowane pojęciestatystyczne.Intuicyjnie rzecz ujmując, odchylenie standardowe mówi, jak szeroko wartości jakiejś wielkości (takiej jak np. wiek, inflacja, kurs akcji itp.) są rozrzucone wokół jej średniej^[1]. Im mniejsza wartość odchylenia tym obserwacje są bardziej skupione wokół średniej.

2.a) W teorii prawdopodobieństwa i statystyce, rozkład Poissona (czytaj [pwasɔ̃]) (lub Prawo Poissona małych liczb^[1]) jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa, wyrażającym prawdopodobieństwo szeregu wydarzeń mających miejsce w określonym czasie, gdy te wydarzenia występują ze znaną średnią częstotliwością i w sposób niezależny od czasu jaki upłynął od ostatniego zajścia takiego zdarzenia. (Rozkład Poissona można również stosować w odniesieniu do liczby zdarzeń w innych określonych odstępach czasu, takich jak odległość, powierzchnia lub objętość).

b) Rozkład dwumianowy (w Polsce zwany też rozkładem Bernoulliego, to dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący liczbę sukcesów k w ciąguN niezależnych prób, z których każda ma stałe prawdopodobieństwo sukcesu równe p. Pojedynczy eksperyment nosi nazwę próby Bernoulliego.

3. Współczynnik asymetrii to iloraz trzeciego momentu centralnego przez trzecią potęgę odchylenia standardowego:

gdzie M₃ to wartość trzeciego momentu centralnego, zaś s to wartość odchylenia standardowego.Podobnie jak trzeci moment centralny, współczynnik asymetrii przyjmuje wartość zero dla rozkładu symetrycznego, wartości ujemne dla rozkładów o lewostronnej asymetrii (wydłużone lewe ramię rozkładu) i wartości dodatnie dla rozkładów o prawostronnej asymetrii (wydłużone prawe ramię rozkładu).

5. Współczynnik korelacji liniowej Pearsona – współczynnik określający poziom zależności liniowej międzyzmiennymi losowymi

6. Współczynnik determinacji

Informuje o tym, jaka część zmienności zmiennej objaśnianej została wyjaśniona przez model. Jest on więc miarą stopnia, w jakim model wyjaśnia kształtowanie się zmiennej objaśnianej. Można również powiedzieć, że współczynnik determinacji opisuje tę część zmienności objaśnianej, która wynika z jej zależności od uwzględnionych w modelu zmiennych objaśniających. Współczynnik determinacji przyjmuje wartości z przedziału [0;1]. Jego wartości najczęściej są wyrażane w procentach. Dopasowanie modelu jest tym lepsze, im wartość R² jest bliższa jedności. Wyraża się on wzorem:

,

gdzie:

 - rzeczywista wartość zmiennej Y w momencie t,

 - wartość teoretyczna zmiennej objaśnianej (na podstawie modelu),

 - średnia arytmetyczna empirycznych wartości zmiennej objaśnianej.

Współczynnik zbieżności  określa, jaka część zmienności zmiennej objaśnianej nie została wyjaśniona przez model. Można również powiedzieć, że współczynnik zbieżności opisuje tę część zmienności zmiennej objaśnianej, która wynika z jej zależności od innych czynników niż uwzględnione w modelu. Współczynnik zbieżności przyjmuje wartości z przedziału [0;1]; wartości te najczęściej są wyrażane w procentach. Dopasowanie modelu jest tym lepsze, im wartość  jest bliższa zeru. Wyraża się on wzorem:

,

1.Średnia geometryczna, w statystyce miara przeciętnego poziomu wartości cechy jednostek zbiorowości statystycznej używana dla cech przyjmujących wyłącznie wartości dodatnie.

Mediana-  Środkowa wartość pomiarowa, tzn. taka, że połowa pozostałych wartości jest mniejsza, a połowa większa od niej; dzieli zbiór pomiarów na dwie równe części. Dominanta-  Liczba (liczby) będąca najczęściej przyjmowaną wartością pomiarową. 

Podstawowym teoretycznym rozkładem zmiennych losowych ciągłych X_C jest rozkład normalny, zwany rozkładem Gaussa - Laplace'a. Jego znaczenie metodologiczne i analityczne wynika z trzech jego najważniejszych właściwości:

• Przy nieograniczonym wzroście liczby niezależnych doświadczeń statystycznych, wszystkie znane teoretyczne rozkłady zmiennych losowych ciągłych i skokowych są szybko zbieżne do rozkładu normalnego. Stanowi on zatem najbardziej ogólne odniesienie do rozumienia sensu działania prawa wielkich liczb,

• W statystycznym wnioskowaniu o parametrach i rozkładach w populacjach generalnych na podstawie wyników badań prób losowych popełniane są błędy przypadkowe, kórych rozkład jest normalny lub granicznie normalny. Zawiera się w tym merytoryczny sens statystycznej indukcji, czyli wnioskowania. Na podstawie tej prawidłowości, skonstruowane zostały wszystkie metody estymacji parametrów oraz metody weryfikacji hipotez,

• W niektórych sytuacjach badawczych ale w badaniach zjawisk ekonomicznych raczej rzadko, rozkłady empiryczne obserwowanych zmiennych mogą być zbliżone swoim kształtem do rozkładu normalnego. Wtedy też prawidłowości statystyczne ujawniają się w swojej najczystszej postaci, ale może mieć to miejsce tylko wtedy, kiedy badane zjawisko podlega wpływowi bardzo wielu czynników, działających mniej więcej równomierni, przyczyn głównych, a także i w tym zjawisk losowych, Dlatego właśnie stwierdzono, że badane zjawiska ekonomiczna, a także społeczne i demograficzne mają na ogół rozkłady empiryczne znacząco odkształcone od rozkładu normalnego.

Momenty zwykłe i centralne. Momentem r-tego rzędu cechy x nazywamy średnią arytmetyczną odchyleń poszczególnych wartości cechy od pewnej stałej x₀ podniesionych do potęgi r-tej.

W zależności od tego, co podstawimy za nasze x₀ wyróżniamy:

momenty zwykłe (gdy x0 = 0)	momenty centralne (gdy x0 = )
; r=1,2,3...	; r=1,2,3...

Wypiszmy sobie różne charakterystyczne rzędy momentów:

jest to znana nam średnia arytmetyczna

jest to znana nam średnia arytmetyczna kwadratów cechy

to jest zero na podstawie własności średniej arytmetycznej

jest to tzw. wariancja (moment centralny drugiego rzędu)

moment ten będzie wykorzystywany do mierzenia asymetrii

a ten do mierzenia spłaszczenia

Tak więc w analizie struktury wykorzystujemy momenty ale pod innymi nazwami. Aby je obliczyć musimy mieć dane szczegółowe. Gdy mamy szeregi rozdzielcze to musimy skorzystać z momentów ważonych. Tak jak średnia arytmetyczna może być zwykła i ważona, tak momenty również. Aby odróżnić momenty ważone od zwykłych, gdy mamy do czynienia z reprezentacją danych w postaci szeregów rozdzielczych o k wariantach, wzór na moment zapisujemy w następującej postaci:

(!) Każdy moment centralny można zapisać jako sumę momentów zwykłych: