YT-ZMIENNA PROGNOZOWANA, XT-ZMIENNE NIEZALEŻNIE PROGNOZUJĄCE, A-ALFA-PARAMETR, $\overset{\overline{}}{X}$– X ŚRED. V* KRYTYCZNA WART WSPÓŁ. ZMIENN. METODA ELIMINACJI ZMIENNYCH QUASI-STAŁYCH (MUSZĄ SIĘ DOSTATECZNIE ZMIENIAĆ ŻEBY WCHODZIĆ DO MODELU)- SPRAWDZA SIĘ PRZEZ WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI ⱴ= $\frac{\delta}{\overset{\overline{}}{x}}$ ZAD.NOWAK 1.2 DANE SĄ NASTĘPUJĄCE OBSERWACJE ZMIENNYCH X1 X2 X3 KANDYDUJĄCYCH DO ROLI ZMIENNYCH OBJAŚNIAJĄCYCH MODEL PRZY KRYTYCZNEJ WART. WSPÓŁ. ZMIENNO. V*=0,1. OCENIĆ PRZYDATNOŚĆ POSZCZEGÓLNYCH ZMIENNYCH DO OPISU ZMIENNEJ OBJAŚNIAJĄCEJ ZE WZGLĘDU NA POZIOM ZRÓŻNICOWANIA ICH WARTOŚCI. JEŻELI Vi=<V* (0,1)- TO JEST QUASI-STAŁA I NIE WCHODZI DO MODELU ⱴ=δi/$\overset{\overline{}}{X}$i. t X1t X2t X3t X1t-$\overset{\overline{}}{X}$1 X2t-$\overset{\overline{}}{X}$2 X3t-$\overset{\overline{}}{X}$3 (X1t-$\overset{\overline{}}{X}$1)^2 (X2t-$\overset{\overline{}}{X}$2)^2 (X3t-$\overset{\overline{}}{X}$3)^2 1 2 3 4 5 6 18 22 25 27 30 34 4,0 4,1 4,0 4,1 4,1 4,0 8 3 7 4 9 11 -8 -4 -1 1 4 8 -0,05 0,05 -0,05 0,05 0,05 -0,05 1 -4 0 -3 2 4 64 16 1 1 16 64 0,0025 0,0025 0,0025 0,0025 0,0025 0,0025 1 16 0 9 4 16 $\sum_{}^{}\ $162 $\sum_{}^{}\ $ 0,015 $\sum_{}^{}\ $ 46 X1.=26 X2.=4,05 X3.=7 δ i=$\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{T = 1}^{N}{(\text{Xi} - \overset{\overline{}}{X})^{2}}}$ δ 1=$\sqrt{\frac{1}{6}*162}$≈5,2 δ 2=$\sqrt{\frac{1}{6}*0,015}$≈0,05 δ 3=$\sqrt{\frac{1}{6}*46}$≈2,77 V1=$\frac{5,2}{26}$ =0,2 V2=$\frac{0,05}{4,05}$≈0,012 <0,1 V3=$\frac{2,77}{7}$≈0,4 W SKŁAD WCHODZĄ : V1 i V3. METODA ANALIZY GRAFÓW 10/69 (KUKUŁA) METODĄ ANALIZY GRAFÓW WYBRAĆ OPTYMALNĄ KOMBINACJĘ ZMIENNYCH OBJAŚNIAJĄCYCH DO MODELU EKONOMETRYCZNEGO JEŻELI R^* = 0,4 JEŻELI RIJ ≤ R^* TO TAKI WSPÓŁCZYNNIK UZNAJEMY ZA NIEISTOTNY I W JEGO MIEJSCE WPISUJEMY 0. ODP. DO MODELU WCHODZĄ X1, X2, X5. METODA ANALIZY GRAFÓW str.68/zad.8 (Kukuła) Na podstawie 32 obserwacji zmiennej objaśnianej y oraz wstępnie ustalonych zmiennych objaśniających, obliczono współczynniki korelacji, które zestawiono w macierzy W. Stosując metodę analizy grafów wybrać zmienne objaśniające do modelu ekonometrycznego. Weryfikację istotności współczynników korelacji przeprowadzić na poziomie istności α=0,05. $$\begin{matrix} y & x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & x_{5} & x_{6} \\ \end{matrix}$$ $W = \begin{bmatrix} 1,00 & 0,70 & - 0,52 & 0,41 & 0,35 & 0,61 & 0,92 \\ 0,70 & 1,00 & 0,74 & - 0,42 & 0,15 & - 0,35 & 0,24 \\ - 0,52 & & 1,00 & 0,50 & 0,31 & - 0,62 & 0,25 \\ 0,41 & & & 1,00 & - 0,36 & 0,21 & 0,07 \\ 0,35 & & & & 1,00 & 0,15 & - 0,09 \\ 0,61 & & & & & 1,00 & 0,29 \\ 0,92 & & & & & & 1,00 \\ \end{bmatrix}\text{\ \ \ }\begin{matrix} y \\ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} \\ \end{matrix}$ α=0,05 $$r^{*} = \sqrt{\frac{{t_{\alpha}}^{2}}{n - 2 + {t_{\alpha}}^{2}}}$$ r^* - krytyczna wartość współczynnika korelacji; tα - statystyka t-studenta o n-2 stopniach swobody $$r^{*} = \sqrt{\frac{\left( 2,042 \right)^{2}}{32 - 2 + {2,042}^{2}}} \approx 0,35$$ |rij| ≤ r^*(0,35) – współczynnik korelacji uznajemy za nieistotny i w jego miejsce wpisujemy 0. $\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & x_{5} & x_{6} \\ \end{matrix}$ $$R^{'} = \begin{bmatrix} 1,00 & 0,74 & - 0,42 & 0 & 0 & 0 \\ & 1,00 & 0,50 & 0 & - 0,62 & 0 \\ & & 1,00 & - 0,36 & 0 & 0 \\ & & & 1,00 & 0 & 0 \\ & & & & 1,00 & 0 \\ & & & & & 1,00 \\ \end{bmatrix}\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} \\ \end{matrix}$$ I zasada reguły grafów Do modelu wchodzi po jednej zmiennej z każdego grafu. II zasada reguły grafów Do modelu wchodzi zmienna, która ma największą liczbę połączeń. III zasada reguły grafów W przypadku wystąpienia tej samej maksymalnej liczby połączeń, do modelu wchodzi zmienna, która jest silniej skorelowana ze zmienną y (bierzemy wartość bezwzględną). Odp. Do modelu wejdą x2 i x6. METODA POJEMNOŚCI INFORMACYJNEJ - METODA HELWIGA ZAD.2 S.67 KUKUŁA WYBRAĆ ZMIENNE OBJAŚNIAJĄCE DO LINIOWEGO MODELU REGRESJI OPISUJĄCEGO KSZTAŁTOWANIE SIĘ KOSZTÓW OBROTU TOWAROWEGO Y (MLN ZŁ) W SKLEPACH PEWNEJ FIRMY. EKSPERCI WYTYPOWALI NASTĘPUJĄCE CZYNNIKI WPŁYWAJĄCE NA KOSZTY: X1-WIELKOŚĆ OBROTU W MLN ZŁ; X2-POWIERZCHNIA SKLEPU; X3-LICZBA PERSONELU OBSŁUGUJĄCEGO. NASTĘPNIE ZEBRANO INFORMACJE STATYSTYCZNE O TYCH WIELKOŚCIACH A NA ICH PODSTAWIE OBLICZONO WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI LINIOWEJ ZAWARTE W WEKTORZE R0 ORAZ MACIERZY R. $Ro = \begin{bmatrix} 0,72 \\ - 0,69 \\ 0,54 \\ \end{bmatrix}$ $R = \begin{bmatrix} 1,00 & - 0,21 & 0,15 \\ - 0,21 & 1,00 & 0,42 \\ 0,15 & 0,42 & 1,00 \\ \end{bmatrix}$ l=2^K-1=2^3-1=7 – liczba kombinacji C1={X1} C2={X2} C3={X3} C4={X1,X2} C5={X2,X3} C6={X1,X3} C7={X1,X2,X3} hkj=$\frac{\ r_{0j}^{\ \ \ \ \ 2}}{1 + \sum|r_{\text{ij}}|}$ H-indywidualna pojemność nośników inf; K-nr kombinacji; J-nr zmiennej R1=[1,0] h11=$\frac{{0,72}^{2}}{1} \approx 0,51$ R2=[1,0] h22=$\frac{{( - 0,69)}^{2}}{1} \approx 0,48$ R3=[1,0] h33=$\frac{{0,54}^{2}}{1} \approx 0,29$ R4=$\begin{bmatrix} 1,0 & - 0,21 \\ - 0,21 & 1,0 \\ \end{bmatrix}$ h41=$\frac{{0,72}^{2}}{1 + 0,21} \approx 0,43$ h42=$\frac{{( - 0,69)}^{2}}{1 + 0,21} \approx 0,39$ R5=$\begin{bmatrix} 1,0 & 0,15 \\ 0,15 & 1,0 \\ \end{bmatrix}$ h51=$\frac{{0,72}^{2}}{1 + 0,15} \approx 0,45$ h53=$\frac{{0,54}^{2}}{1 + 0,15} \approx 0,47$ R6=$\begin{bmatrix} 1,0 & 0,42 \\ 0,42 & 1,0 \\ \end{bmatrix}$ h62=$\frac{{( - 0,69)}^{2}}{1 + 0,42} \approx 0,34$ h63=$\frac{{0,54}^{2}}{0,42 + 1} \approx 0,2$ R7=$\begin{bmatrix} 1,0 & - 0,21 & 0,15 \\ - 0,21 & 1,0 & 0,42 \\ 0,15 & 0,42 & 1,0 \\ \end{bmatrix}$ h71= $\frac{{0,72}^{2}}{1 + 0,21 + 0,15} \approx 0,38$ h72= $\frac{{( - 0,69)}^{2}}{0,21 + 1 + 0,42} \approx 0,29$ h73=$\frac{{0,54}^{2}}{0,15 + 0,42 + 1} \approx 0,18$ HK –INTEGRALNA POJEMNOŚĆ NOŚNIKÓW INFORMACJI HK=∑hKJ H1=h11=0,52 H2= h22=0,48 H3= h33=0,29 H4= h41+h42=0,82 H5= h51+h53=0,92 H6= h62+h63=0,54 H7= h71+h72+h73=0,85 0≤HK≤1 H5=0,92 METODA ANALIZY MACIERZY WSPÓŁCZYNNIKÓW KORELACJI 1,11 S.21 NOWAK W CELU WYJAŚNIENIA KSZTAŁTOWANIA SIĘ ZMIENNEJ Y ZAPROPONOWANO WSTĘPNIE 8 WIELKOŚCI. WEKTOR WSPÓŁCZYNNIKÓW KORELACJI ZMIENNEJ OBJAŚNIANEJ I POTENCJALNYCH ZMIENNYCH OBJAŚNIAJĄCYCH ORAZ MACIERZ WSPÓŁCZYNNIKÓW KORELACJI MIĘDZY POTENCJALNYMI ZMIENNYMI OBJAŚNIAJĄCYMI WYZNACZONO NA PODSTAWIE OSIEMNASTU POMIARÓW, PRZYJMUJĄC KRYTYCZNĄ WARTOŚĆ WSPÓŁCZYNNIKÓW KORELACJI. WYBRAĆ ZMIENNE OBJAŚNIAJĄCE ZMIENNĄ Y. $R_{0} = \begin{bmatrix} 0,10 \\ 0,15 \\ 0,61 \\ 0,31 \\ 0,39 \\ 0,79 \\ 0,91 \\ 0,79 \\ \end{bmatrix}\begin{matrix} x_{1} \rightarrow y \\ x_{2} \rightarrow y \\ \\ x_{4} \rightarrow y \\ x_{5} \rightarrow y \\ \\ x_{7}\text{\ max} \\ \\ \end{matrix}$ $R = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 1,00 & 0,22 & \begin{matrix} 0,02 & 0,45 & \begin{matrix} 0,04 & 0,28 & \begin{matrix} 0,27 & 0,14 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0,22 & 1,00 & \begin{matrix} 0,38 & 0,22 & \begin{matrix} 0,23 & 0,12 & \begin{matrix} 0,14 & 0,22 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0,02 & 0,38 & \begin{matrix} 1,00 & 0,04 & \begin{matrix} 0,28 & 0,44 & \begin{matrix} 0,54 & 0,59 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0,45 & 0,22 & \begin{matrix} 0,04 & 1,00 & \begin{matrix} 0,05 & 0,42 & \begin{matrix} 0,45 & 0,25 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0,04 & 0,23 & \begin{matrix} 0,28 & 0,05 & \begin{matrix} 1,00 & 0,51 & \begin{matrix} 0,45 & 0,38 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0,28 & 0,12 & \begin{matrix} 0,44 & 0,42 & \begin{matrix} 0,51 & 1,00 & \begin{matrix} 0,86 & 0,80 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0,27 & 0,14 & \begin{matrix} 0,54 & 0,45 & \begin{matrix} 0,45 & 0,86 & \begin{matrix} 1,00 & 0,79 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0,14 & 0,22 & \begin{matrix} 0,59 & 0,25 & \begin{matrix} 0,38 & 0,80 & \begin{matrix} 0,79 & 1,00 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$ r^*=0,6 1^0. ODRZUCAMY ZMIENNE SPEŁNIAJĄCE WARUNKI |R0J|≤ R^* (ODRZUCAMY X1,X2,X4,X5) 2^0. WYBIERAMY ZMIENNĄ DLA KTÓREJ |RN|=MAX{|R0J|} RN=R7=0,91→X7 3^0. ODRZUCAMY ZMIENNE SPEŁNIAJĄCE RELACJĘ |RNI|≥R^* (ODRZUCAMY X6 I X8) ODP: X7 I X3 :

KLASYCZNA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW NOWAK 2.10/50 DANE SĄ OBSERWACJE ZMIENNYCH Y X1 X2 . OSZACOWAĆ PARAMETRY STRUKTURALNE I PARAMETRY STRUKTURY STOCHASTYCZNEJ MODELU LINIOWEGO OPISUJĄCEGO KSZTAŁTOWANIE SIĘ ZMIENNEJ Y OD ZMIENNYCH X1 X2 t YT X1t X2t Yt*X1t X1t^2 X1t*X2t Yt*X2t X2t^2 1 2 3 4 5 2 2 3 3 5 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 2 0 3 5 0 1 0 1 1 0 0 0 1 2 0 0 0 3 5 0 0 0 1 1 15 3 2 10 3 2 8 2 UKŁAD RÓWNAŃ Yt =α0+α1X1t+α2x2+εt PARAMETRY STRUKTURALNE α0 α1 α2 Σyt=na0 +a1Σx1t+a2Σx2t Σyt *x1t=a0Σx1t+a1Σx1t^2+a2Σx1t*x2t Σyt*x2t=a0Σx2t+a1Σx1t*x2t+a2Σx2t^2 15=5a0+3a1+2a2 10=3a0+3a1+2a2 8=2a0+2a1+2a2/ :2 15=5a0+3a1+2a2 10=3a0+3a1+2a2 4=a0+a1+a2 a0=4-a1-a2 15=5*(4-a1-a2)+ 3a1+2a2 10=3*(4-a1-a2)+ 3a1+2a2 ŷt=2,5 -0,5 X1t +2X2t +εt x RACHUNEK MACIERZOWY: a=(X^TX)^-1*Xty $y = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 3 \\ \end{matrix} \\ 3 \\ 5 \\ \end{bmatrix}$ $x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$ $\text{\ \ x}^{T}y = \ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$* $\begin{bmatrix} \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 3 \\ \end{matrix} \\ 3 \\ 5 \\ \end{bmatrix}$ =$\begin{bmatrix} 15 \\ 10 \\ 8 \\ \end{bmatrix}$ =$\begin{bmatrix} \Sigma y_{t} \\ \Sigma y1*x_{1t} \\ \Sigma x_{2t}*y_{1} \\ \end{bmatrix}$ $$X^{T}X = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}*\left\lbrack \ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{matrix} \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 3 & 2 \\ 3 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n, & \Sigma x_{1t} & \Sigma x_{2t} \\ \Sigma x_{1t} & {\Sigma x_{1t}}^{2} & \Sigma x_{1t}*x_{2t} \\ \Sigma x_{2t} & \Sigma x_{1t}*x_{2t} & {\Sigma x_{2t}}^{2} \\ \end{bmatrix}$$ (X^TX)^-1=$\frac{1}{det(X^{T}X)}{*(X^{T}X)}^{D}$ det$\begin{bmatrix} 5 & 3 & 2 \\ 3 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ \end{bmatrix}\begin{matrix} 5 & 3 \\ 3 & 3 \\ 2 & 2 \\ \end{matrix}$ =(5*3*2)+(3*2*2)+(2*3*2)-(2*3*2)-(2*2*5)-(2*3*3)= 30+12+12-12-20-18=4 $$\left( X^{T}X \right)^{D} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 3 \\ \end{bmatrix} \\ \end{bmatrix}*\left( - 1 \right)^{i + j} = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 6 & 4 \\ 0 & 4 & 6 \\ \end{bmatrix}*({- 1)}^{i + j} = \begin{bmatrix} 2 & - 2 & 0 \\ - 2 & 6 & - 4 \\ 0 & - 4 & 6 \\ \end{bmatrix}$$ (X^TX)^-1=1/4 *$\begin{bmatrix} 2 & - 2 & 0 \\ - 2 & 6 & - 4 \\ 0 & - 4 & 6 \\ \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} 0,5 & - 0,5 & 0 \\ - 0,5 & 1,5 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1,5 \\ \end{bmatrix}$ a=$\begin{bmatrix} 0,5 & - 0,5 & 0 \\ - 0,5 & 1,5 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1,5 \\ \end{bmatrix}$ * $\begin{bmatrix} 15 \\ 10 \\ 8 \\ \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} 2,5 \\ - 0,5 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{matrix} (0,5*15 - 0,5*10 + 0*8) \\ ( - 0,5*15 + 1,5*10 - 1*8) \\ (0*15 - 1*10 + 1,5*8) \\ \end{matrix}$ WARIANCJA SKŁADNIKA LOSOWEGO $Se^{2} = \frac{1}{n - k}*{\sum_{t = 1}^{n}{(y_{t}} - y_{t})}^{2} = \frac{1}{n - k}(y^{T}y - y^{T}*x*a)$ n-liczba obser. hist ; k-liczba oszacowanych par. strukturalnych et=yt=ŷt - reszta t yt X1t X2t Ŷt Yt- Ŷt (Yt- Ŷt)^2 1 2 3 4 5 2 2 3 3 5 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 Ŷt1=2,5-0,5*0+2*0=2,5 Ŷt2=2,5-0,5*1+2*0=2,0 Ŷt3=2,5-0,5*0+2*0=2,5 Ŷt4=2,5-0,5*1+2*1=4,0 Ŷt5=2,5-0,5*1+2*1=4,0 0,5 0,0 0,5 -1,0 1,0 0,25 0,00 0,25 1,00 1,00 15 2,5 $Se^{2} = \frac{1}{5 - 3}*2,5\ \sim 1,25j^{2}$ ODCHYLENIE SKŁADNIKA LOSOWEGO : Se=$\sqrt{\text{Se}^{2}}\sim 1,12$ ŚREDNIE BŁĘDY SZACUNKU I MACIERZ WARIANCJI- KOWARIANCJI D^2(a)= Se^2*(X^TX)^-1=1,25*$\begin{bmatrix} 0,5 & - 0,5 & 0 \\ - 0,5 & 1,5 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1,5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0,63 & - 0,63 & 0 \\ - 0,63 & 1,88 & - 1,25 \\ 0 & - 1,25 & 1,88 \\ \end{bmatrix}$ wariancje Kowariancje D(a0)=$\sqrt{0,63}\sim 0,79$ D(a1)=$\ \sqrt{1,88}\sim 1,37$ D(a2)=$\ \sqrt{1,88}\sim 1,37$ ŷt=$\frac{2,5}{0,79} - \frac{0,5\ X_{1t}}{1,37} + \frac{2X_{2t}}{1,37} + \varepsilon_{t}$ $$y_{t} - {\overset{\overline{}}{y}}_{t}$$ $${(y_{t} - {\overset{\overline{}}{y}}_{t})}^{2}$$ -1 1 -1 1 0 0 0 0 2 4 WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚĆI :$\varphi^{2} = \frac{\sum_{t = 1}^{n}{(y_{t} - y_{t})}^{2}}{\sum_{t = 1}^{n}{(y_{t} - {\overset{\overline{}}{y}}_{t})}^{2}} = \frac{\left( n - k \right)*\text{Se}^{2}}{\sum_{t = 1}^{n}{(y_{t} - {\overset{\overline{}}{\overset{\overline{}}{y}}}_{t})}^{2}} = \frac{y^{T}y - y^{T}*x*a}{{(y - \overset{\overline{}}{y})}^{T}*(y - \overset{\overline{}}{y})} = \frac{2,5}{6}\sim 0,42\ \ = 42\%\ (im\ mniejszy\ tym\ lepszy)$ φ^2 ∈ <0; 1> WSPÓŁCZYNNIK DETERMINACJI R^2: R^2 = 1 − φ^2 = 1 − 0, 42 ∼ 0, 58 (58%) im wiekszy tym lepszy $R^{2} = \frac{\sum_{t = 1}^{n}{(y_{t} - {\overset{\overline{}}{y}}_{t})}^{2}}{\sum_{t = 1}^{n}{(y_{t} - {\overset{\overline{}}{y}}_{t})}^{2}}$ R^2∈ < 0; 1> WSPÓLCZYNNIK KORELACJI WIELORAKIEJ: $R = \sqrt{R^{2}} = \sqrt{1 - \varphi^{2}} = \sqrt{0,58}\sim 0,76$ R ∈ < 0; 1> WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI LOSOWEJ: ⱴE=$\frac{\text{Se}}{\overset{\overline{}}{y}}*100\% = \frac{1,12}{3}*100\% = 37\%\ \ JEST\ DOBRZE\ GDY\ WARTOsc\ TA\ NIE\ PRZEKRACZA\ 10\%\ $ BADANIE ISTOTNOŚCI PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH (DANE Z ZAD. 23 KUKUŁA) TEST STUDENTA 1° SFORMUŁOWANIE HIPOTEZ H0: ΑI = 0 (NIEISTOTNE) H1: ΑI ≠ 0 (ISTOTNE) 2° SPRAWDZIAN HIPOTEZY TAI = $\frac{a_{i}}{D{(a}_{i})}$ AI- WARTOŚĆ PRZY X, PARAMETR STRUKTURALNY, D(AI) - ŚREDNI BŁĄD SZACUNKU TA0 = $\frac{6,2}{2,26} = 2,74$ TA1 = $\frac{1,3}{0,85} = 1,53$ TA2 = $\frac{2,6}{1,05} = \ 2,48$ 3° WYZNACZANIE ZBIORU KRYTYCZNEGO Α = 0,05 DF = N-K = 5-3 = 2 STOPNIE SWOBODY, K-LICZBA PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH, N-LICZBA OBSERWACJI TΑ = 4,303 JEŻELI |TAI| ≤ TΑ TO NIE MA PODSTAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H0. PARAMETRY SĄ NIEISTOTNE. JEŻELI |TAI| > TΑ TO ODRZUCAMY HIPOTEZĘ H0 NA RZECZ H1. PARAMETRY SĄ ISTOTNE. TEST SNEDECORA - FISCHERA (F-SNEDECORA) 1° SFORMUŁOWANIE HIPOTEZ H0: Α1=Α2=Α3=...=ΑN=0 (NIEISTOTNE) H1: Α1+Α2+Α3+...+ΑN ≠ 0 (ISTOTNE) 2° SPRAWDZIAN HIPOTEZY F= $\frac{R^{2}}{1 - R^{2}} \times \frac{n - k}{k - 1}$ = $\frac{0,87}{0,13} \times \frac{5 - 3}{3 - 1} = 6,69$ 3° WYZNACZANIE ZBIORU KRYTYCZNEGO Α=0,05, DF1= K-1= 3-1=2, DF2= N-K = 5-3=2 FΑ=19 JEŻELI F≤ FΑ TO NIE MA PODSTAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H0. PARAMETRY SĄ NIEISTOTNE. JEŻELI F> FΑ TO ODRZUCAMY HIPOTEZĘ H0 NA RZECZ H1. PARAMETRY SĄ ISTOTNE. MODELE NIELINIOWE. MODEL HIPERBOLICZNY 4.26 S. 83 (NOWAK) NA PODSTAWIE NASTĘPUJĄCYCH OBSERWACJI ZMIENNYCH Y I X OSZACOWAĆ PARAMETRY STRUKTURALNE MODELU HIPERBOLICZNEGO OPISUJĄCEGO ZALEŻNOŚCI ZMIENNEJ Y OD XO POSTACI: t Yt Xt Zt Zt*Xt Xt^2 1 1,000 1 1 1 1 2 0,500 2 2 4 4 3 0,500 3 2 6 9 4 0,400 3 2,5 7,5 9 5 0,400 4 2,5 10 16 6 0,333 4 3 12 16 7 0,250 5 4 20 25 8 0,200 7 5 35 49 9 0,125 9 8 72 81 10 0,100 12 10 120 144 E50 E40 E287,5 E354 Yt=$\frac{1}{\alpha 0 + \alpha 1x1}$ /()^-1 $\frac{1}{\text{Yt}}$=α0+α1X1 $\frac{1}{\text{Yt}} = Zt$ Zt=α0+α1+X1 $$\left\{ \begin{matrix} E\ \text{Zt} = \text{na}0 + a1\ E\ \text{Xt} \\ E\ \text{Zt}*\text{Xt} = a0\ E\ \text{Xt} + a1\ E\ \text{Xt}^{2} \\ \end{matrix} \right.\ $$ 40=10a0+50a1 287,5=50a0+345a1 a1=0,84 a0=-0,2 Yt=$\frac{1}{- 0,2 + 0,84\text{Xt}}$ BADANIE AUTOKORELACJI (TEST DURBINA-WATSONA) 5.25/102 NOWAK DLA TRENDU LINIOWEGO OTRZYMANO CIĄG LICZB t et et-1 et-et-1 (et-et-1)^2 et^2 1 -0,1 - - - 0,01 2 0,4 -0,1 0,5 0,25 0,16 3 -0,2 0,4 -0,6 0,36 0,04 4 0,2 -0,2 0,4 0,16 0,04 5 0,6 0,2 0,4 0,16 0,36 6 -0,3 0,6 -0,9 0,81 0,09 7 -0,2 -0,3 0,1 0,01 0,04 8 0,5 -0,2 0,7 0,49 0,25 9 -0,2 0,5 -0,7 0,49 0,04 10 -0,4 -0,2 -0,2 0,04 0,16 11 -0,5 -0,4 -0,1 0,01 0,25 12 0,3 -0,5 0,8 0,64 0,09 13 0,2 0,3 -0,1 0,01 0,04 14 0,4 0,2 0,2 0,04 0,16 15 -0,5 0,4 -0,9 0,81 0,25 16 0,1 -0,5 0,6 0,36 0.01 17 -0,5 0,1 -0,6 0,36 0,25 18 0,4 -0,5 0,9 0,81 0,16 19 0,1 0,4 -0,3 0,09 0,01 PRZY POZIOMIE ISTOTNOŚCI Α=0,05 ZBADAĆ ZA POMOCĄ TESTU DURBINA-WATSONA CZY WYSTĘPUJE AUTOKORELACJA ODCHYLEŃ LOSOWYCH PIERWSZEGO RZĘDU. 1^0 SFORMUŁOWANIE HIPOTEZ: H0: Ρ=0 – BRAK AUTOKORELACJI H1: Ρ≠0 – WYSTĘPUJE AUTOKORELACJA 2^0 SPRAWDZIAN HIPOTEZY D NALEŻY DO ZBIORU LICZB Z ZAKRESU <0,4>; $\sum_{t = 2}^{n}{(e_{t} - e_{t - 1})}^{2}$=5,9; $\sum_{t = 1}^{n}e_{t}^{2}$=2,41 $d = \frac{\sum_{t = 2}^{n}{(e_{t} - e_{t - 1})}^{2}}{\sum_{t = 1}^{n}e_{t}^{2}}$=$\frac{5,9}{2,41} \approx 2,45 \approx 2$ JEŻELI D=2 TO MAMY DO CZYNIENIA Z BRAKIEM AUTOKORELACJI. (INNE MOŻLIWOŚCI: JEŻELI D<2 TO MAMY PODEJRZENIE O WYSTĘPOWANIE AUTOKORELACJI DODATNICH. JEŻELI D NALEŻY DO ZAKRESU LICZB (2,4> MAMY PODEJRZENIE O WYSTĘPOWANIE AUTOKORELACJI UJEMNEJ. WÓWCZAS OBLICZAMY D’=4-D. D’=4-2,45=1,55 – PORÓWNUJEMY Z TABLICAMI). 3^0 WYZNACZANIE ZBIORU KRYTYCZNEGO Α=0,05, N=19, K-1 – LICZBA ZMIENNYCH W MODELU, K-1=1 DL=1,18 DU=1,40 JEŻELI D>DU TO NIE MA PODSTAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H0. MAMY DO CZYNIENIA Z BRAKIEM AUTOKORELACJI. (INNE MOŻLIWOŚCI: JEŻELI D<DL TO ODRZUCAMY H0 NA RZECZ H1 – WYSTĘPUJE AUTOKORELACJA. JEŻELI DL≤D≤DU – TO NIE MOŻEMY JEDNOZNACZNIE STWIERDZIĆ BRAKU AUTOKORELACJI).