Zajęcia numer 1 i 2 – 29,30 października 2011 roku Liczby i wyrażenia algebraiczne

To musisz umieć:

Dodawanie i mnożenie w zakresie 100 musisz umieć wykonywać w pamięci.

Symbole matematyczne:

≥	większy lub równy	≤	mniejszy lub równy	=	równy	≠	nierówny (różny)		w przybliżeniu równy		przystający
>	większy	<	mniejszy		równoległy	$$\overset{\rightarrow}{a}$$	wektor a		proporcjonalny		prostopadły
U	suma zbiorów	W	iloczyn zbiorów	\	różnica zbiorów		należy do	|x|	wartość bezwzględna x		nie należy do
∧	i, oraz	∨	lub	⇔	jest równoważne	⇒	wynika		nieskończoność	∑	suma

„Umowy” matematyczne:

3ab = 3 • a • b $2\frac{2}{3} = 2 + \frac{2}{3}$ $\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}$ a³ = a • a • a

1a = a a¹ = a      3(a+b) = 3 • (a + b) log2=log₁₀2 x+3=1x+3

Rodzaje liczb:

N= {0,1,2,3,...} – liczby naturalne C= {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} – liczby całkowite

- liczby wymierne, można przedstawić jako ułamek dziesiętny skończony lub dziesiętny nieskończony okresowy (uwaga: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}\text{\ \ \ \ \ } - 7 = \frac{- 7}{1}\ \ \ \ \ 0 = \frac{0}{1}$)

NW = - liczby niewymierne można przedstawić jako ułamek dziesiętny nieskończony i nieokresowy. W NW = R - liczby rzeczywiste W NW = NCWR

Liczby ujemne:

4-(+5)=4-5=-1 (-4)•5=-4•5=-20

4-(-5)=4+5=9 (-4)• (-5)=-4•(-5)=20

4+(-5)=4-5=-1 4• (-5) =-20

-4-(+5)=-4-5=-9 20:(-5)=-4

-4+(-5)=-4-5=-9 -20:(-5)=4

-4-(-5)=-4+5=1 -20:5=-4

Liczby przeciwne – liczby, których suma jest równa zero : a +( –a)=0.

Liczby odwrotne – liczby, których iloczyn jest równy 1: $a \bullet \frac{1}{a} = 1$

Kolejność wykonywania działań:

{2[2(2+1)+4]+3} • 2 + 2 • 3 = {2[2•3+4]+3} • 2 + 6 = {2•10+3} • 2 + 6 = 23 • 2 + 6 = 46 + 6 = 52

2 + 3 • 4² = 2 + 3 • 16 = 2 + 48 = 50 5 − 3² = 5 − 9 = −4

Cechy podzielności:

Przez 10 – ostatnia cyfra 0. Przez 2 – ostatnia cyfra parzysta (zero jest parzyste).

Przez 5 – ostatnia cyfra 0 lub 5. Przez 3 – suma cyfr podzielna przez 3.

Przez 9 – suma cyfr podzielna przez 9. Przez 6 – podzielna przez dwa i trzy.

Przez 4 – dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielna przez cztery.

Liczby pierwsze: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… Liczby złożone: 4,6,8,9,10,12,14,15,…

Ułamki:

Skracanie ułamków: $\frac{49}{14} = \frac{49:7}{14:7} = \frac{7}{2}$ Rozszerzanie ułamków: $7 = \frac{7}{1} = \frac{7 \bullet 5}{1 \bullet 5} = \frac{35}{5}$

Dodawanie ułamków: $2\frac{1}{2} + 3\frac{2}{3} = \frac{5}{2} + \frac{11}{3} = \frac{5 \bullet 3}{2 \bullet 3} + \frac{11 \bullet 2}{3 \bullet 2} = \frac{15}{6} + \frac{22}{6} = \frac{37}{6} = 6\frac{1}{6}$

Odejmowanie ułamków: $\frac{1}{2} - \frac{2}{3} = \frac{1 \bullet 3}{2 \bullet 3} - \frac{2 \bullet 2}{3 \bullet 2} = \frac{3}{6} - \frac{4}{6} = \frac{- 1}{6} = - \frac{1}{6}$ Mnożenie ułamków: $5 \bullet \frac{3}{7} = \frac{5}{1} \bullet \frac{3}{7} = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7}$

Dzielenie ułamków: $\frac{5}{4}:\frac{3}{7} = \frac{5}{4} \bullet \frac{7}{3} = \frac{35}{12} = 2\frac{11}{12}$ Uwaga: $\frac{\frac{12}{7}}{4} = \frac{12}{7 \bullet 4} = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}$, ale $\frac{12}{\frac{7}{4}} = 12:\frac{7}{4} = 12 \bullet \frac{4}{7} = \frac{48}{7} = 6\frac{6}{7}$

Liczby dziesiętne: $0,24 = \frac{24}{100}$

Przybliżenia liczb dziesiętnych (przykład z dokładnością do części dziesiętnych):

z niedomiarem 2,34362,34 (pierwsza odrzucona cyfra to 0,1,2,3 lub 4),

z nadmiarem 2,34632,35 (pierwsza odrzucona cyfra to 5,6,7,8 lub 9) – do ostatniej pozostawionej cyfry dodajemy 1.

Ułamek okresowy – 0,372372372... = 0,(372)=a

Zauważmy, że 0,001a=0,000372372372... a-0,001a=0,372, stąd 0,999a=0,372

Pierwiastek: $\text{Je}s\text{li\ }a \geq 0,b\mathbf{\geq}0\mathbf{,\ }n \in N\ i\ n > 1\ ,\ \text{to}\mathbf{\ (\ }\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}}\mathbf{=}\mathbf{b \Leftrightarrow}\mathbf{\ }\mathbf{b}^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{a}\mathbf{)}$

Potęgi:

ale

Zbiory:

AB={x: xA xB} AB={x: xA xB} A\B={ x: xA xB}

Przedziały:

(a,b)={xR: a<x<b} (a,+)={xR: x>a}

(a,b={xR: a<xb} a,+)={xR: xa}

a,b)={xR: ax<b} (-, b)={xR: x<b}

a,b={xR: axb} (-, b={xR: xb}

Wartość bezwzględna:

|4| = 4               |−5| = 5                    |0| = 0

Odległość między liczbami a i b na osi liczbowej jest równa |a−b| lub |b−a|

Na osi liczbowej:

Procenty:

1

Zamiana procentu na liczbę – dzielimy przez 100%.

Zamiana liczby na procent – mnożymy przez 100%.

1.Obliczanie danego procentu z danej liczby: 5,4%z liczby 180 = 0,054·180.

2. Powiększanie lub zmniejszanie liczby o dany procent. 315 zł – 8%z 315 zł =92% z 315 zł.

3. Znajdowanie niewiadomej liczby z danego procentu: 70% z x =4,55.

4. Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba: Jakim procentem liczby 400 jest liczba 352.

5. Obliczanie zmian procentowych: cena wzrosła z 32 zł do 33,50 zł. O ile % wzrosła cena?

Punkt procentowy –gdy mówimy o zmianie wielkości, która już była wyrażona w procentach.

Uwaga 3 punkty procentowe to nie 3%.

Procent składany:

, gdzie K-kapitał początkowy, złożony na n lat w banku na p% w skali roku.

Równania:

4x=17 18=6x 18:x=6 x+4=9 x-5=2 -x=7 5-x=3 $\frac{18}{x} = 6$ $\frac{x}{6} = 3$

x=17:4 x=18:6 x=18:6 x=9-4 x=5+2 x=-7 x=5-3 $x = \frac{18}{6}$ x=36

1. Obie strony równania możemy pomnożyć lub podzielić przez to samo wyrażenie (liczbę) różne od zera (w praktyce - dzielimy przez współczynnik przy wyliczanej niewiadomej) .

2. Do obu stron równania możemy dodać lub odjąć dowolne wyrażenie (w praktyce – przenoszenie na drugą stronę ze zmienionym znakiem na przeciwny).

3. Te same reguły stosujemy do nierówności z tym, że dzieląc przez liczbę ujemną zmieniamy znak nierówności (np. z > na <).

4. Praktyczne rozwiązywanie równań typu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (lub $a = \frac{a}{1} = \frac{c}{d}$)

Równanie równoważne to a • d = b • c (mnożenie na krzyż).

Wyrażenia algebraiczne:

Jednomian - wyrażenie będące iloczynem liczb i zmiennych.

Wyrazy podobne – jednomiany różniące się współczynnikiem liczbowym.

Wielomian stopnia n zmiennej x – wyrażenie postaci

Wzory skróconego mnożenia:

Wyrażenia wymierne:

Wyrażenie wymierne – iloraz dwóch wielomianów: .

Działania na wyrażeniach wymiernych - analogia do ułamków zwykłych.

Dziedzina wyrażenia wymiernego: zbiór liczb dla których wyrażenie ma sens liczbowy (w przypadku wyrażeń wymiernych wielomian będący mianownikiem nie może być równy zeru, a pod pierwiastkiem kwadratowym wyrażenie nieujemne).

Logarytmy:

Jeśli a>0, b>0 , a≠1, , to:

Jeśli x>0, y>0 ,a>0, a≠1, rR, to:

a^logax = x

Zestaw zadań do zajęć:

Zad.1. Liczbą mniejszą od zera jest: $A. - 3^{2}\text{\ \ \ \ \ \ }B.\left( - 3 \right)^{2}\text{\ \ \ \ \ \ \ }C.\sqrt{2} - 1,4142\ \ \ \ \ \ \ D.\left| 3,14 - \pi \right|$

Zad.2. Liczba $\sqrt[4]{5} \bullet \sqrt[6]{5}$ jest równa liczbie: $A.\sqrt[24]{5}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }B.\sqrt[10]{5}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }C.\sqrt[5]{5^{12}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }D.\sqrt[12]{5^{5}}$

Zad.3. Liczba log₃(log30−log3) jest równa : A.0            B.1              C.2              D.3

Zad.4. Zbiorem rozwiązań nierówności jest (-3,11). Nierówność może mieć postać:

A.|x+4| < 7            B.|x−4| < 7                C.|x+4| > 7                   D.|x−4| > 7  

Zad.5. Wartość W(x) = 2x − x² − x³  dla x=-3 jest równa: A.−42     B.−24    C.12     D.30

Zad.6. Po wykonaniu działań w wyrażeniu $\frac{x}{x - 1} - \frac{x + 1}{x}$ otrzymamy:

$$A.\frac{1}{x - 1}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }B.\frac{- 1}{x - 1}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }C.\frac{- 1}{x(x - 1)}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }D.\frac{1}{x(x - 1)}$$

Zad.7. Liczba $\left( \sqrt{2} + 4 \right)^{3}$ Jest równa: $\text{\ \ }A.88 + 50\sqrt{2}\text{\ \ \ \ \ }B.90 + 48\sqrt{2}\text{\ \ \ \ }C.72 + 8\sqrt{2}\text{\ \ \ \ }D.64 + 2\sqrt{2}$

Zad.8. Największą liczbą całkowitą należącą do dziedziny funkcji $f\left( x \right) = \sqrt{20 - 4x}$ jest:

A.−5                               B.−4                       C.5                               D.6

Zad.10. Oblicz wartość liczby: $x = 5\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \bullet 81^{\frac{1}{2}} + 3^{3} - 3^{- 1} - 3^{2}$.

Zad.11. Kurtka kosztowała 120 zł. Po obniżce ceny kurtki o 20% nowa cena kurtki to:

A) 100 zł B) 24 zł C) 96 zł D) 144 zł

Zad.12. Liczba 8²⁰:2⁴⁰ jest równa: A) 2³⁰ B)4^-20 C) 4¹⁰ D) 8^-10

Zad.13. Liczba jest równa:

Zad.14. Wskaż liczbę przeciwną do liczby a, gdy :

Zad.15. Wykaż, że liczba 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + … + 3¹⁰⁰ jest podzielna przez 6.

Zad.16. Dwa boki trójkąta mają długość 10 cm i 32 cm. Trzeci bok trójkąta może mieć długość:

A) 16 cm B) 24 cm C) 44 cm D) 48 cm

Zad.17. Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są parzyste?

A) 16 B) 20 C)24) D)25

Zad.18. Która liczba jest rozwiązaniem równania?

Zad.19. Wskaż liczbę, której 4% jest równe 8. A)3,2 B)32 C)100 D)200

Zad.20. Liczba jest równa: A) 0,5 B) 1 C) 2 D) 4

Zad.21. Dane są wielomiany i . Wartość wielomianu jest równa:

Zad.22. Liczbą wymierną jest liczba: $A.3^{\frac{1}{2}} \bullet 4^{- 2} \bullet 5\ \ \ \ \ \ B.3^{\frac{1}{2}} \bullet 2^{\frac{1}{2}} \bullet 5\ \ \ \ \ \ \ C.9^{\frac{1}{2}} \bullet 4^{- \frac{1}{2}} \bullet 5^{2}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }D.9^{\frac{1}{2}} \bullet 2^{\frac{1}{2}} \bullet 5^{2}\text{\ \ }$

Zad.23. Liczba 21 jest równa 0,3% liczby x. Wynika stąd:

A.x = 700                     B.x = 7000                           C.x = 0, 63                            D.x = 0, 063

Zad.24. Jeśli log₃5 = a ∧ log₃45 = b,to liczba log₃5 + log₃45 jest równa:

 A.a − b B.3^ab C.2a + 2   D.a² + 2

Zad.25. W przedziale (3,729) potęg liczby 3 jest: A.6              B.5                      C.4                   D.3

Zad.26. Wiadomo, że $x = \sqrt{9 + \sqrt{256}}$. Wynika stąd, że:

 A.x = 3 + 16                    B.x = 9 + 4                     C.x = 3 + 4                               D.1 + 4

Zad.27. Dane są zbiory $A = \left( - \frac{3}{2},5)\ \ \ i\text{\ \ \ }B = N \right)$. Wówczas Iloczyn zbiorów A ∩ B jest równy:

A.<0, 5)                    B.<0, 4 >                        C.{1,2,3,4} D.{0, 1, 2, 3, 4}

Zad.28. Jeśli $a = 2\sqrt{3} - \sqrt{5}$ , to liczba odwrotna do a jest równa:

$$A.\frac{1}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{5}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }B. - 2\sqrt{3} + 5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C.\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{5}}{7}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }D.\frac{2\sqrt{3} - \sqrt{5}}{7}\ $$

Zad.29. Zbiór liczb, które na osi liczbowej są równoodległe od liczb (-6) i 10 można opisać za pomocą równania:

A.|x+6| = |x−10| B.|x−6| = |x−10| C.|x+6| = |x+10| D.|x−6| = |x+10|

Zad.30. Jeśli x² + y² = 84 i xy = 35, to kwadrat sumy liczb x,y jest równy: A.6986                               B.154                            C.109                           D.49

Zad.31. Ośmiocyfrowe numery telefonów w pewnym mieście są tworzone z cyfr: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, przy czym numery nie mogą zaczynać się od cyfry 9. Ile najwięcej takich numerów telefonicznych można utworzyć? A. 9⁷ B. 10⁸·10⁷ C. 8¹⁰-7¹⁰ D. 10⁸-10⁷

Zad.32. $\mathbf{33}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{\%}$ liczby m jest równe wartości wyrażenia $\left( \frac{1}{2} \right)^{- 1} + 2^{- 2} - \left( \frac{1}{16} \right)^{\frac{1}{2}}$ . Liczba m jest wiec równa: A. 3 B. 6 C. 2 D. -30

Zad.33. Najmniejsza wartość wyrażenia |x| + |x+2| jest równa: A. 0 B. 1 C. 2 D. -2

Zad.34. Rozwiązaniem równania |6−2x| = 1   są liczby:

A. przeciwne B. różniące się o 1 C. całkowite D. niewymierne

Zad.35.

Wskaż równość prawdziwą.

A.4^log₂5=25 B.4^1−log₂5=25 C.4^log₂4=4 D.5^log₂₅5=25

Zad.36.

Wykaż, że liczba $a = \log_{2\sqrt{2}}8 - \log_{\frac{1}{2}}0,25$ nie jest ani liczba pierwszą, ani złożoną.

Zad.37.

Wykaż, że liczba $\sqrt{6\sqrt{3} + 12}$ jest większa od 4.

Zad.38.

Wiadomo, że $a > 0\ i\ \frac{1}{a} + a = 2$. Wykaż, że $a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = a + \frac{1}{a}$.

Zad.39.

Wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez 3 jest: A.29 B.30 C.31 D.33

Zad.40.

Wielomiany V(x) = (ax+1)(x²+b) i W(x) = 2x³ + x² + 2x + 1 są równe. Wyznacz a i b.

Zad.41.

Liczbę $\frac{4 - 6\sqrt{3}}{- 2}$ można przedstawić w postaci:

A.$- 2 - 6\sqrt{3}$ B.$- 2 - 3\sqrt{3}$ C.$- 4 + 3\sqrt{3}$ D.$- 2 + 3\sqrt{3}$

Zad.42.

Poparcie dla partii „RADYKALNI" w kwietniu było równe 24%. W maju poparcie dla tej wynosiło 27%. Zatem poparcie dla partii „RADYKALNI" wzrosło o: A. 3% B. 12,5% C. 25% D. $11\frac{1}{9}\%$

Zad.43.

Przybliżenie z nadmiarem liczby dodatniej x wynosi 13. Błąd względny tego przybliżeni nosi 0,04. Wobec tego: A. x=13,52 B. x=13,5 C. x=12,5 D. x=12,48

Zad.34.

Po rozłożeniu na czynniki wyrażenie 4 − 25(x−y)² ma postać:

A. 2 • 2 - 5 • 5 • (x-y)(x-y) C. (2 - 5x + 5y)(2 + 5x - 5v)

B. (2 - 25x + 25y)(2 + 25x - 25y) D. (2 - 5x - 5y)(2 + 5x - 5y).

Zad.44.

Liczba $3\log_{4}2 - \frac{1}{2}\log_{4}16$ jest równa: A. $\log_{4}\frac{9}{256}$ B. 0,5 C. 2 D. ${\frac{3}{2}\log}_{4}\frac{1}{8}$