7.Przewodzenie ciepła przez ściankę płaską- wyprowadzenie z II prawa Fouriera.

Ruch ciepła odbywa się tylko w kierunku x. $\frac{\partial T}{\partial\tau} = a\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}$ ; . $\frac{\partial T}{\partial\tau} = const\ $dla ustalonego. Całkujemy: 1 uprosz. ∇²T = 0 – przew. Ustalone; 2 uprosz. $\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}} = 0$ po scałkowaniu T=C₁x+C₂, biorąc pod uwagę kinetykę przew. Ustalonego w 1 kier. Ustalam warunki brzegowe: x=0 → T=T₁; x=s → T=T_2. C₁,C₂- stałe całkowania liczymy z warunków brzegowych. Stosuje się dwukrotne całkowanie: jeżeli x=0 → T=C₂=T₁; jeżeli x=s → C₁=(T₂-T₁)/s; $T = \frac{T_{2} - T_{1}}{\rho}x + T_{1} = T_{1} - \frac{{(T}_{2} - T_{1})x}{s}$ ; Wstawiamy do równania Fouriera i całkuję $q = - \lambda\frac{\partial T}{\partial x}$ → q=$\frac{\mathbf{\lambda}}{\mathbf{s}}$(T₁ -T₂); λ-współ. przewodzenia ciepła; $\dot{\mathbf{Q}}$=$\mathbf{\ }\frac{\mathbf{\lambda}}{\mathbf{s}}\mathbf{\ }$A(T₁ -T₂); $\mathbf{\lambda =}\frac{\dot{\mathbf{Q}_{\mathbf{s}}}}{\mathbf{A(T}\mathbf{1\ }\mathbf{- T}\mathbf{2}\mathbf{)}}$

8. Przewodzenie ciepła przez układ płaski wielowarstwowy.

Rys. ma 3 warstwy zapis równań dla 2 warstw!

T_w1>T_w2>T_w3 ; q₁=$\frac{\lambda_{1}}{s_{1}}$ (T_w1-T_w2); q₂=$\frac{\lambda_{2}}{s_{2}}$ (T_w2-T_w3); q₁= q₂; W warunkach ustalonych, w każdej warstwie ta sama ilość ciepła dopływa i odpływa. ponieważ $\dot{Q} = QA$ →

$\dot{Q}\ $=$\dot{Q}$₁=$\dot{Q}$ ₂=$\frac{\lambda_{1}}{s_{1}}$ (T_w1-T_w2)A=$\frac{\lambda_{2}}{s_{2}}$ (T_w2-T_w3)A;

ΔT _w1= (T_w1- T_w2)=$\frac{\dot{Q}s_{1}}{\lambda_{1}A}$ ; ΔT_w2= (T_w2- T_w3)=$\frac{\dot{Q}s_{2}}{\lambda_{2}A}$ ;

ΔT= ΔT_w1+ ΔT_w2= T_w1-T_w2+ T_w2-T_w3= T_w1- T_w3=$\frac{\dot{Q}s_{1}}{\lambda_{1}A}$ + $\frac{\dot{Q}s_{2}}{\lambda_{2}A}$ ; ΔT=$\frac{\dot{Q}}{A}\ $($\ \frac{s_{1}}{\lambda_{1}}\ $+$\ \frac{s_{2}}{\lambda_{2}\ }$) ; $\dot{Q} = \frac{A\Delta T}{(\ \frac{s_{1}}{\lambda_{1}}\ + \ \frac{s_{2}}{\lambda_{2}\ })}$ - układ dwuskładnikowy; $\dot{\mathbf{Q}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{A}\mathbf{\Delta}\mathbf{T}}{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\frac{\mathbf{s}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{i}}}}$ - układ wielowarstwowy;$\ \mathbf{q =}\frac{\mathbf{\Delta}\mathbf{T}}{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\frac{\mathbf{s}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{i}}}}$ ; $\frac{s_{i}}{\lambda_{i}}$ - opór cieplny przewodzenia; Pozwala nam przy znajomości temp. Skrajnych, grubości poszczególnych warstw odpowiada. Im współ. przew. Obliczyć ciepło, które przewodzi całość układu.

9. Przewodzenie ciepła przez układ o zmiennym przekroju- wyprowadzenie z II prawa Fouriera.

a) układ jednowarstwowy o zmiennym przekroju:

ΔT ₁= T₁- T₂

Powierzchnia boczna walca (rury) jest powierzchnią przewodzenia ciepła i jest powierzchnią zmienną. s- droga przewodzenia, r_z- zewnętrzny promień rury, r_w- wewnętrzny promień rury; s=r_z-r_w=(d_z-d_w)/2 ; 2s= d_z-d_w ; ∇²T = 0 ; dla ruchu promieniowego: $\nabla^{2}T = \frac{\partial^{2}T}{\partial r^{2}} + \ \frac{1}{r}\ \frac{\partial T}{\partial r}$ dla ustalonego przew. Ciepła tylko w kierunku promienia; $\nabla^{2}T = \frac{\partial^{2}T}{\partial r^{2}} + \ \frac{1}{r}\ \frac{\partial T}{\partial r} = 0$ - I prawo Fouriera; jeżeli r=r_w → T=T₁ , r=r_z → T=T₂ –warunki brzegowe; T=C₁lnr+C₂ ; q=$\mathbf{\ }\frac{\mathbf{\lambda}}{\mathbf{s}}$ (T₁-T₂); $\dot{Q} = qA$; $\dot{\mathbf{Q}}$=$\mathbf{\ }\frac{\mathbf{\lambda}}{\mathbf{s}}$ A_m(T₁-T₂); A_m- śr. pow. boczna walca (rury) A_m=πd_mL; $d_{m} = \frac{d_{z} - d_{w}}{\ln\frac{d_{z}}{d_{w}}} = \frac{r_{z} - r_{w}}{\ln\frac{r_{z}}{r_{w}}}$ d_m- śród, średnica ekwiwalentna; Jeśli: d_z/d_w≤2 – śred. logarytmiczna= śred. arytmetyczna , d_z/d_w>2 – śred. logarytmiczna.

b) układ wielowarstwowy o zmiennym przekroju:

$\dot{\mathbf{Q}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\Delta}\mathbf{T}}{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\frac{\mathbf{s}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{i}}\mathbf{A}_{\mathbf{\text{mi}}}}}$