Ćwiczenia

1. Wypisać po kilka elementów z następujących zbiorów:

   • {n ∈ N: n jest podzielna przez 5}

   • {2ⁿ : n ∈ N }

   • {1/n : n=1,2,3,4}

   • { x ∈ R : x=k/n oraz k∈ {1,2} i n∈ {1,2,4,8} }

2. Jaka jest liczba elementów podanych poniżej zbiorów?

   • {n∈ N : n²=2}, {x∈ Q: x²=2}, {x∈ R: x²=2}

   • {n ∈ N: n jest liczbą pierwszą , niewiększą niż 10}

   • {n ∈ N: n jest potęgą 2}

   • {-1,1}, [-1, 1], (-1, 1)

   • {x ∈ Z: |x| <10}, {x ∈ R: |x| <10}

   • {n ∈ N : n jest liczbą parzystą i liczbą pierwszą}

3. Niech U={n∈ N : n<20} będzie ustalonym uniwersum i niech A i B będą jego podzbiorami takimi, że A= {2n+1 : n∈ N i n<6}, B = {3n+2 : n∈ N i n<6}. Wyznaczyć elementy zbiorów A ∪ B, A ∩ B, A\B, B\A, A ⊕ B.

4. Niech A={x∈ R : |x| ≥ 5} i B={x∈ R : -6 ≤ x<0}. Przedstawić graficznie te zbiory i wyznaczyć A∪ B, A∩ B, A\B, B\A.

5. Czy zdanie to jest prawdziwe?

A ∩ (∅ ∪ B) = A iff A ⊆ B.

6.

1. Wypisać elementy zbioru P(A), jeśli wiadomo, że A jest zbiorem pierwiastków równania x² -7x+6.

2. Udowodnić, że P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B) dla dowolnych A i B.

3. Jakie zależności muszą zachodzić aby

   • {a,b,c} = {b,c,d}

   • {{a,b},c,{d}} = {{a},c}

7. Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A, B zachodzą równości:

   1. A\B = A\(A ∩ B)

   2. A = (A ∩ B) ∪ (A\B)

   3. A\(B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C)

8. Udowodnić, że następujące równości nie zachodzą dla dowolnych

   • zbiorów (Wskazać kontrprzykłady) :

   • (A\B) ∪ B = A

   • (A∪ B) \B = A

9. Udowodnić, że zachodzą następujące równości

   • A ∩ (B⊕ C) = (A ∩ B) ⊕ ( A ∩ C)

   • A⊕ B =∅ iff A = B.

10. Rozwiązać układy równań

    • A\X = B, X\A =C, wiedząc, że B⊆ A i A ∩ C =∅.

    • A ∩ X = B, A∪ X =C, wiedząc, ze B ⊆ A ⊆C.

1. 11. Zaproponować algorytm pozwalający na wyliczenie sumy

2. teoriomnogościowej zbiorów. Przedyskutować przypadki :

   1. Zbiory A i B dane jako tablice (wektory) o dowolnych elementach.

   2. Elementy zbiorów są liczbami naturalnymi niewiększymi od k.

   3. Elementy zbiorów tworzą ciągi uporządkowane.