Katedra Wytrzymałości Materiałów Rok akad. 2013/2014

Wydział Inżynierii Lądowej Semestr zimowy

Politechniki Krakowskiej

PROJEKT NR 1

Z

WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Zawiera:

Wyznaczenie wymiarów przekroju poprzecznego belki

zginanej poprzecznie

Kamil Kupiec

Rok III Studia Zaoczne

Grupa ćw.: 03

Katedra Wytrzymałości Materiałów Kraków, 2014-01-03

Wydział Inżynierii Lądowej

Politechniki Krakowskiej

PROJEKT 1

Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Stud.: Kamil Kupiec III rok, Studia Zaoczne, sem. zim., rok ak. 2013/2014

Zaprojektować wymiary przekroju poprzecznego zginanej belki ze względu na stan graniczny nośności i użytkowania.

Po zaprojektowaniu wyznaczyć rozkład naprężeń normalnych i stycznych w przekroju α – α oraz obliczyć naprężenia główne i ich kierunki w punkcie K tego przekroju.

Otrzymane wyniki sprawdzić programami komputerowymi STATYKA i PRZEKRÓJ, załączyć wydruki rezultatów obliczeń

R=205 MPa, R_t=0,6 R, f_dop=l_max/250, E=205 GPa

Podpis prowadzącego ćwiczenia

1.Rozwiązanie belki

1.1.Obliczanie Reakcji

$\sum_{}^{}{M_{B} = o}$ 39-19*4*2+V_D*5,5+19*8=0 ⇒ V_D= -7,0909 kN

$\sum_{}^{}{M_{Y} = o}$ V_B-19*4+(-7,0909)+19=0 ⇒ V_B= 64,0909kN

Sprawdzenie obliczeń reakcji: $\sum_{}^{}V$ = V_B+V_D+19-19*4=0

1.2. Obliczenie wartości momentów zginających

Siłą podłużna N dla całej belki wynosi 0

I przedział AB, gdzie x ∈ (0;2)

Q=0 ⇒ Q(0)=0; Q(2)=0

M(x)=39 kNm ⇒ M(0)=39kNm; M(2)=39kNm

II przedział BC, gdzie x ∈ (2;6)

Q(x)= 64,0909-19*(x-2)

Q(2)= 64,0909kN

Q(6)= -11,9091kN

M(x)=39-64,0909*(x-2)+19*(x-2)*0,5*(x-2)

M(x)= 9,5x²-102,0909x+205,1818

M(2)=39kNm

M(6)= -65,3636kNm

M’(x)= 19x-102,0909

x= 5,3732m - ekstremum

M(5,3732) = -69,0959 kNm

III przedział CD, gdzie x ∈ (6;7,5)

Q(x)= 64,0909 – 19*4

Q(x)= -11,9091kN ⇒ Q(6)=-11,9091kN; Q(7,5)=-11,9091kN

M(x)= 39-64,0909*(x-2)+19*4*(x-4)

M(x)= -136,8182+11,9091x

M(6)= -65,3636kNm

M(7,5)=-47,5

IV przedział DE, gdzie x ∈ (7,5;10)

Q(x)=-19kN ⇒ Q(7,5)=-19kN; Q(10)=-19kN

M(x)= -19*(10-x)

M(7,5)=- 47,5kNm

M(10) = 0

Miejsce wystąpienia ekstremum momentu znajduje się w przedziale BC gdzie x=5,3732

Wartość ekstremalnego momentu M_ekstr = M(5,3732) = -69,0959 kNm

1.3. Wykresy momentów i zginających i sił poprzecznych

Wyniki z programu STATYKA, wersja Jun 02 2004 11:31:23

[e-mail] (Adam Zaborski)

------------------------------------------------

Slad danych:

-----------

punkty:

1 (0 , 0 )

2 (2 , 0 )

3 (6 , 0 )

4 (7.5 , 0 )

5 (10 , 0 )

elementy (od - do) (polozenie przegubow) (E, I, A):

1 (1 - 2) (brak) (1 1 1)

2 (2 - 3) (brak) (1 1 1)

3 (3 - 4) (brak) (1 1 1)

4 (4 - 5) (brak) (1 1 1)

wiezy (nr punktu) kod):

2) 2

4) 3

obciazenie:

sila pionowa -19 w punkcie 5

moment skupiony -39 na elemencie 1 (poczatek)

obciazenie pionowe (19, 19) na elemencie 2

Wyniki:

-------

Reakcje:

--------

V2 = -64.0909

V4 = 7.09091

H4 = 0

Element nr 1:

-------------

Moment zginajacy:

M(x = 0) = -39

M(x = 2) = -39

Sila poprzeczna:

Q(x = 0) = 0

Q(x = 2) = 0

Sila podluzna:

N(x = 0) = 0

N(x = 2) = 0

Przemieszczenia wezlowe:

kat(x = 0) = 6.89015

dx(x = 0) = 0

dy(x = 0) = -91.7803

kat(x = 2) = 84.8902

dx(x = 2) = 0

dy(x = 2) = 0

Maksymalne ugiecie:

wmax(x = 0) = -91.7803

Element nr 2:

-------------

Moment zginajacy:

M(x = 0) = -39

M(x = 4) = 65.3636

Mextr(x = 3.37321) = 69.0959, (w ukladzie globalnym: x = 5.37321, y = 0)

Sila poprzeczna:

Q(x = 0) = 64.0909

Q(x = 4) = -11.9091

Sila podluzna:

N(x = 0) = 0

N(x = 4) = 0

Przemieszczenia wezlowe:

kat(x = 0) = 84.8902

dx(x = 0) = 0

dy(x = 0) = 0

kat(x = 4) = -69.1705

dx(x = 4) = 0

dy(x = 4) = 170.591

Maksymalne ugiecie:

wmax(x = 3) = 205.886

Element nr 3:

-------------

Moment zginajacy:

M(x = 0) = 65.3636

M(x = 1.5) = 47.5

Sila poprzeczna:

Q(x = 0) = -11.9091

Q(x = 1.5) = -11.9091

Sila podluzna:

N(x = 0) = 0

N(x = 1.5) = 0

Przemieszczenia wezlowe:

kat(x = 0) = -69.1705

dx(x = 0) = 0

dy(x = 0) = 170.591

kat(x = 1.5) = -153.818

dx(x = 1.5) = 0

dy(x = 1.5) = 0

Maksymalne ugiecie:

wmax(x = 0) = 170.591

Element nr 4:

-------------

Moment zginajacy:

M(x = 0) = 47.5

M(x = 2.5) = 0

Sila poprzeczna:

Q(x = 0) = -19

Q(x = 2.5) = -19

Sila podluzna:

N(x = 0) = 0

N(x = 2.5) = 0

Przemieszczenia wezlowe:

kat(x = 0) = -153.818

dx(x = 0) = 0

dy(x = 0) = 0

kat(x = 2.5) = -213.193

dx(x = 2.5) = 0

dy(x = 2.5) = -483.504

Maksymalne ugiecie:

wmax(x = 2.5) = -483.504

2. Charakterystyki geometryczne przekroju poprzecznego

2.1. Wyznaczenie głównych centralnych osi bezwładności przekroju

Oś Z – oś symetrii

Pole powierzchni i środek Ciężkości

A= 2*(2a*2a)+(9a*4a)+2*(2a*a)-(7a*2a)

A= 34a²

S_y= 8a²*8a+4a²*4a+36a²*4,5-14a²*4,5

S_y= 179a³

Z₀=$\frac{S_{y}}{A}$ = $\frac{{179_{a}}^{3}}{{34_{a}}^{2}}$ = 5,26471a

2.2 Moment bezwładności wzgledem

osi zginania

J_y= 2*( $\frac{{2_{a}}^{4}}{12} + 4a^{2}*({8a - 5,62471a)}^{2}$)+

+ 2*($\frac{a*({2_{a})}^{3}}{12}$ + 2_a² * (4a − 5, 62471a )²)+

+ $(\frac{{4a*\left( 9a \right)}^{3}}{12} + {36a}^{2}*{(4,5a - 5,62471a)}^{2}$ ) -

- ( $\frac{2a*{(7a)}^{3}}{12} + {14a}^{2}*{(4,5a - 5,62471a)}^{2})$

J_y= 271,0256a⁴

2.3 Wskaźnik wytrzymałości

W_y = $\frac{J_{y}}{Z_{\max}} = \ \frac{{271,0256a}^{4}}{5,62471a} = 48,1848a^{3}$

2.4 Wyniki z programu PRZEKROJ, wersja Jun 02 2004 11:34:48

[e-mail] (Adam Zaborski)

-------------------------------------------------------

dane:

-----

punkty:

1 ( 3 , 0 )

2 ( 3 , 3 )

3 ( 2 , 3 )

4 ( 2 , 5 )

5 ( 3 , 5 )

6 ( 3 , 7 )

7 ( 1 , 7 )

8 ( 1 , 9 )

9 ( 9 , 9 )

10 ( 9 , 7 )

11 ( 7 , 7 )

12 ( 7 , 5 )

13 ( 8 , 5 )

14 ( 8 , 3 )

15 ( 7 , 3 )

16 ( 7 , 0 )

17 ( 4 , 1 )

18 ( 4 , 8 )

19 ( 6 , 8 )

20 ( 6 , 1 )

elementy:

1 ( 1 - 2 )

2 ( 2 - 3 )

3 ( 3 - 4 )

4 ( 4 - 5 )

5 ( 5 - 6 )

6 ( 6 - 7 )

7 ( 7 - 8 )

8 ( 8 - 9 )

9 ( 9 - 10 )

10 ( 10 - 11 )

11 ( 11 - 12 )

12 ( 12 - 13 )

13 ( 13 - 14 )

14 ( 14 - 15 )

15 ( 15 - 16 )

16 ( 16 - 1 )

17 ( 17 - 18 )

18 ( 18 - 19 )

19 ( 19 - 20 )

20 ( 20 - 17 )

wyniki:

-------

pole = 34

srodek ciezkosci: ( 5 , 5.26471 )

centralne momenty bezwladnosci:

Iy = 268.951

Iz = 143.333

Iyz = 0

glowne centralne momenty bezwladnosci:

I1 = 268.951

I2 = 143.333

kat = 0 [deg]

glowne centralne promienie bezwladnosci:

i1 = 2.81253

i2 = 2.05321

wskazniki wytrzymalosci (sprezyste):

W1 = 51.0857

W2 = 35.8333

wskazniki plastyczne:

Wp1 = 84.4992 (dla z1 = 0.235599)

Wp2 = 63 (dla y1 = 0)

stosunek nosnosci: (1.65407, 1.75814)

punkty rdzenia: uklad wyjsciowy / uklad glowny centralny

( 6.12272 , 5.96693 ) / ( 1.12272 , 0.702222 )

( 6.18213 , 5.81924 ) / ( 1.18213 , 0.554538 )

( 6.05392 , 5.26471 ) / ( 1.05392 , 0 )

( 5 , 3.14698 ) / ( 0 , -2.11772 )

( 3.94608 , 5.26471 ) / ( -1.05392 , 0 )

( 3.81787 , 5.81924 ) / ( -1.18213 , 0.554538 )

( 3.87728 , 5.96693 ) / ( -1.12272 , 0.702222 )

( 5 , 6.76723 ) / ( 0 , 1.50252 )

3. Projektowanie ze względu na stan graniczny nośności.

3.1. Projektowanie ze względu na naprężenia normalne w przekroju poprzecznym.

Największe naprężenia normalne wystąpią w przekroju maksymalnego momentu zginającego we włóknach najdalej położonych na osi obojętnej.

σ_{x max} = $\frac{M_{\max}}{W_{y}} \leq R$ ⇒ W_y = $\frac{M_{\max}}{R}$ ⇒ $48,1848a^{3}\ \geq \ \frac{69,0959*10^{3}}{205*10^{6}}$

a ≥ 0,01912 [m]

3.2. Projektowanie ze względu na naprężenia styczne w przekroju poprzecznym.

Największe naprężenia styczne wystąpią w przekroju maksymalnej siły poprzecznej we włóknach na osi obojętnej

S_y(0) = $\frac{5,265a*4a*5,265a}{2} - \frac{4,265a*2a*4,265a}{2} = 37,25a^{3}$

τ_{xz max} = $\frac{Q_{\max}*S_{y}(0)}{J_{y}*b(0)} \leq R_{t}\ \rightarrow \ \frac{64,0909*10^{3}*37,25a^{3}}{271,0256a^{4}*2a} \leq 123*10^{6}$

a ≥ 0,005984 [m]

4. Wyznaczenie linii ugięcia belki.

Linię ugięcia belki wyznaczamy korzystająć z podejścia Clebscha dzięki czemu liczba stałych całkowania, zredukuje się do dwóch, niezależnie od ilości przedziałów charakterystycznych.

_{AB BC CD DE}

M(y)=	-39x^0	+64,0909*$*(x - 2)^{1} - \frac{19}{2}*(x - 2)^{2}$	$$+ \frac{19}{2}*(x - 6)^{2}$$	− 7, 0909 * (x − 7, 5)^1
EJw^’’(x)=	39x^0	- 64,0909*$*(x - 2)^{1} - \frac{19}{2}*(x - 2)^{2}$	$$- \frac{19}{2}*(x - 6)^{2}$$	− 7, 0909 * (x − 7, 5)^1
EJw^’(x)=	C+39x	- 64,0909*$*(x - 2)^{2} - \frac{19}{2}*(x - 2)^{3}$	$$- \frac{19}{2}*(x - 6)^{2}$$	− 7, 0909 * (x − 7, 5)^1
EJw(x)=	D+Cx+$\frac{39}{2}x^{2}$	- 64,0909*$*(x - 2)^{3} - \frac{19}{2}*(x - 2)^{4}$	$$- \frac{19}{2}*(x - 6)^{2}$$	− 7, 0909 * (x − 7, 5)^1

Kinetyczne warunki brzegowe:

1. w(2)=0 D+C2+$\ \frac{39}{2}*4 = 0$

2. w(10)=0 -2C – 78 + 7,5C +19,5* 7,5²-$\frac{64,0909}{6}*{5.5}^{3} + \frac{19}{24}*5.5^{4} - \frac{19}{24}*1,5^{4} = 0$

C=6,8901 [kNm²] D= -91,7802 [kNm³]

Ugięcia belki i kąty ugięcia w punktach charakterystycznych:

W_A’(0) = $\frac{6,8901}{\text{EJ}}$ [kNm³] W_A(0) = $\frac{- 91,7802}{\text{EJ}}\ $[kNm³]

W_B’(2) = $\frac{6,8901 + 39*2}{\text{EJ}}$ = $\frac{84,8901}{\text{EJ}}$ [kNm³] W_B(2) = $\frac{- 91,7802 + 2*6,8901 + \frac{39}{2}*4}{\text{EJ}}$ = 0 [kNm³]

W_C’(6) = $\frac{6,8901 + 39*6 - \frac{64,0909}{2}*4^{2} + \frac{19}{6}*4^{3}}{\text{EJ}} = \frac{- 69,1704}{\text{EJ}}$ [kNm³]

W_C(6) = $\frac{- 91,7802 + 6*6,8901 + \frac{39}{2}*6^{2} - \frac{64,0909}{6}*4^{3} + \frac{19}{24}*4^{4}}{\text{EJ}} = \frac{170,591}{\text{EJ}}$ [kNm³]

W_D’(7,5) = $\frac{6,8901 + 39*7,5 - \frac{64,0909}{2}*{5,5}^{2} + \frac{19}{6}*5^{3} - \frac{19}{6}*{1,5}^{3}}{\text{EJ}} = \frac{- 153,8181}{\text{EJ}}$ [kNm³]

W_D(7,5) = $\frac{- 91,7802 + 7,5*6,8901 + \frac{39}{2}*{7,5}^{2} - \frac{64,0909}{6}*{5,5}^{3} + \frac{19}{24}*{5,5}^{4} - \frac{19}{24}*1,5^{4}}{\text{EJ}} = \ - 3,125*10^{- 5} \approx 0$[kNm³]

W_E’(10) = $\frac{6,8901 + 39*10 - \frac{64,0909}{2}*8^{2} + \frac{19}{6}*8^{3} - \frac{19}{6}*4^{3} + \frac{7,0909}{6}*2.5^{3}}{\text{EJ}} = \frac{- 213,1929}{\text{EJ}}$ [kNm³]

W_E(10) = $\frac{- 91,7802 + 10*6,8901 + \frac{39}{2}*10^{2} - \frac{64,0909}{6}*8^{3} + \frac{19}{24}*8^{4} - \frac{19}{24}*4^{4} + \frac{7,0909}{6}*2,5^{3}}{\text{EJ}} = \frac{- 483,504}{\text{EJ}}$ [kNm³]

4.1. Obliczanie maksymalnego ugięcia w belce

Maksymalne ugięcie wystąpi w przedziale BC w punkcie w którym zeruje się kąt ugięcia:

$6,8901 + 39x - \frac{64,0909}{2}*(x - 2)^{2} + \frac{19}{6}*(x - 2)^{3} = 0$ x≅5

Maksymalne ugięcie wynosi:

w_max = $\frac{- 91,7802 + 5*6,8901 + \frac{39}{2}*5^{2} - \frac{64,0909}{6}*3^{3} + \frac{19}{24}*3^{4}}{\text{EJ}} = \frac{205,886}{\text{EJ}}$

4.2. Projektowanie ze względu na stan graniczny użytkowania

w_dop = $\frac{l_{\max}}{250} = \frac{5.5}{250} = 0,022\ \lbrack m\rbrack$

w_max  ≤  w_dop ⇒ $\frac{205,886}{EJ_{y}} \leq 0,022 \Rightarrow J_{y} \geq \frac{205,886*10^{3}}{0,022*205*10^{9}}$

$$271,0256a^{4} \geq \frac{205,886*10^{3}}{0,022*205*10^{9}}$$

a ≥ 0, 0202 [m]

5. Przyjęcie wymiarów przekroju belki.

Punkty 3.1;3.2; i 4.2 dowodzą, że o wymiarach

przekroju poprzecznego decyduje stan graniczny

użytkowania.

Do wykonania przyjęto a= 2, 5 * 10⁻²[m]

6. Wyznaczenie rozkładu naprężeń normalnych i stycznych w przekroju α-α

M_{∝ − ∝} =   − 67, 7727 [kNm]

Q_{∝ − ∝} = 7, 0909[kN]

J_y = 271,0256a⁴ = 271,0856*0,0202⁴ = 5,48 [m⁴]

6.1. Wyznaczenie wartości normalnych i stycznych

$\sigma_{x} = \frac{M_{\propto - \propto}}{J_{y}}*z = \frac{- 67,7727*10^{3}}{5,48}*z = - 12367,281*z\ $ [$\frac{N}{m^{2}}$]

$\tau_{\text{xz}} = - \frac{Q_{\alpha - \alpha}*S_{y}(z)}{J_{y}*b(z)} = - \frac{7,0909*10^{3}}{5,48}*\frac{S_{y}(z)}{b(z)} = - 1293,9598*\frac{S_{y}(z)}{b(z)}$[$\frac{N}{m^{2}}$]

z₁=9,3375*10^-2 [m]

σ_x1 = −12367, 281 * 9, 3375 * 10⁻² = −1154, 7949 [Pa]

τ_xz = 0

z₂ = 6,8375*10^-2 [m]

σ_x2= - 845,6123 [Pa]

S_y(z) = 20 * 10⁻² * 2, 5 * 10⁻² * 11, 9125 * 10⁻² = 5, 956 * 10⁻⁴[m³]

b(z) = 20 * 10⁻²[m]

τ_xz = −3, 853 [Pa]

b(z) = 15 * 10⁻²[m]

τ_xz = −5, 138 [Pa]

z = 4, 3375 * 10⁻²[m]

σ_x3= - 536,431 [Pa]

S_y(z) = 5, 956 * 10⁻⁴ + 2 * 2, 5 * 10⁻² * 15 * 10⁻² * 5, 5875 * 10⁻² = 1, 015 * 10⁻³[m³]

b(z) = 15 * 10⁻²[m]

τ_xz = −8, 756 [Pa]

b(z) = 5 * 10⁻²[m]

τ_xz = −26, 267 [Pa]

z = 0[m]

σ_x4= 0 [Pa]

S_y(z) = 1, 015 * 10⁻³ + 2 * 2, 5 * 10⁻² * 4, 3375 * 10⁻² * 2, 169 * 10⁻² = 1, 062 * 10⁻³[m³]

b(z) = 5 * 10⁻²[m]

τ_xz = −27, 484 [Pa]

z = −0, 6625 * 10⁻²[m]

σ_x5= 81,933 [Pa]

S_y(z) = 1, 062 * 10⁻³ * 2 * 2, 5 * 10⁻² * 0, 6625 * 10⁻² * ( − 0, 33125 * 10⁻²)=1, 061 * 10⁻³[m³]

b(z) = 5 * 10⁻²[m]

τ_xz = −27, 458 [Pa]

b(z) = 10 * 10⁻²[m]

τ_xz = −13, 729 [Pa]

z = −5, 6625 * 10⁻²[m]

σ_x6= 700,297 [Pa]

S_y(z) = 1, 061 * 10⁻³ + 2 * 5 * 10⁻² * 5 * 10⁻² * ( − 3, 1625 * 10⁻²)=9, 029 * 10⁻⁴[m³]

b(z) = 10 * 10⁻²[m]

τ_xz = −11, 683 [Pa]

b(z) = 5 * 10⁻²[m]

τ_xz = −23, 366 [Pa]

z = −10, 6625 * 10⁻²[m]

σ_x7= 1318,661 [Pa]

S_y(z) = 9, 029 * 10⁻⁴ + 2 * 2, 5 * 10⁻² * 5 * 10⁻² * ( − 8, 1625 * 10⁻²)=6, 988 * 10⁻⁴[m³]

b(z) = 5 * 10⁻²[m]

τ_xz = −18, 084 [Pa]

b(z) = 10 * 10⁻²[m]

τ_xz = −9, 042 [Pa]

z = −13, 1625 * 10⁻²[m]

σ_x8= 1627,843 [Pa]

τ_xz = 0 [Pa]

6.2. Rozkład naprężeń normalnych i stycznych w przekroju poprzecznym α-α

6.3. Wyniki z programu PRZEKROJ, wersja Jun 02 2004 11:34:48

[e-mail] (Adam Zaborski)

-------------------------------------------------------

dane:

-----

punkty:

1 ( 0.05 , 0 )

2 ( 0.05 , 0.075 )

3 ( 0.025 , 0.075 )

4 ( 0.025 , 0.125 )

5 ( 0.05 , 0.125 )

6 ( 0.05 , 0.175 )

7 ( 0 , 0.175 )

8 ( 0 , 0.225 )

9 ( 0.2 , 0.225 )

10 ( 0.2 , 0.175 )

11 ( 0.15 , 0.175 )

12 ( 0.15 , 0.125 )

13 ( 0.175 , 0.125 )

14 ( 0.175 , 0.075 )

15 ( 0.15 , 0.075 )

16 ( 0.15 , 0 )

17 ( 0.075 , 0.025 )

18 ( 0.075 , 0.2 )

19 ( 0.125 , 0.2 )

20 ( 0.125 , 0.025 )

elementy:

1 ( 1 - 2 )

2 ( 2 - 3 )

3 ( 3 - 4 )

4 ( 4 - 5 )

5 ( 5 - 6 )

6 ( 6 - 7 )

7 ( 7 - 8 )

8 ( 8 - 9 )

9 ( 9 - 10 )

10 ( 10 - 11 )

11 ( 11 - 12 )

12 ( 12 - 13 )

13 ( 13 - 14 )

14 ( 14 - 15 )

15 ( 15 - 16 )

16 ( 16 - 1 )

17 ( 17 - 18 )

18 ( 18 - 19 )

19 ( 19 - 20 )

20 ( 20 - 17 )

obciazenia:

sila poprzeczna = 7090.9 [N] moment = -67772.7[Nm] ,

kat = 0 [deg]

wyniki:

-------

pole = 0.02125

srodek ciezkosci: ( 0.1 , 0.131618 )[m]

Główne centralne momenty bezwladnosci:

I₁ = I_y = 0.000105059 [m⁴]

I₂ = I_z = 5.59896e-05 [m⁴]

Iyz = 0

Naprezenia normalne [Pa]:

1) 8.49055e+07

2) 3.65236e+07

3) 3.65236e+07

4) 4.26899e+06

5) 4.26899e+06

6) -2.79856e+07

7) -2.79856e+07

8) -6.02402e+07

9) -6.02402e+07

10) -2.79856e+07

11) -2.79856e+07

12) 4.26899e+06

13) 4.26899e+06

14) 3.65236e+07

15) 3.65236e+07

16) 8.49055e+07

17) 6.87782e+07

18) -4.41129e+07

19) -4.41129e+07

20) 6.87782e+07

7. Obliczenie naprężeń głównych i ich kierunków w punkcie K przekroju α-α

$\tau_{\sigma}^{K} = \begin{pmatrix} - 536,431 & - 26,267 \\ - 26,267 & 0 \\ \end{pmatrix}\ $[Pa]

$\sigma_{\begin{matrix} \max \\ \min \\ \end{matrix}}^{K} = \frac{\sigma_{x}^{K}}{2} \mp \sqrt{\left( \frac{\sigma_{x}^{K}}{2} \right)^{2} + \left( \tau_{\text{xz}}^{K} \right)^{2}} = \frac{- 536,431}{2} \pm \sqrt{(\frac{- 536,431}{2})^{2} + ( - 26,267)^{2}}$

σ_max^K = −1, 283[Pa] σ_min^K = −269, 499[Pa]

$$\text{tg} \propto_{\max} = \frac{\tau_{\text{xz}}^{K}}{\sigma_{\max}^{K}} = \frac{- 26,267}{- 1,283} = 20,473\ \rightarrow \ \alpha_{\max} = 87,204$$

$$\text{tg} \propto_{\max} = \frac{\tau_{\text{xz}}^{K}}{\sigma_{\min}^{K}} = \frac{- 26,267}{- 269,499} = 0,097\ \rightarrow \ \alpha_{\min} = 2,567$$

7.1. Naprężenia główne i ich kierunki w punkcie K przekroju poprzecznego α-α