Katedra Wytrzymałości Materiałów Rok akad. 2013/2014

Wydział Inżynierii Lądowej Semestr zimowy

Politechniki Krakowskiej

PROJEKT NR 2

Z

WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Zawiera:

1. Wyznaczenie rozkładu naprężeń normalnych

w przekroju pręta obciążonego mimośrodowo

1. Wyznaczenie rdzeni przekroju

Kamil Kupiec

Rok III Studia Zaoczne

Grupa ćw.: 03

Katedra Wytrzymałości Materiałów Kraków, 2014-01-03

Wydział Inżynierii Lądowej

Politechniki Krakowskiej

PROJEKT NR 2

Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Stud.: Kamil Kupiec III rok, Studia Zaoczne, sem. zim., rok ak. 2013/2014

Dla podanego przekroju wyznaczyć:

1/ rozkład naprężeń normalnych i położenie osi obojętnej w przekroju poprzecznym pręta obciążonego mimośrodowo,

2/ rdzeń tego przekroju,

Otrzymane wyniki sprawdzić programem komputerowym PRZEKRÓJ i załączyć wydruki rezultatów obliczeń.

Podpis prowadzącego ćwiczenia

1. Charakterystyki geometryczne przekroju

   1. Pole powierzchni i środek ciężkości

F=$\ \frac{1}{2}*0,16*0,08 + \frac{1}{2}*0,02*0,08 + \frac{1}{2}*0,1*0,08 = 0,0112\ \left\lbrack m^{2} \right\rbrack$

$$S_{y0} = \left( \frac{1}{2}*0,16*0,08 \right)*0,053333 + \left( \frac{1}{2}*0,1*0,08 \right)*0,1067 + \left( \frac{1}{2}*0,02*0,08 \right)*0,053333 = 8,107784*10^{- 4}\ \lbrack m^{3}\rbrack$$

$$S_{z0} = \left( \frac{1}{2}*0,16*0,08 \right)*0,1067 + \left( \frac{1}{2}*0,1*0,08 \right)*0,113333 + \left( \frac{1}{2}*0,02*0,08 \right)*0,16667 = 1,269548*10^{- 3}\ \left\lbrack m^{3} \right\rbrack$$

$$y_{0} = \frac{S_{z0}}{F} = \frac{{1,269548*10}^{- 3}}{0,0112} = 0,1133525\ \left\lbrack m \right\rbrack$$

$$z_{0} = \frac{S_{y0}}{F} = \frac{{8,107784*10}^{- 4}}{0,0112} = 0,0723909\ \left\lbrack m \right\rbrack$$

1. Momenty bezwładności względem osi centralnych

$$J_{\text{yc}} = \left( \ \frac{0,16*{0,08}^{3}}{36} + 6,4*10^{- 3}*{0,019051}^{2} \right) + \left( \frac{0,1*0,08}{36} + 4*10^{- 3}*{0,034319}^{2} \right) + \left( \frac{0,02*{0,08}^{3}}{36} + 8*10^{- 4}*0,019051^{2} \right) = 1,130661*10^{- 5}\ \lbrack m^{4}\rbrack$$

$$J_{\text{zc}} = \left( \frac{{0,08*0,16}^{3}}{36} + 6,4*10^{- 3}*{0,006633}^{2} \right) + \left( \frac{{0,08*0,02}^{3}}{36} \right) + (\frac{{0,08*0,02}^{3}}{36} + 8*10^{- 4}*{0,05337}^{2} = 1,389967*10^{- 5}\ \lbrack m^{4}\rbrack$$

$J_{\text{YcZc}} = \left( - \frac{{0,16}^{2}*{0,08}^{2}}{72} + 6,4*10^{- 3}*\left( - 0,019051 \right)*\left( - 0,006633 \right) \right) + \left( - \frac{{0,1}^{2}*{0,08}^{2}}{72} + 4*10^{- 3}*0,034319*0 \right) + \left( - \frac{{0,02}^{2}*{0,08}^{2}}{72} + 8*10^{- 4}*\left( - 0,019051 \right)*\left( 0,053337 \right) \right) = - 1,466817744*10^{- 6} - 8,888889*10^{- 7} - 8,484541052*10^{- 7} = - 3,1954729*10^{- 6}$ [m⁴]

1. Osie główne centralne i momenty bezwładności względem tych osi

$$J_{1} = \frac{{1,130661*10}^{- 5}{+ 1,389967*10}^{- 5}}{2} + \sqrt{(\frac{{1,130661*10}^{- 5}{- 1,389967*10}^{- 5}}{2})^{2} + \ ( - 3,1954729*10^{- 6})^{2}} = 1,605*10^{- 5}\lbrack m^{4}\rbrack$$

$$J_{2} = \frac{{1,130661*10}^{- 5}{+ 1,389967*10}^{- 5}}{2} - \sqrt{(\frac{{1,130661*10}^{- 5}{- 1,389967*10}^{- 5}}{2})^{2} + \ ( - 3,1954729*10^{- 6})^{2}} = 9,155*10^{- 6}\lbrack m^{4}\rbrack$$

J₁ = J_y = 1, 605 * 10⁻⁵[m⁴] $i_{y}^{2} = \frac{J_{y}}{F} = \frac{{1,605*10}^{- 5}}{0,0112} = {1,433035714*10}^{- 3}\left\lbrack m^{2} \right\rbrack$

J₂ = J_z = 9, 155 * 10⁻⁶[m⁴] $i_{z}^{2} = \frac{J_{z}}{F} = \frac{{9,155*10}^{- 6}}{0,0112} = {8,174107143*10}^{- 4}\left\lbrack m^{2} \right\rbrack$

$$\text{tg} \propto_{1} = \frac{- 3,1954729*10^{- 6}}{{1,389967*10}^{- 5} - 1,605*10^{- 5}} = 1,485\ \rightarrow \propto_{1} = 56,04364882$$

$$\text{tg} \propto_{2} = \frac{- 3,1954729*10^{- 6}}{{1,389967*10}^{- 5} - 9,155*10^{- 6}} = - 0,673\ \rightarrow \propto_{2} = - 33,94055369$$

Sprwadzenia:

J_Yc + J_Zc = J₁ + J₂  → 2, 520628 * 10⁻⁵ = 2, 520628 * 10⁻⁵

|∝₁| + |∝₂| = 89, 98420251  ≈ 90

1. Wyznaczenie rozkładu naprężeń

$$\sigma_{x} = \frac{N}{F} + \frac{N_{Z_{N}}}{J_{y}}*z + \frac{N_{Y_{N}}}{J_{z}}*y$$

1. Współrzędne punktów w układzie osi głównych centralnych (y,z)

$\begin{pmatrix} y \\ z \\ \end{pmatrix} = \ \begin{pmatrix} \cos \propto_{1} & \sin \propto_{1} \\ \cos \propto_{2} & \sin \propto_{2} \\ \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} y_{c} \\ z_{c} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos{56,04364882} & \sin{56,04364882} \\ cos( - 33,94055369) & sin( - 33,94055369) \\ \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} y_{c} \\ z_{c} \\ \end{pmatrix}\ = \ \begin{pmatrix} 0,5585611675 & 0,8294633338 \\ 0,8296173078 & - 0,5583324481 \\ \end{pmatrix}*\ \begin{pmatrix} y_{c} \\ z_{c} \\ \end{pmatrix}$

Współczynnik [10^-2m]	Punkty
	1
yc	4,66475
zc	-7,23909
y	-3,3990
z	7,913

1. Wartości naprężeń normalnych

$$\sigma_{x} = \frac{N}{F} + \frac{N_{Z_{N}}}{J_{y}}*z + \frac{N_{Y_{N}}}{J_{z}}*y$$

$$\sigma_{x} = \frac{- 135*10^{3}}{0,0112} + \frac{\left( - 135*10^{3} \right)*(3,48^{- 2})}{1,605*10^{- 5}}*z + \frac{{( - 135*10}^{3})*{( - 3,973}^{- 2})}{9,155*10^{- 6}}*y = \ - 120536 - 292710280*z + 585838475*y$$

σ_x1 = −12053571, 43 − 292710280 * (7,913*10⁻²) + 585838475 * ( − 3, 3990 * 10⁻²)= -55,128 [MPa]

σ_x2 = −12053571, 43 − 292710280 * (−9,827*10⁻²) + 585838475 * ( − 5, 701 * 10⁻²)= -16,687 [MPa]

σ_x3 = −12053571, 43 − 292710280 * (−3,191*10⁻²) + 585838475 * ( − 1, 232 * 10⁻²)= -9,929[MPa]

σ_x4 = −12053571, 43 − 292710280 * (−7,66*10⁻²) + 585838475 * (5, 404 * 10⁻²)=42,024[MPa]

σ_x5 = −12053571, 43 − 292710280 * (5,103*10⁻²) + 585838475 * (4, 6054 * 10⁻²)=

=-1,483[MPa]

σ_xN = −12053571, 43 − 292710280 * (3,48*10⁻²) + 585838475 * ( − 3, 973 * 10⁻²)=

=-45,513[MPa]

1. Oś obojętna

$$\frac{y}{a_{y}} + \frac{z}{a_{z}} = 1$$

$$a_{y} = \frac{{- i}_{z}^{2}}{y_{N}} = \frac{{- 8,174107143*10}^{- 4}}{- 3,973*10^{- 2}} = - 0,02057\ \lbrack m\rbrack$$

$$a_{z} = \frac{{- i}_{y}^{2}}{z_{N}} = \frac{{1,433035714*10}^{- 3}}{3,48*10^{- 2}} = - 0,04118\ \lbrack m\rbrack$$

1. Wyznaczenie rdzenia przekroju

1. Współrzędne punktów konturu przekroju

Współrzędne [10^-2m]	Punkty
	1
y	-3,3990
z	7,913

1. Wyznaczenie punktów konturu przekroju

$y = \frac{{- i}_{z}^{2}}{a_{y}}$ $z = \frac{{- i}_{y}^{2}}{a_{y}}$

Przy wyznaczeniu a_y i a_z wykorzystujemy równanie prostej przez dwa punkty

$$z - z_{1} = \frac{z_{2} - z_{1}}{y_{2} - y_{1}}*\left( y - y_{1} \right)$$

Styczna 1-2

$$z - 7,913*10^{- 2} = \frac{- 9,827*10^{- 2} - 7,913*10^{- 2}}{- 5,701*10^{- 2} - \left( - 3,3990*10^{- 2} \right)}*\left( y + 3,3990*10^{- 2} \right)$$

$y = \frac{34,108*10^{- 2} - z}{- 7,7063}$ z = 7, 7063y + 34, 108 * 10⁻²

a_y=-0,04425 [m] a_z = 0, 34108 [m]

$y_{12} = \frac{{- i}_{z}^{2}}{a_{y}}$ $z_{12} = \frac{{- i}_{y}^{2}}{a_{z}}$

$$y_{12} = \frac{{- 8,174107143*10}^{- 4}}{- 0,04425} = 0,01847\ \lbrack m\rbrack$$

$$z_{12} = \frac{{1,433035714*10}^{- 3}}{0,34108} = 0,0042\ \lbrack m\rbrack$$

Styczna 2-4

$$z - z_{2} = \frac{z_{4} - z_{2}}{y_{4} - y_{2}}*\left( y - y_{2} \right)$$

$$z + 9,827*10^{- 2} = \frac{- 7,66*10^{- 2} + 9,827*10^{- 2}}{5,404*10^{- 2} + 5,701*10^{- 2}}*\left( y + 5,701*10^{- 2} \right)$$

$y = \frac{- 8,715*10^{- 2} - z}{0,1951}$ z = 0, 1951y − 8, 715 * 10⁻²

a_y=-0,044657 [m] a_z = −0, 08715 [m]

$$y_{24} = \frac{{8,174107143*10}^{- 4}}{- 0,044657\ } = - 0,00183\ \lbrack m\rbrack$$

$$z_{24} = \frac{{- 1,433035714*10}^{- 3}}{- 0,08715\ } = - 0,01645\ \lbrack m\rbrack$$

Styczna 4-5

$$z - z_{4} = \frac{z_{5} - z_{4}}{y_{5} - y_{4}}*\left( y - y_{4} \right)$$

$$z + 7,66 = \frac{5,103*10^{- 2} + 7,66*10^{- 2}}{4,6054*10^{- 2} - 5,404*10^{- 2}}*\left( y - 5,404*10^{- 2} \right)$$

$y = \frac{- 58,039*10^{- 2} - z}{- 15,9817}$ z = −15, 9817y − 58, 039 * 10⁻²

a_y=0,04774 [m] a_z = 0, 58039 [m]

$$y_{45} = \frac{{- 8,174107143*10}^{- 4}}{0,04774} = - 0,01712\lbrack m\rbrack$$

$$z_{45} = \frac{{1,433035714*10}^{- 3}}{0,58039} = 0,00247\ \lbrack m\rbrack$$

Styczna 1-5

$$z - z_{1} = \frac{z_{5} - z_{1}}{y_{5} - y_{1}}*\left( y - y_{1} \right)$$

$$z - 7,913 = \frac{5,103*10^{- 2} - 7,913*10^{- 2}}{4,6054*10^{- 2} + 3,3990*10^{- 2}}*\left( y + 3,3990*10^{- 2} \right)$$

$y = \frac{- 6,681*10^{- 2} - z}{- 0,351}$ z = −0, 351y − 6, 681 * 10⁻²

a_y=0,10682 [m] a_z = 0.06681 [m]

$$y_{15} = \frac{{- 8,174107143*10}^{- 4}}{0,10682\ } = - 0,0044\ \lbrack m\rbrack$$

$$z_{15} = \frac{{- 1,433035714*10}^{- 3}}{0.06681} = 0,002145\ \lbrack m\rbrack$$

Wyniki z programu PRZEKROJ, wersja Jun 02 2004 11:34:48

[e-mail] (Adam Zaborski)

-------------------------------------------------------

dane:

-----

punkty:

1 ( 0.16 , 0 )

2 ( 0 , 0.08 )

3 ( 0.08 , 0.08 )

4 ( 0.08 , 0.16 )

5 ( 0.18 , 0.08 )

elementy:

1 ( 1 - 2 )

2 ( 2 - 3 )

3 ( 3 - 4 )

4 ( 4 - 5 )

5 ( 5 - 1 )

obciazenia:

sila normalna = -135000 w ( 0.12 , 0.02 )

wyniki:

-------

pole = 0.0112

srodek ciezkosci: ( 0.113333 , 0.072381 )

centralne momenty bezwladnosci:

Iy = 1.12965e-05

Iz = 1.39022e-05

Iyz = -3.12889e-06

glowne centralne momenty bezwladnosci:

I1 = 1.59887e-05

I2 = 9.21006e-06

kat = 56.3033 [deg]

glowne centralne promienie bezwladnosci:

i1 = 0.0377831

i2 = 0.0286762

wskazniki wytrzymalosci (sprezyste):

W1 = 0.000162291

W2 = 0.000162901

wskazniki plastyczne:

Wp1 = 0.000358617 (dla z1 = 0.000440122)

Wp2 = 0.000279834 (dla y1 = -0.000166055)

stosunek nosnosci: (2.20973, 1.71782)

punkty rdzenia: uklad wyjsciowy / uklad glowny centralny

( 0.120291 , 0.0900971 ) / ( 0.0185998 , 0.00403994 )

( 0.125906 , 0.0617323 ) / ( -0.00188455 , -0.0163677 )

( 0.101625 , 0.0595 ) / ( -0.0172125 , 0.00259487 )

( 0.0930882 , 0.0805882 ) / ( -0.00440355 , 0.021397 )

naprezenia normalne:

1) -5.52011e+07

2) -1.63167e+07

3) -9.81983e+06

4) 4.20584e+07

5) -1.69873e+06

os obojetna (w ukladzie glownym centralnym):

z1 = -2.00057 * y1 + 0.0412502