1. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przy równoczesnym rzucie dwoma monetami 10 razy, 5 razy zostaną wyrzucone 2 orły:

n = 10; k = 5; prawdop. Orła = $\frac{1}{2}$ ale jest 2 orły w zadaniu → p = $\frac{1}{2}*\ \frac{1}{2} = \ \frac{1}{4}$; q = $\frac{3}{4}$

$$\text{Pn}\left( k \right) = \ \left( \frac{n}{k} \right)*\ p^{k}*{(1 - p)}^{n - k}$$

$$P10\left( 5 \right) = \ \left( \frac{10}{5} \right)*\ {\ \frac{1}{4}}^{5}*{(1 - \ \frac{1}{4})}^{10 - 5}$$

$$P10\left( 5 \right) = \ {\ \frac{10!}{5!*\left( 10 - 5 \right)!}*\frac{1}{4}}^{5}*\frac{3}{4}^{5}$$

$$P10\left( 5 \right) = \ {\ \frac{6*7*8*9*10}{2*3*4*5}*\frac{1}{4}}^{5}*\frac{3}{4}^{5}$$

P10(5) =  0, 058

1. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że na 5 rzutów kostką co najmniej 4 razy wypadnie liczba oczek nie większa niż 3.

P(A) = p = $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{2}$

P(B) = $P_{5(4)} + \ P_{5\left( 5 \right)} = \ \left( \frac{5}{4} \right)p^{4}q + \frac{5}{5}p^{5} = 5\left( \frac{1}{2} \right)^{4}\left( \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} \right)^{5} = \ \frac{3}{16}$

1. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję ciągłej zmiennej losowej X posiadającej równomierną gęstość prawdopodobieństwa w przedziale (a,b).

$$E\left( X \right) = \int_{a}^{b}{\text{xp}\left( x \right)dx = \frac{1}{b - a}\int_{a}^{b}\text{xdx}} = \frac{1}{b - a}*\left. \ {\frac{1}{2}x}^{2} \right|_{a}^{b} = \frac{b^{2} - a^{2}}{2(b - a)} = \ \frac{\left( b + a \right)(b - a)}{2(b - a)} = \ \frac{a + b}{2}$$

$$\text{Var}\left( X \right) = \int_{a}^{b}{x^{2}p\left( x \right)dx - \lbrack{E(X)\rbrack}^{2} = \frac{1}{b - a}\int_{a}^{b}{x^{2}dx -}}{\ \left( \frac{a + b}{2} \right)}^{2} =$$

$$\frac{1}{b - a}*\left. \ {\frac{1}{3}x}^{3} \right|_{a}^{b} - \frac{{(a + b)}^{2}}{4}\ = \frac{b^{3} - a^{3}}{3(b - a)} - \frac{{(a + b)}^{2}}{4} = \ \ \frac{{(b - a)}^{2}}{12}$$

1. Znaleźć wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej X, która jest zadana wartościami szeregu rozkładu:

xi	1	2	5
Pxi	0,3	0,5	0,2

Wartość oczekiwana:

E(X) = 1*0,3 + 2*0,5 + 5*0,2 = 2,3

Wartości kwadratu odchylenia:

[x₁ – E(X)]² = (1-2,3)² = 1,69

[x₂ – E(X)]² = (2-2,3)² = 0,09

[x₃ – E(X)]² = (5-2,3)² = 7,29

Szereg rozkładu kwadratu odchylenia:

[xi – E(X)]^2	1,69	0,09	7,29
P xi	0,3	0,5	0,2

Wariancja:

Var(X) = σ_x² = 1,69*0,3 + 0,09*0,5 + 7,29*0,2 = 2,01

Odpowiedź: E(X) = 2,3; σ_x² = 2,01; σ_x = 1,41

1. Dana jest populacja generalna o rozkładzie N(200, σx). Odchylenie standardowe σx nie jest znane. Z populacji pobrano próbę losową o wartościach: 200, 201, 200, 199, 201, 199, 200, 199, 201, 200. Obliczyć estymate wariancji s_x²

Korzystamy z modelu II ponieważ nie znamy odchylenia standardowego, a nasz próba jest duża(n_i=10). Znamy µ_x­=200

$S_{u}^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} - u)}^{2}$ $S_{u}^{2} = \frac{1}{10} \bullet ((200 - 200$)²+(201-200)²…)=$\frac{1}{10} \bullet 6$

1. Zmienna losowa ciągła X o rozkładzie normalnym podsiada wartość oczekiwaną $\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}$=10 i odchylenie standardowe σ_x=2. Zapisać gęstość prawdopodobieństwa p(x).

p(x)=N(x;µ_x, σ_x)=$\ \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x}}\exp\left\lbrack \ \frac{{- \left( x - m \right)}^{2}}{2\sigma_{\text{\ x}}^{2}} \right\rbrack$

p(x)=N(x;10, 2)=$\ \frac{1}{\sqrt{2\pi}2}\exp\left\lbrack \ \frac{{- \left( x - 10 \right)}^{2}}{2 \bullet 2_{\ }^{2}} \right\rbrack$

1. Dla sumy 10 zmiennych losowych od X₁…X₁₀ z których każda posiada równomierny rozkład prawdopodobieństwa z $\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}$_i=0 i σ_xi=1 zapisać wypadkową gęstość prawdopodobieństwa p_w(x)

p_w(x)=N(x;µ_x, σ_x)=$\ \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x}}\exp\left\lbrack \ \frac{{- \left( x - m \right)}^{2}}{2\sigma_{\text{\ x}}^{2}} \right\rbrack,\ x\epsilon R,\sigma > 0$

p_w(x)=N(x;0, 1)=$\ \frac{1}{\sqrt{2\pi} \bullet 1}\exp\left\lbrack \ \frac{{- \left( x - 0 \right)}^{2}}{2{\bullet 1}_{\ }^{2}} \right\rbrack$

1. Zmienna losowa ciągła X ma równomierny rozkład prawdopodobieństwa w przedziale od a=2 do b=5. Należy podać formę analityczną gęstości prawdopodobieństwa p(x) oraz obliczyć wartość oczekiwaną $\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}$ i odchylenie standardowe σ_x

p(x)=$\begin{Bmatrix} 0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x < a \\ \frac{1}{b - a},\ \ a \leq x \leq b;a,b \in R,\ a < b \\ 0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x > b \\ \end{Bmatrix}$= p(x)=$\begin{Bmatrix} 0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x < 2 \\ \frac{1}{5 - 2},\ \ 2 \leq x \leq 5; \\ 0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x > 5 \\ \end{Bmatrix}$(wyrażenia bez 2 nawiasu)

µ_x=$\frac{a + b}{2}$,=$\ \frac{2 + 5}{2}$=$\frac{7}{2}$

σ _x²=$\frac{{(b - a)}^{2}}{12}$=$\frac{{(5 - 2)}^{2}}{12}$=$\frac{{(3)}^{2}}{12}$=$\frac{9}{12}$

1. Znaleźć prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej 3 oczek przy jednokrotnym rzucie kostką sześcienną.

Ω={1;2;3;4;5;6}

A={3;4;5;6}

P(A)=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$

1. Z generalnej zbiorowości N=∞ cechy X opisywanej rozkładem normalnym N(10,3). Należy pobrać próbę losową o liczności n. Obliczyć wymaganą wartość, aby odchylenie standardowe estymatora wartości oczekiwanej nie przekraczało 1% wartości oczekiwanej.

$\frac{s_{\overset{\overline{}}{x}}}{u_{x}}$=0,01

$$s_{\overset{\overline{}}{x}} = \frac{\sigma_{x}}{\sqrt{n}}$$

n=$\frac{\sigma_{x}^{2}}{s_{\overset{\overline{}}{x}}^{2}}$=$\frac{\sigma_{x}^{2}}{(0,01 \bullet u_{x})^{2}}$=$\frac{3^{2}}{(10^{- 2} \bullet 10)^{2}}$=900

Dla małej wartości$\frac{s_{\overset{\overline{}}{x}}}{u_{x}}$ i N=∞ wymagana jest stosunkowo duża wartość n. Estymator wariancji obliczony z próby losowej jest przy znanej wartości u_x następujący:

$\overset{\acute{}}{\sigma}$_X²=$\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{900}{(x_{i} - u_{x})^{2}}$

Wariancja estymatora może być obliczona z zależności:

Var($\overset{\acute{}}{\sigma}$_X²)=$\frac{n(m_{4} - \sigma_{x}^{4})}{(n - 1)^{2}}$, gdzie m₄=3σ_x⁴- moment centralny czwartego rzędu dla rozkładu normalnego.

Kontynuując obliczenia, otrzymuje się:

Var($\overset{\acute{}}{\sigma}$_X²)=$\frac{900(3 \bullet 3^{4} - 3^{4})}{(900 - 1)^{2}} = 0,1804$

$\frac{\sqrt{Var({\overset{\acute{}}{\sigma}}_{x}^{2}}}{\sigma_{x}^{2}}$100%=$\frac{\sqrt{0,180}}{9}$100%≈4,27%

1. Zmienna losowa n(x,µ_x,3) posiada wartość średniokwadratową Ψ_x=25. Należy wyznaczyć wartość oczekiwaną µ_x=?

Dane:

σx=3

Ψ_X² =25

σ_x² = Ψ_X²− µ_x² => µ_x=$\sqrt{\Psi_{X}^{2} - \sigma_{x}^{2}}$=$\sqrt{25 - 3^{2}}$=$\sqrt{16}$=4

1. Dana jest populacja generalna o rozkładzie N(µ_x, σx). Wartości µ_x, σx nie jest znane. Z populacji pobrano próbę losową o wartościach: 200, 201, 200, 199, 201, 199, 200, 199, 201, 200. Obliczyć nieobciążoną estymatę wariancji s_x²

Korzystamy z modelu 3 ponieważ nasz próba jest liczna, a wartości µ_x, σx są nie znane. Korzystamy ze wzoru:

$S_{\text{xo}}^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overset{\overline{}}{X})}^{2}$

$$\overset{\overline{}}{X} = 200$$

S_xo²=$\frac{1}{10} \bullet ((200 - 200$)²+(201-200)²…)=$\frac{1}{10} \bullet 6$