Katedra Budownictwa Betonowego
Wydziału Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska
Politechniki Łódzkiej

Projekt III
Sprawdzenie nośności słupa estakady

Justyna Zakrzewska

nr albumu: 150498
grupa: IV
kierunek: Budownictwo
rok akademicki: 2010/2011

Dane projektowe

Słup estakady jest obciążony następującymi siłami:
- siła pionowa N_Ed = 900 kN
- siła pozioma H_x = 10 kN
- siła pozioma H_y = 5 kN

Wysokość słupa L = 7,00 m

Sprawdzenie nośności słupa uwzględnia wpływ smukłości i efektów drugiego rzędu.

Beton C30/37
Stal St500b, klasa C

f_ck = 30 MPa
f_cd = $\frac{f_{\text{ck}}}{\gamma_{f}}$ = $\frac{30}{1,4}$ = 21,43 MPa
f_yk = 500 MPa
f_yd = $\frac{f_{\text{yk}}}{1,15}$ = $\frac{500}{1,15}$ = 435 MPa

E_s = 200 GPa

ε_yd = $\frac{f_{\text{yd}}}{E_{s}}$ $\frac{435}{200}$ = 2,18 ‰

Przekrój slupa, układ konstrukcji

Siły pierwszego rzędu

Siły pierwszego rzędu bez uwzględnienia imperfekcji

siła pionowa N = N_Ed = 900 kN

moment zginający Mx = H_x · L = 10 · 7,00 = 70 kNm
moment zginający My = H_y · L = 5 · 7,00 = 35 kNm

Wykresy siły normalnej i momentu zginającego

Długość efektywna słupa w płaszczyźnie x-x i y-y

długość efektywna słupa
l₀ = L · max{$\sqrt{1 + 10 \ \frac{k_{1} \ k_{2}}{k_{1} + \ k_{2}}}$; (1 + $\frac{k_{1}}{1 + \ k_{1}}$); (1 + $\frac{k_{2}}{1 + \ k_{2}}$)}
gdzie: k – względna podatność podpór na końcach 1 i 2

płaszczyzna x-x

k₁ = 0,1
k₂ = 0,5

l_0x = 7,00 · max{$\sqrt{1 + 10 \ \frac{0,1 0,5}{0,1 + 0,5}}$; (1 + $\frac{0,1}{1 + \ 0,1}$) · (1 + $\frac{0,5}{1 + \ 0,5}$)} = 7,00 · max{1,35; 1,45} = 7,00 · 1,45 =
= 10,15 m

płaszczyzna y-y

k₁ = 0,1
k₂ = 10

l_0y = 7,00 · max{$\sqrt{1 + 10 \ \frac{0,1 10}{0,1 + 10}}$; (1 + $\frac{0,1}{1 + \ 0,1}$) · (1 + $\frac{10}{1 + \ 10}$)} = 7,00 · max{1,41; 2,08} = 7,00 · 2,08 =
= 14,56 m

Imperfekcje geometryczne

minimalny mimośród e
e₀ = max($\frac{l_{0}}{400}$; $\frac{h}{30}$; 20 mm)
gdzie: h₀ – długość efektywna słupa
h – wysokość przekroju

mimośród w kierunku x-x

e_0x = max($\frac{l_{0x}}{400}$; $\frac{h}{30}$; 20 mm) = max($\frac{10150}{400}$; $\frac{500}{30}$; 20 mm) = max(25,4 mm; 16,7 mm; 20 mm) = 25,4 mm

M_01(x) = e_0x · N_Ed = 0,0254 · 900 = 22,9 kNm
M_02(x) = M_1(x) + e_0x · N_Ed = 70 + 0,0254 · 900 = 92,9 kNm

mimośród w kierunku y-y

e_0y = max($\frac{l_{0y}}{400}$; $\frac{h}{30}$; 20 mm) = max($\frac{14560}{400}$; $\frac{350}{30}$; 20 mm) = max(36,4 mm; 11,7 mm; 20 mm) = 36,4 mm

M_01(y) = e_0y · N_Ed = 0,0364 · 900 = 33,0 kNm
M_02(y) = M_1(y) + e_0y · N_Ed = 35 + 0,0364 · 900 = 68,0 kNm

Siły pierwszego rzędu z uwzględnieniem imperfekcji

Sprawdzenie smukłości słupa

λ ≤ λ_lim = $\frac{20 A B C}{\sqrt{n}}$
gdzie: A – zależy od pełzania, A = $\frac{1}{1 + 0,2 \varphi_{\text{ef}}}$
B – zależy od stopnia zbrojenia, B = $\sqrt{1 + 2\omega}$
C – zależy od rozkładu momentów, C = 1,7 – r_m
n – względna siła normalna, n = $\frac{N_{\text{Ed}}}{A_{c} \ f_{\text{cd}}}$
φ_ef – efektywny współczynnik pełzania, φ_ef(x) = φ(∞, t) · $\frac{M_{0Eqp}(x)}{M_{0Ed}(x)}$
φ_ef(y) = φ(∞, t) · $\frac{M_{0Eqp}(y)}{M_{0Ed}(y)}$
φ(∞, t) – końcowy współczynnik pełzania, φ(∞, t) = 2
M_0Eqp – moment zginający wywołany przez prawie stałą kombinację obciążeń (imperfekcje +
obciążenia stałe)

φ_ef(x) = 2 · $\frac{22,9}{92,9}$ = 0,493
A(x) = $\frac{1}{1 + 0,2 0,493}$ = 0,910

φ_ef(y) = 2 · $\frac{33,0}{68,0}$ = 0,971
A(y) = $\frac{1}{1 + 0,2 0,971}$ = 0,837

ω = $\frac{A_{s} \ f_{\text{yd}}}{A_{c} \ f_{\text{cd}}}$ = $\frac{10 5,31 435}{35 50 21,43}$ = 0,6159
B = $\sqrt{1 + 2 0,6159}$ = 1,494

r_m = 1,0 dla elementów nieusztywnionych
C = 1,7 – 1,0 = 0,7

n = $\frac{0,9}{0,35 0,50 21,43}$ = 0,240

λ_lim(x) = $\frac{{20 A}_{(x)} B C}{\sqrt{n}}$ = $\frac{20 0,910 1,494 0,7}{\sqrt{0,240}}$ = 38,9
λ_lim(y) = $\frac{{20 A}_{(y)} B C}{\sqrt{n}}$ = $\frac{20 0,837 1,494 0,7}{\sqrt{0,240}}$ = 35,7

smukłość
λ = $\frac{l_{0}}{i}$

i_y = $\sqrt{\frac{I_{x}}{A}}$ = $\frac{350}{\sqrt{12}}$ = 101,0 mm
λ(x) = $\frac{l_{0x}}{i_{y}}$ = $\frac{10150}{101,0}$ = 100,5 ≥ 38,9 = λ_lim(x)
i_x = $\sqrt{\frac{I_{y}}{A}}$ =$\ \frac{500}{\sqrt{12}}$ = 144,3 mm
λ(y) = $\frac{l_{0y}}{i_{x}}$ = $\frac{14560}{144,3}$ = 100,9 ≥ 35,7 = λ_lim(y)
Smukłość w płaszczyźnie x-x oraz y-y jest większa niż graniczna, należy zatem uwzględnić efekty drugiego rzędu.

Uwzględnienie efektów drugiego rzędu (metoda nominalnej sztywności)

całkowity moment obliczeniowy
M_Ed = η · M_0Ed
gdzie: η – współczynnik uwzględniający efekty drugiego rzędu, η = 1 + $\frac{\beta}{\frac{N_{B}}{N_{\text{Ed}}} - \ 1}$
M_0Ed – moment pierwszego rzędu z uwzględnieniem imperfekcji

nominalna sztywność smukłych elementów ściskanych
EI = K_c · E_cd · I_c + K_s · E_s · I_s
gdzie: E_cd – obliczeniowy moduł sprężystości betonu, E_cd = $\frac{E_{\text{cm}}}{\gamma_{\text{CE}}}$
I_c – moment bezwładności przekroju betonowego
E_s – moduł sprężystości zbrojenia stalowego
I_s – moment bezwładności zbrojenia względem środka ciężkości powierzchni betonu
K_c – współczynnik zależny od wpływów zarysowania, pełzania, K_c = $\frac{k_{1} \ k_{2}}{1 + \ \varphi_{\text{ef}}}$
K_s – współczynnik zależny od udziału zbrojenia

płaszczyzna x-x

E_cd = $\frac{32}{1,2}$ = 26,67 GPa

I_c(y) = $\frac{0,50 \ {0,35}^{3}}{12}$ = 1,7865 · 10^-3 m⁴

k₁ = $\sqrt{\frac{f_{\text{ck}}}{20}}$ = $\sqrt{\frac{30}{20}}$ = 1,225
k₂ = n · $\frac{\lambda(x)}{170}$ = 0,240 · $\frac{100,5}{170}$ = 0,142 ≤ 0,20
K_c = $\frac{1,225 0,142}{1 + 0,493}$ = 0,117

K_s = 1,0 gdy ρ ≥ 0,002
I_s = 10 · $\frac{\pi \ {0,026}^{4}}{64}$ + 2 · 4 · $\frac{\pi({\frac{0,026}{2})}^{2}}{3}$ · 0,13² = 0,72016 · 10^-4 m⁴

EI = 0,117 · 26,67 · 10⁶ · 1,7865 · 10^-3 + 1,0 · 200 · 10⁶ · 0,72016 · 10^-4 = 19978 kNm²

siła krytyczna ze względu na wyboczenia
N_B = $\frac{\pi^{2} EI}{l_{0x}^{2}}$ = $\frac{\pi^{2} 19978}{{10,15}^{2}}$ = 1913,9 kN

współczynnik uwzględniający efekt drugiego rzędu

β = $\frac{\pi^{2}}{c_{0}}$ = $\frac{\pi^{2}}{12}$ = 0,8225
gdzie: c₀ = 12

η = 1+ $\frac{0,8225}{\frac{1913,9}{900} - \ 1}$ = 1,730

całkowity moment obliczeniowy
M_Edx = η · M_0Edx = 1,730 · 92,9 = 160,7 kNm

płaszczyzna y-y

E_cd = $\frac{32}{1,2}$ = 26,67 GPa

I_c(x) = $\frac{0,35 \ {0,50}^{3}}{12}$ = 3,6458 · 10^-3 m⁴

k₁ = $\sqrt{\frac{f_{\text{ck}}}{20}}$ = $\sqrt{\frac{30}{20}}$ = 1,225
k₂ = n · $\frac{\lambda(y)}{170}$ = 0,240 · $\frac{100,9}{170}$ = 0,142 ≤ 0,20
K_c = $\frac{1,225 0,142}{1 + 0,971}$ = 0,088

K_s = 1,0 gdy ρ ≥ 0,002
I_s = 10 · $\frac{\pi \ {0,026}^{4}}{64}$ + 2 · 3 · $\frac{\pi({\frac{0,026}{2})}^{2}}{3}$ · 0,202² + 2 · 2 · $\frac{\pi({\frac{0,026}{2})}^{2}}{3}$ · 0,065² = 1,39200 · 10^-4 m⁴

EI = 0,088 · 26,67 · 10⁶ · 3,6458 · 10^-3 + 1,0 · 200 · 10⁶ · 1,39200 · 10^-4 = 36397 kNm²

siła krytyczna ze względu na wyboczenia
N_B = $\frac{\pi^{2} EI}{l_{0y}^{2}}$ = $\frac{\pi^{2} 36397}{{14,56}^{2}}$ = 1694,5 kN

współczynnik uwzględniający efekt drugiego rzędu

β = $\frac{\pi^{2}}{c_{0}}$ = $\frac{\pi^{2}}{12}$ = 0,8225
gdzie: c₀ = 12

η = 1+ $\frac{0,8225}{\frac{1694,5}{900} - \ 1}$ = 1,932

całkowity moment obliczeniowy
M_Edy = η · M_0Edy = 1,932 · 68,0 = 131,4 kNm

Siły uwzględniające imperfekcje i momenty drugiego rzędu – całkowite momenty obliczeniowe

warunek dla zginania ukośnego

($\frac{M_{\text{Edx}}}{M_{\text{Rdx}}}$)^a + ($\frac{M_{\text{Edx}}}{M_{\text{Rdx}}}$)^a ≤ 1,0

$\frac{N_{\text{Ed}}}{N_{\text{Rd}}}$ = $\frac{900}{5874,0}$ = 0,15 → a = 1,04

($\frac{160,7}{374}$)^1,04 + ($\frac{131,4}{518}$)^1,04 = 0,66 ≤ 1,00
warunek spełniony
przyjęty słup przeniesie zadane obciążenie zewnętrzne