Wojciech Śliwa

Gr. I2

Semestr VI, 2011/2012, WIMiR

KONSTRUKCJE STALOWE – PROJEKT III

Temat: Nr.18. Dla podanego schematu ramy dobrać odpowiedni przekrój każdej belki (kształt przekroju zaznaczony na rysunkach) korzystając ze wzorów klasycznej wytrzymałości. Zaprojektować połączenie spawane A i B belek ramy (czołowe lub pachwinowe) wg PN-B-03200:1990. Przy projektowaniu połączenia należy uwzględnić wszystkie siły przekrojowe.

1.DANE

a = 6 [m] b = 3 [m] l1 = 2,3 [m] l2 = 1,1 [m] P1=4,30 [kN] P2=1,70 [kN]

Ze względu na l₂ > 0,5b , a i b zostanie powiększone 1,5 razy .

Ze względu na brak możliwości doboru znormalizowanych kształtowników siły zmniejszono 100 krotnie.

2. OBLICZENIA

2.1. Statyczna wyznaczalność układu. wyznaczalność układu:

• ilość niewiadomych reakcji: 3

• ilość równań: 3

N_w = 3 − 3 = 0

Układ jest statycznie wyznaczalny:

2.2. Wyznaczenie reakcji w podporach

∑P_ix = 0 ⇒ H_A = P₁ + P₂ = 4, 30[kN] + 1, 70kN]=6, 00[kN]

$$\sum M_{\text{iA}} = 0\ \Rightarrow - R_{B}*a\ + P_{2}*l_{2} + P_{1}*\left( \frac{b}{2} + l_{1} \right) = 0$$

$$\sum M_{\text{iA}} = 0 \Rightarrow R_{B} = \frac{1,70\left\lbrack \text{kN} \right\rbrack \cdot 1,1\left\lbrack m \right\rbrack + 4,3\left\lbrack \text{kN} \right\rbrack \cdot \left( 1,5 + 2,3 \right)\left\lbrack m \right\rbrack}{6\left\lbrack m \right\rbrack} = 3,035\lbrack kN\rbrack$$

∑P_iy = 0 ⇒ R_A = −R_B

R_A = 3, 035[kN]

2.3. Wyznaczenie sił tnących, sił osiowych, momentów gnących.

A) Słup lewy

0≤x₁<l₂

T_(x1) = −H_A T₍₀₎ = −6 [kN] T_(l2) = −6 [kN]

M_g(x1) = −H_A ⋅ x₁

M_g(0) = −6 ⋅ 0 = 0[kNm] M_g(l2) = −6 ⋅ 1, 1 = −6, 6 [kNm]

N_(x1) = −R_A = −3, 035[kN]

l₂≤x₂<b

T_(x2) = −H_A + P₂  T_(x2) = −6, 0 + 1, 70 = −4, 30[kN]

M_g(x2) = −H_A ⋅ x₂ +  P₂ * ( x₂ − l₂) 

M_g(l2) = −6, 0 ⋅ 1, 1  + 0  = −6, 60 [kNm] M_g(b) = −6, 00 ⋅ 3  +  1, 70 * 1, 9 = −14, 77 [kNm]

N_(x2) = −R_A = −3, 035[kN]

B) Belka pozioma

0≤x₃<a

T_(x3) = R_A T_(x3) = 3, 035[kN]

M_g(x3) = R_A ⋅ x₃  −H_A * b +  P₂ * ( b − l₂) 

M_g(0) = 3, 035 ⋅ 0  − 6, 00 ⋅ 3  +  1, 70 * 1, 9 = −14, 77 [kNm]

 M_{g(a )} = 3, 035 * 6  − 6, 00 ⋅ 3  +  1, 70 * 1, 9 = −3, 44 [kNm]

N_(x3) = −H_A + P₂ = −6, 00 + 1, 70 = −4, 30[kN]

C) Słup prawy

0≤x₄<l₁

T_(x4) = 0 [kN]        

M_g(x4) = 0[kNm]

N_(x4) = R_B N_(x4) = 3, 035[kN]

l₁≤x₅<b/2

T_(x5) = P₂ T_(x5) = 1, 7[kN]        

M_g(x5) = −P₁ * (x₅ − l₁)

$$\text{\ \ }M_{g\left( \frac{b}{2} \right)} = - 4,3*0,4 = - 1,72\lbrack kNm\rbrack$$

N_(x5) = 3, 035[kN]

3. WYZNACZENIE PRZEKROJÓW KSZTAŁTOWNIKÓW

Jako materiał, z którego wykonane zostaną elementy dobrano stal 18G2 wg tabl. 2 PN-90/B-03200

0 ≤ t≤16

f_d = 305 [MPa]

R_emin = 335 [MPa]

min R_m = 490 [MPa]

A) Słup lewy

Wstępnie przekrój kształtownika z normy PN-H-93403 zostaje wyznaczany z klasycznych wzorów wytrzymałości materiałów z warunku na zginanie.

Słup jest gięty względem osi y-y wiec Wg=W_y.

$$\sigma_{g} = \frac{M_{g}}{W_{y}} \leq f_{d}$$

$$W_{y} \geq \frac{M_{g}}{f_{d}} = \frac{14,77*10^{3}}{305*10^{6}} = 4,843*10^{- 5}\left\lbrack m^{3} \right\rbrack$$

W_y ≥ 48, 43 [cm³]

Dobieram ceownik C400 dla którego W_y= 73,1 [cm³], A = 91,5 [cm²]

Sprawdzenie naprężeń zredukowanych wg hipotezy Hubera:

$$\sigma_{g} = \frac{M_{g}}{W_{y}} = \frac{14770\lbrack Nm\rbrack}{73,1\lbrack\text{cm}^{3}\rbrack} = 202,1\lbrack MPa\rbrack$$

$$\sigma_{n} = \frac{N}{A} = \frac{3,035\lbrack kN\rbrack}{91,5\lbrack\text{cm}^{2}\rbrack} = 0,0332\lbrack MPa\rbrack$$

$$\tau = \frac{T}{A} = \frac{4,3\lbrack kN\rbrack}{91,5\lbrack\text{cm}^{2}\rbrack} = 0,066\lbrack MPa\rbrack$$

$$\sigma_{z} = \sqrt{{(\sigma_{g} + \sigma_{n})}^{2} + 0,75\tau^{2}} = \sqrt{{(202,1\lbrack MPa\rbrack + 0,0332\lbrack MPa\rbrack)}^{2} + 0,75 \cdot {(0,066\lbrack MPa\rbrack)}^{2}} = 202,2\lbrack MPa\rbrack$$

σ_z = 202, 2[MPa] ≤ 305[MPa] = f_d

B) Belka pozioma

Wstępnie przekrój kształtownika z normy PN-H-93407 zostaje wyznaczany z klasycznych wzorów wytrzymałości materiałów z warunku na zginanie.

Słup jest gięty względem osi x-x wiec Wg=Wx.

$$\sigma_{g} = \frac{M_{g}}{W_{x}} \leq f_{d}$$

$$W_{x} \geq \frac{M_{g}}{f_{d}} = \frac{14,77*10^{3}}{305*10^{6}} = 4,843*10^{- 5}\left\lbrack m^{3} \right\rbrack$$

W_x ≥ 48, 43 [cm³]

Ze względów konstrukcyjnych wykonania odpowiedniej spoiny

pachwinowej na środniku dobieram dwuteownik I120 dla którego

W_x= 54,7 [cm³] i A=14,2[cm²]

Sprawdzenie naprężeń zredukowanych wg hipotezy Hubera:

$$\sigma_{g} = \frac{M_{g}}{W_{x}} = \frac{14770\lbrack Nm\rbrack}{54,7\lbrack\text{cm}^{3}\rbrack} = 270\lbrack MPa\rbrack$$

$$\sigma_{n} = \frac{N}{A} = \frac{4,3\lbrack kN\rbrack}{14,2\lbrack\text{cm}^{2}\rbrack} = 0,301\lbrack MPa\rbrack$$

$$\tau = \frac{T}{A} = \frac{3,035\lbrack kN\rbrack}{14,2\lbrack\text{cm}^{2}\rbrack} = 0,214\lbrack MPa\rbrack$$

$$\sigma_{z} = \sqrt{{(\sigma_{g} + \sigma_{n})}^{2} + 0,75\tau^{2}} = \sqrt{{(270\lbrack MPa\rbrack + 0,301\lbrack MPa\rbrack)}^{2} + 0,75 \cdot {(0,214\lbrack MPa\rbrack)}^{2}} = 209,38\lbrack MPa\rbrack$$

σ_z = 270, 3[MPa]≤305[MPa]=f_d

C) Słup prawy

Wstępnie przekrój kształtownika z normy PN-H-93403 zostaje wyznaczany z klasycznych wzorów wytrzymałości materiałów z warunku na zginanie.

Słup jest gięty względem osi y-y wiec Wg=Wy.

$$\sigma_{g} = \frac{M_{g}}{W_{y}} \leq f_{d}$$

$$W_{y} \geq \frac{M_{g}}{f_{d}} = \frac{3,44*10^{3}}{305*10^{6}} = 11,28*10^{- 6}\left\lbrack m^{3} \right\rbrack$$

W_y ≥ 11, 28 [cm³]

Ze względów konstrukcyjnych dobieram najmniejszy ceownik który pozwoli na wykonania połączenie spawanego ,tak aby szerokość półki teownika zmieściła się we wnętrzu ceownika. Dobieram ceownik C140 dla którego W_y= 14,75[cm³] , A = 20,4 [cm²]

Sprawdzenie naprężeń zredukowanych wg hipotezy Hubera:

$$\sigma_{g} = \frac{M_{g}}{W_{y}} = \frac{3440\lbrack Nm\rbrack}{14,75\lbrack\text{cm}^{3}\rbrack} = 233,3\lbrack MPa\rbrack$$

$$\sigma_{n} = \frac{N}{A} = \frac{3,035\lbrack kN\rbrack}{20,4\lbrack\text{cm}^{2}\rbrack} = 0,15\lbrack MPa\rbrack$$

$$\tau = \frac{T}{A} = \frac{1,7\lbrack kN\rbrack}{20,4\lbrack\text{cm}^{2}\rbrack} = 0,09\lbrack MPa\rbrack$$

$$\sigma_{z} = \sqrt{\left( \sigma_{g} + \sigma_{n} \right)^{2} + 0,75\tau^{2}} =$$

$$= \sqrt{\left( 233,3\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack + 0,15\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack \right)^{2} + 0,75 \cdot \left( 0,09\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack \right)^{2}}$$

=233, 5[MPa]

σ_z = 233, 5[MPa]≤305[MPa]=f_d

4. OBLICZENIE POŁĄCZENIE SPAWANEGO

Połączenie spawane węzła A i B zostanie wykonane tak jak na schemacie poniżej. Ceownik i dwuteownik zostanie połączony spoinę pachwinową, wzdłuż środnika dwuteownika. Spoina zostanie położona po obu stronach teownika.

WĘZEŁ A.

Spoina jest wykonana z tego samego materiału, co kształtownik.

f_d = 305 [MPa]

M_g = 14, 77 [kNm]

F_y = 3, 035[kN]

F_z = 4, 3[kN]

Ze względu na zbyt duże naprężenia w spoinie zmieniono dwuteownik na I240

Długość spoiny h przyjmuję taką jak długość środnika teownika bez zaokrągleń h = 196, 4 [mm].

h = 196[mm]

g = 8, 7 [mm] (cieńszego elementu )

Obliczenia zostaną przeprowadzone wg.normy PN-90-B-03200 Tablica 18

a = 0, 7 * g = 0, 7 * 8, 7  ≈  6[mm] − wymiar spoiny

$$\sigma = \frac{F}{\text{As}} + \frac{M_{g}}{W_{y}}$$

As = 2 * h * a = 2 * 196 * 6 = 2352 [mm²] 

$$W_{y} = 2*\frac{b*h^{2}}{6}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }W_{y} = 2*\frac{6*196^{2}}{6} = 76832\lbrack\text{mm}^{3}\rbrack$$

$$\sigma = \frac{4,3\ \lbrack kN\rbrack}{2352{\ \lbrack mm}^{2}\rbrack\ \ } + \frac{14,7\lbrack kNm\rbrack}{76832\ \lbrack\text{mm}^{3}\rbrack} = 1,8 + 192 = 194\ \lbrack MPa\rbrack$$

$$\mathbf{\tau =}\frac{F_{y}}{\text{As}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\mathbf{\text{\ τ}}_{\mathbf{\parallel}}\mathbf{=}\frac{3,035\lbrack kN\rbrack}{2352{\ \lbrack mm}^{2}\rbrack}\mathbf{=}1,3\lbrack MPa\rbrack$$

Zgodnie z wzorem 93 z normy PN-90-B-03200 obliczam.:

χ = 0, 85 dla stalr 255 ≤ Re ≤ 355

$$\mathbf{\chi}\sqrt{{\sigma_{\mathbf{\bot}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 3*(}{\mathbf{\text{\ τ}}_{\mathbf{\parallel}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{\text{\ τ}}_{\mathbf{\bot}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{)}}\mathbf{\leq}f_{d}$$

$$\sigma_{\mathbf{\bot}}\mathbf{=}\mathbf{\text{\ τ}}_{\mathbf{\bot}} = \frac{\sigma}{\sqrt{2}} = \frac{194\lbrack MPa\rbrack}{\sqrt{2}} = 137\lbrack MPa\rbrack$$

$$0,85\sqrt{137^{2} + 3*\left( {1,3}^{2} + 137^{2} \right)} \leq f_{d}$$

233[MPa]≤f_d = 305[MPa]

Spoina pachwinowa prawidłowo przeniesie dane obciążenie.

WĘZEŁ B.

Spoina jest wykonana z tego samego materiału, co kształtownik.

f_d = 305 [MPa]

M_g = 3, 44 [kNm]

F_y = 3, 035[kN]

F_z = 4, 3[kN]

Długość spoiny h przyjmuję taką jak długość środnika teownika bez zaokrągleń h = 196, 4 [mm].

h = 196[mm]

g = 7 [mm] ( cieńszego elementu)

Obliczenia zostaną przeprowadzone wg.normy PN-90-B-03200 Tablica 18

a = 0, 7 * g = 0, 7 * 7 = 4, 5[mm] − wymiar spoiny

$$\sigma = \frac{F}{\text{As}} + \frac{M_{g}}{W_{y}}$$

As = 2 * h * a = 2 * 196 * 4, 5 = 1764 [mm²] 

$$W_{y} = 2*\frac{b*h^{2}}{6}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }W_{y} = 2*\frac{4,5*196^{2}}{6} = 57624\lbrack\text{mm}^{3}\rbrack$$

$$\sigma = \frac{4,3\ \lbrack kN\rbrack}{1764{\ \lbrack mm}^{2}\rbrack\ \ } + \frac{3,44\lbrack kNm\rbrack}{57624\ \lbrack\text{mm}^{3}\rbrack} = 2,45 + 60 = 62,45\ \lbrack MPa\rbrack$$

$$\mathbf{\tau =}\frac{F_{y}}{\text{As}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\mathbf{\text{\ τ}}_{\mathbf{\parallel}}\mathbf{=}\frac{3,035\lbrack kN\rbrack}{1764{\ \lbrack mm}^{2}\rbrack}\mathbf{=}1,73\ \lbrack MPa\rbrack$$

Zgodnie z wzorem 93 z normy PN-90-B-03200 obliczam.:

χ = 0, 85 dla stalr 255 ≤ Re ≤ 355

$$\mathbf{\chi}\sqrt{{\sigma_{\mathbf{\bot}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 3*(}{\mathbf{\text{\ τ}}_{\mathbf{\parallel}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{\text{\ τ}}_{\mathbf{\bot}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{)}}\mathbf{\leq}f_{d}$$

$$\sigma_{\mathbf{\bot}}\mathbf{=}\mathbf{\text{\ τ}}_{\mathbf{\bot}} = \frac{\sigma}{\sqrt{2}} = \frac{62,45\ \lbrack MPa\rbrack}{\sqrt{2}} = 44,16\lbrack MPa\rbrack$$

$$0,85\sqrt{{44,16}^{2} + 3*\left( {1,73}^{2} + {44,16}^{2} \right)} = 75,16 \leq f_{d}$$

75, 16[MPa]≤f_d = 305[MPa]

Spoina pachwinowa prawidłowo przeniesie dane obciążenie. Połączenie B jest przewymiarowanie ze względu na sposób połączenia spawanego teownika z ceownikiem w węźle A.