Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie	Kamiński Radosław
Laboratorium Teorii Sterowania i Techniki Regulacji
Wydział: EAIiIB	Rok akademicki: 2012/2013	Rok studiów: II
Temat ćwiczenia: C 11 Analiza podstawowych układów dyskretnych
Data wykonania: 07.06.2013	Data zaliczenia:	Ocena:

Cel ćwiczenia

Celem tego ćwiczenia było zapoznanie się z podstawowymi informacjami na temat układów dyskretnych oraz analizy tychże układów. Wymagane symulacje zostały wykonane za pomocą oprogramowania Simulink.

Wstęp teoretyczny

W układach sterowania coraz częściej wykorzystywane są regulatory cyfrowe. Taka sytuacja wymaga, aby analogiczne sterowanie ciągłe zostało zastąpione cyfrowym sterowaniem dyskretnym.

Czym jest sygnał dyskretny? Oto podstawowa definicja:

Sygnał dyskretny – model wielkości zmiennej, która jest określona tylko w dyskretnych chwilach czasu. Tzn. że sygnał dyskretny nie jest funkcją zdefiniowaną dla ciągłego przedziału argumentów, lecz ciągiem liczbowym. Najczęściej sygnał ten powstaje poprzez próbkowanie sygnału ciągłego, a każdą wartość ciągu nazywa się próbką (ang. Sample).

Podczas próbkowania potrzeba wykonać dyskretyzację czasu, tzn. czas zostaje wyrażony jako :

t = n * T.

Gdzie n jest liczbą całkowitą z przedziału <0, ∞), a T stałą czasową dyskretyzacji, która określa czas pomiędzy kolejnymi próbkami.

Konkretnym chwilom czasu t = T,  2T,  3T, … przyporządkowuje się odpowiadające im wartości sygnału f(T),  f(2T),  f(3T), …

n	f(n)
0	…
1	…
2	…
3	…
….	….

Funkcję dyskretną (pulsy na wykresie) można stabelaryzować:

gdzie :

n - miejsce odczytu wartości funkcji

f(n) – długość pulsu funkcji dyskretnej

Do opisu matematycznego układów dyskretnych używa się transformaty Z.

Transformata Z (transformata Laurenta) jest odpowiednikiem transformaty Laplace'a stosowanym do opisu i analizy układów dyskretnych.

Wyraża się ona wzorem:

$$Z\left( z \right) = Z\left\lbrack f\left( \text{nT} \right) \right\rbrack \sum_{n = 0}^{\infty}{f\left( \text{nT} \right)*\ z^{- n}}$$

Zazwyczaj korzysta się jednak z obliczonych już transformat:

Przykład 1

Przyjrzyjmy się funkcji narastającej linowo.

f(t) = t dyskretyzujemy: f(nT) = nT

Korzystamy z transformaty i otrzymujemy:

Z[nT] = T z⁻¹ + 2 T z⁻² + 3 T z⁻³ + … = T z⁻¹(1+2 z⁻¹+3z⁻²+…)

Otrzymane wyrażenie można zwinąć w następującą sumę (zgodnie z twierdzeniem o transformacie):

$$F\left( z \right) = \ T\sum_{n = 0}^{\infty}{n*z^{- n}}\ $$

Z twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potęgowego wynika, że:

$$\sum_{n = 0}^{\infty}{f'\left( x \right) =}(\sum_{n = 0}^{\infty}{f(x))'}$$

Otrzymaną transformatę poddajemy następującym przekształceniom:

$$F\left( z \right) = \ T\sum_{n = 0}^{\infty}{n*z^{- n}} = T\sum_{n = 0}^{\infty}{- n*\left( - z \right)*z^{- n - 1} = - zT\sum_{n = 0}^{\infty}{- n*z^{- n - 1} = - zT\sum_{n = 0}^{\infty}{\left( z^{- n} \right)^{'}}}}$$

$$- zT\left( \sum_{n = 0}^{\infty}z^{- n} \right)^{'}$$

Suma wyrażenia $\sum_{n = 0}^{\infty}z^{- n}$ wynosi:

$$\sum_{n = 0}^{\infty}z^{- n} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{z^{2}} + ... = \frac{1}{1 + \frac{1}{z}} = \frac{z}{z - 1}$$

Zatem ostatecznie otrzymujemy:

$$F\left( z \right) = \ - zT\left( \sum_{n = 0}^{\infty}z^{- n} \right)^{'} = - zT*\left( \frac{z}{z - 1} \right)^{'} = - zT*\frac{\left( z - 1 \right) - z}{({z - 1)}^{2}} = \frac{\text{Tz}}{{(z - 1)}^{2}}$$

Przykład 2

Następnie spróbujemy transformować skok jednostkowy.

Transformata:

$$1(Z) = 1 + z^{- 1} + z^{- 2} + z^{- 3} + \ldots = \sum_{n = 0}^{\infty}z^{- n}$$

Aby obliczyć sumę szeregu geometrycznego $\sum_{n = 0}^{\infty}z^{- n}$ korzystamy ze wzoru:

Zatem ostatecznie otrzymujemy:

$$1(Z) = 1 + z^{- 1} + z^{- 2} + z^{- 3} + \ldots = \frac{1}{1 + \frac{1}{z}} = \frac{z}{z - 1}$$

Transmitancja dyskretna jest to stosunek transformat Z(z) dyskretnego sygnału wyjścia do dyskretnego sygnału wejścia.

Rozpatrzmy następującą sytuację:

Na wejście jeszcze nieznanego nam obiektu podajemy sygnał x(n). Na wyjściu otrzymujemy sygnał y(n).

Transformaty odwrotne tych sygnałów wynoszą:

X(z) = z⁻¹

Y(z) = z⁻²

Transmitancja tego obiektu wynosi:

$$G\left( z \right) = \frac{Y\left( z \right)}{X\left( z \right)} = \frac{z^{- 2}}{z^{- 1}} = \frac{1}{z}$$

Obiekt charakteryzujący się taką transmitancją nazywamy Unit Delay (opóźnienie jednostkowe).

Transmitancję G(z) podobnie jak w przypadku transformaty Laplace’a możemy przedstawić na dwa sposoby:

• Postać zero-biegunowa DZP(Discret Zero-Pole):

$$G\left( z \right) = \frac{k\left( z - z_{b1} \right)\left( z - z_{b2} \right)\ldots(z - z_{\text{bm}})}{\left( z - z_{a1} \right)\left( z - z_{a2} \right)\ldots(z - z_{\text{an}})}$$

gdzie:

z_b1 , z_b2 , ... – zera

z_a1 , z_a2 , ... – bieguny

• Postać dyskretna wymierna DTF(Discret Transfer Function):

$$G\left( z \right) = \frac{b_{m}z^{m} + b_{m - 1}z^{m - 1} + \ldots + b_{1}z + b_{0}}{a_{n}z^{n} + a_{n - 1}z^{n - 1} + \ldots + a_{1}z + a_{0}}$$

Część symulacyjna ćwiczenia

Analiza członu opóźniającego

Symulujemy układ z członem opóźniającym, na wejściu którego został podany sygnał z generatora impulsów.

Na oscyloskopach obserwujemy:

Sygnał wejściowy

Sygnał wyjściowy

Wniosek:

Możemy zauważyć, że sygnał wyjściowy jest opóźnionym o 1s sygnałem wejściowym.

Zatem człon opóźniający całkowicie spełnia swoje zadanie.

Analiza członów opisanych w postaci DZP oraz DTF

Do członu, którego transmitancja opisana jest czynnikowo, doprowadzamy skok jednostkowy oraz obserwujemy odpowiedź układu.

$$G\left( z \right) = \ \frac{z - 1}{z(z - 0,5)}$$

Zera: [1]

Bieguny: [0; 0,5]

Sygnał wejściowy

Sygnał wyjściowy

Wniosek:

Z odpowiedzi układu wnioskujemy, że badany człon realizuje operację różniczkowania z inercją.

Sygnał opada, dąży do ustalenia się w zerze, a czas tej operacji związany jest z drugim biegunem transmitancji.

Sygnał również jest opóźniony o 1s, związane jest to z zerowym biegunem transmitancji, który, jak wiemy z poprzedniego punktu, działa jak człon opóźniający

Człon z transmitancją czynnikową zastąpimy teraz członem z transmitancją DTF o następujących parametrach:

Wniosek:

W ten sposób otrzymujemy dokładnie taki sam układ jak poprzednio. Dowodzi to równości transmitancji wyrażonych na dwa sposoby.

Na koniec tego punktu zbadamy układ również z transmitancją DTF, lecz o innych parametrach.

$$G\left( z \right) = \ \frac{1}{z + 0,5}$$

Sygnał wejściowy

Sygnał wyjściowy

Wniosek:

Układ ten zachowuje się jak człon oscylacyjny o tłumionych oscylacjach. Licznik transmitancji odpowiada wzmocnieniu, sygnał ustala się na tym poziomie. Charakter oscylacji związany ściśle jest z wyrazem wolnym badanej transmitancji. Pierwiastek mianownika jest rzeczywisty i ujemny, zatem układ jest stabilny.

Analiza członu całkującego

W tym punkcie będziemy analizować układ zawierający obiekt całkujący (discret time integrator).

Rozpatrzmy następujący układ:

Gdzie:

x(n) = 1(n)

y(n) = n

Transformaty tych sygnałów, jak wiemy z obliczonych wcześniej przykładów, wynoszą odpowiednio:

$$X\left( z \right) = \ \frac{z}{z - 1}$$

$$Y\left( z \right) = \frac{z}{\left( z - 1 \right)^{2}}$$

Transmitancja dyskretna wynosi:

$$G\left( z \right) = \frac{Y\left( z \right)}{X\left( z \right)} = \frac{\frac{z}{\left( z - 1 \right)^{2}}}{\ \frac{z}{z - 1}} = \frac{1}{z - 1}$$

Obiekt, który charakteryzuje otrzymana transmitancja, to Discret Time Integrator (DTI) i przeprowadza on operację całkowania dyskretnego.

Do członu DTI doprowadzamy generator impulsów i obserwujemy sygnały:

Sygnał wejściowy:

Sygnał wyjściowy:

Wniosek:

Jak widzimy, całkowanie nie przebiegło pomyślnie, otrzymaliśmy sygnał o stałej wartości równej 0.

Wynika to ze złego dobrania stałej całkowania. Czas próbkowania jest zbyt duży oraz wynosi 1s. Obiekt nie ”trafia” w chwile, w których sygnał wejściowy jest niezerowy i nie całkuje poprawnie.

Zmieniamy stałą całkowania na 0,1s.

Teraz odpowiedź wygląda następująco:

Wniosek:

Teraz układ przeprowadził poprawne całkowanie. W chwilach, gdy pojawiają się impulsy, sygnał wyjściowy narasta, a podczas braku impulsów, utrzymuje się na osiągniętym poziomie.

Na podstawie przeprowadzanych symulacji stwierdzamy, że poprawność działania układu związana jest ściśle z odpowiednim dobraniem stałej całkowania T_s, czyli licznika transmitancji członu całkującego.

Podsumowanie

W ćwiczeniu tym poznaliśmy podstawowe informacje na temat sygnałów dyskretnych, ich własności oraz opis matematyczny. Dzięki narzędziu jakim jest Simulink, możliwa była analiza działania kilku układów działających z tymi sygnałami, zatem przekonaliśmy się empirycznie, na jakich zasadach funkcjonują. W związku z coraz liczniejszym wykorzystywaniem cyfrowej regulacji w układach sterowania, taka wiedza jest szczególnie potrzebna.