![]() |
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie |
Kamiński Radosław |
Laboratorium Teorii Sterowania i Techniki Regulacji | ||
Wydział: EAIiIB |
Rok akademicki: 2012/2013 |
Rok studiów: II |
Temat ćwiczenia: C 11 Analiza podstawowych układów dyskretnych |
||
Data wykonania: 07.06.2013 |
Data zaliczenia: | Ocena: |
Celem tego ćwiczenia było zapoznanie się z podstawowymi informacjami na temat układów dyskretnych oraz analizy tychże układów. Wymagane symulacje zostały wykonane za pomocą oprogramowania Simulink.
W układach sterowania coraz częściej wykorzystywane są regulatory cyfrowe. Taka sytuacja wymaga, aby analogiczne sterowanie ciągłe zostało zastąpione cyfrowym sterowaniem dyskretnym.
Czym jest sygnał dyskretny? Oto podstawowa definicja:
Sygnał dyskretny – model wielkości zmiennej, która jest określona tylko w dyskretnych chwilach czasu. Tzn. że sygnał dyskretny nie jest funkcją zdefiniowaną dla ciągłego przedziału argumentów, lecz ciągiem liczbowym. Najczęściej sygnał ten powstaje poprzez próbkowanie sygnału ciągłego, a każdą wartość ciągu nazywa się próbką (ang. Sample).
Podczas próbkowania potrzeba wykonać dyskretyzację czasu, tzn. czas zostaje wyrażony jako :
t = n * T.
Gdzie n jest liczbą całkowitą z przedziału <0, ∞), a T stałą czasową dyskretyzacji, która określa czas pomiędzy kolejnymi próbkami.
Konkretnym chwilom czasu t = T, 2T, 3T, … przyporządkowuje się odpowiadające im wartości sygnału f(T), f(2T), f(3T), …
n | f(n) |
---|---|
0 | … |
1 | … |
2 | … |
3 | … |
…. | …. |
Funkcję dyskretną (pulsy na wykresie) można stabelaryzować:
gdzie :
n - miejsce odczytu wartości funkcji
f(n) – długość pulsu funkcji dyskretnej
Do opisu matematycznego układów dyskretnych używa się transformaty Z.
Transformata Z (transformata Laurenta) jest odpowiednikiem transformaty Laplace'a stosowanym do opisu i analizy układów dyskretnych.
Wyraża się ona wzorem:
$$Z\left( z \right) = Z\left\lbrack f\left( \text{nT} \right) \right\rbrack \sum_{n = 0}^{\infty}{f\left( \text{nT} \right)*\ z^{- n}}$$
Zazwyczaj korzysta się jednak z obliczonych już transformat:
Przykład 1
Przyjrzyjmy się funkcji narastającej linowo.
f(t) = t dyskretyzujemy: f(nT) = nT
Korzystamy z transformaty i otrzymujemy:
Z[nT] = T z−1 + 2 T z−2 + 3 T z−3 + … = T z−1(1+2 z−1+3z−2+…)
Otrzymane wyrażenie można zwinąć w następującą sumę (zgodnie z twierdzeniem o transformacie):
$$F\left( z \right) = \ T\sum_{n = 0}^{\infty}{n*z^{- n}}\ $$
Z twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potęgowego wynika, że:
$$\sum_{n = 0}^{\infty}{f'\left( x \right) =}(\sum_{n = 0}^{\infty}{f(x))'}$$
Otrzymaną transformatę poddajemy następującym przekształceniom:
$$F\left( z \right) = \ T\sum_{n = 0}^{\infty}{n*z^{- n}} = T\sum_{n = 0}^{\infty}{- n*\left( - z \right)*z^{- n - 1} = - zT\sum_{n = 0}^{\infty}{- n*z^{- n - 1} = - zT\sum_{n = 0}^{\infty}{\left( z^{- n} \right)^{'}}}}$$
$$- zT\left( \sum_{n = 0}^{\infty}z^{- n} \right)^{'}$$
Suma wyrażenia $\sum_{n = 0}^{\infty}z^{- n}$ wynosi:
$$\sum_{n = 0}^{\infty}z^{- n} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{z^{2}} + ... = \frac{1}{1 + \frac{1}{z}} = \frac{z}{z - 1}$$
Zatem ostatecznie otrzymujemy:
$$F\left( z \right) = \ - zT\left( \sum_{n = 0}^{\infty}z^{- n} \right)^{'} = - zT*\left( \frac{z}{z - 1} \right)^{'} = - zT*\frac{\left( z - 1 \right) - z}{({z - 1)}^{2}} = \frac{\text{Tz}}{{(z - 1)}^{2}}$$
Przykład 2
Następnie spróbujemy transformować skok jednostkowy.
Transformata:
$$1(Z) = 1 + z^{- 1} + z^{- 2} + z^{- 3} + \ldots = \sum_{n = 0}^{\infty}z^{- n}$$
Aby obliczyć sumę szeregu geometrycznego $\sum_{n = 0}^{\infty}z^{- n}$ korzystamy ze wzoru:
Zatem ostatecznie otrzymujemy:
$$1(Z) = 1 + z^{- 1} + z^{- 2} + z^{- 3} + \ldots = \frac{1}{1 + \frac{1}{z}} = \frac{z}{z - 1}$$
Transmitancja dyskretna jest to stosunek transformat Z(z) dyskretnego sygnału wyjścia do dyskretnego sygnału wejścia.
Rozpatrzmy następującą sytuację:
Na wejście jeszcze nieznanego nam obiektu podajemy sygnał x(n). Na wyjściu otrzymujemy sygnał y(n).
Transformaty odwrotne tych sygnałów wynoszą:
X(z) = z−1
Y(z) = z−2
Transmitancja tego obiektu wynosi:
$$G\left( z \right) = \frac{Y\left( z \right)}{X\left( z \right)} = \frac{z^{- 2}}{z^{- 1}} = \frac{1}{z}$$
Obiekt charakteryzujący się taką transmitancją nazywamy Unit Delay (opóźnienie jednostkowe).
Transmitancję G(z) podobnie jak w przypadku transformaty Laplace’a możemy przedstawić na dwa sposoby:
Postać zero-biegunowa DZP(Discret Zero-Pole):
$$G\left( z \right) = \frac{k\left( z - z_{b1} \right)\left( z - z_{b2} \right)\ldots(z - z_{\text{bm}})}{\left( z - z_{a1} \right)\left( z - z_{a2} \right)\ldots(z - z_{\text{an}})}$$
gdzie:
zb1 , zb2 , ... – zera
za1 , za2 , ... – bieguny
Postać dyskretna wymierna DTF(Discret Transfer Function):
$$G\left( z \right) = \frac{b_{m}z^{m} + b_{m - 1}z^{m - 1} + \ldots + b_{1}z + b_{0}}{a_{n}z^{n} + a_{n - 1}z^{n - 1} + \ldots + a_{1}z + a_{0}}$$
Symulujemy układ z członem opóźniającym, na wejściu którego został podany sygnał z generatora impulsów.
Na oscyloskopach obserwujemy:
Sygnał wejściowy
Sygnał wyjściowy
Możemy zauważyć, że sygnał wyjściowy jest opóźnionym o 1s sygnałem wejściowym.
Zatem człon opóźniający całkowicie spełnia swoje zadanie.
Do członu, którego transmitancja opisana jest czynnikowo, doprowadzamy skok jednostkowy oraz obserwujemy odpowiedź układu.
$$G\left( z \right) = \ \frac{z - 1}{z(z - 0,5)}$$
Zera: [1]
Bieguny: [0; 0,5]
Sygnał wejściowy
Sygnał wyjściowy
Z odpowiedzi układu wnioskujemy, że badany człon realizuje operację różniczkowania z inercją.
Sygnał opada, dąży do ustalenia się w zerze, a czas tej operacji związany jest z drugim biegunem transmitancji.
Sygnał również jest opóźniony o 1s, związane jest to z zerowym biegunem transmitancji, który, jak wiemy z poprzedniego punktu, działa jak człon opóźniający
Człon z transmitancją czynnikową zastąpimy teraz członem z transmitancją DTF o następujących parametrach:
W ten sposób otrzymujemy dokładnie taki sam układ jak poprzednio. Dowodzi to równości transmitancji wyrażonych na dwa sposoby.
Na koniec tego punktu zbadamy układ również z transmitancją DTF, lecz o innych parametrach.
$$G\left( z \right) = \ \frac{1}{z + 0,5}$$
Sygnał wejściowy
Sygnał wyjściowy
Układ ten zachowuje się jak człon oscylacyjny o tłumionych oscylacjach. Licznik transmitancji odpowiada wzmocnieniu, sygnał ustala się na tym poziomie. Charakter oscylacji związany ściśle jest z wyrazem wolnym badanej transmitancji. Pierwiastek mianownika jest rzeczywisty i ujemny, zatem układ jest stabilny.
W tym punkcie będziemy analizować układ zawierający obiekt całkujący (discret time integrator).
Rozpatrzmy następujący układ:
Gdzie:
x(n) = 1(n)
y(n) = n
Transformaty tych sygnałów, jak wiemy z obliczonych wcześniej przykładów, wynoszą odpowiednio:
$$X\left( z \right) = \ \frac{z}{z - 1}$$
$$Y\left( z \right) = \frac{z}{\left( z - 1 \right)^{2}}$$
Transmitancja dyskretna wynosi:
$$G\left( z \right) = \frac{Y\left( z \right)}{X\left( z \right)} = \frac{\frac{z}{\left( z - 1 \right)^{2}}}{\ \frac{z}{z - 1}} = \frac{1}{z - 1}$$
Obiekt, który charakteryzuje otrzymana transmitancja, to Discret Time Integrator (DTI) i przeprowadza on operację całkowania dyskretnego.
Do członu DTI doprowadzamy generator impulsów i obserwujemy sygnały:
Sygnał wejściowy:
Sygnał wyjściowy:
Jak widzimy, całkowanie nie przebiegło pomyślnie, otrzymaliśmy sygnał o stałej wartości równej 0.
Wynika to ze złego dobrania stałej całkowania. Czas próbkowania jest zbyt duży oraz wynosi 1s. Obiekt nie ”trafia” w chwile, w których sygnał wejściowy jest niezerowy i nie całkuje poprawnie.
Zmieniamy stałą całkowania na 0,1s.
Teraz odpowiedź wygląda następująco:
Teraz układ przeprowadził poprawne całkowanie. W chwilach, gdy pojawiają się impulsy, sygnał wyjściowy narasta, a podczas braku impulsów, utrzymuje się na osiągniętym poziomie.
Na podstawie przeprowadzanych symulacji stwierdzamy, że poprawność działania układu związana jest ściśle z odpowiednim dobraniem stałej całkowania Ts, czyli licznika transmitancji członu całkującego.
W ćwiczeniu tym poznaliśmy podstawowe informacje na temat sygnałów dyskretnych, ich własności oraz opis matematyczny. Dzięki narzędziu jakim jest Simulink, możliwa była analiza działania kilku układów działających z tymi sygnałami, zatem przekonaliśmy się empirycznie, na jakich zasadach funkcjonują. W związku z coraz liczniejszym wykorzystywaniem cyfrowej regulacji w układach sterowania, taka wiedza jest szczególnie potrzebna.