1. Sformułuj i objaśnij zasadę zesztywniania.
   Jeżeli ciało odkształcalne znajduje się w równowadze pod działaniem pewnego układu sił, to również pozostaje w równowadze ciało doskonale sztywne (nieodkształcalne) identyczne z poprzednim, pod działaniem tego samego układu sił.
   Wynika stąd WNIOSEK: że warunek konieczny i wystarczający dla równowagi ciała sztywnego jest tylko warunkiem koniecznym, ale nie wystarczającym dla równowagi ciała odkształcalnego.

2. Oblicz rzut siły P = i - 4j + 5k na oś określoną wektorem a = i – 4 j – k (rysunek).

P_a = Pv = 1 • 1 + ( − 4)•(−4) + 5 • ( − 1)=12N

1. Definicja momentu siły względem punktu (rysunek).
   Moment siły P względem punktu O nazywamy odłożony z punktu O wektor M_O, równy iloczynowi wektorowemu promienia wektora r i wektora siły P.

M_O=r × P

1. Oblicz moment siły P = 4i +3j – 4k zaczepionej w punkcie (1;1;1) względem punktu A(1, -2, 3) (rysunek).
   Punkt zaczepienia siły przyjmujemy O(1,1,1) wtedy wektor r = 0i − 3j + 2k

$$\mathbf{M}_{\mathbf{O}}\mathbf{= r \times P =}\left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ r_{x} & r_{y} & r_{z} \\ P_{x} & P_{y} & P_{z} \\ \end{matrix} \right|\mathbf{=}\left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & {- 3}_{} & 2 \\ 4 & 3 & - 4 \\ \end{matrix} \right|\mathbf{=}12i + 0k + 8j + 12k - 6i + 0j = 6i + 12k + 8j$$

$$M_{O} = \sqrt{6\hat{}2 + 12^{2} + 8^{2}} = 15,62$$

1. Określ co to jest moment siły względem osi (rysunek).
   Momentem siły względem osi nazywamy rzut wektora momentu siły względem dowolnego punktu na tę oś.

M_l = P­’ h

Gdzie:

P’ = P cosα = P sinφ

Stąd:

M_l = Ph sinφ

1. Oblicz moment siły P = -2i +5j – 2k względem osi przechodzącej przez początek układu i określonej wektorem a = i – 2j + k.

$$M = a \times P = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 2 & 5 & - 2 \\ \end{matrix} \right| = 4i + 5k - 2j - 4k - 5i + 2j = - i + k$$

$$M = \sqrt{{( - 1)}^{2} + 1^{2}} \approx 1.41\ Nm$$

1. Podaj warunki kiedy moment siły względem osi jest równy zero.
   - wartość siły P jest równa zeru,
   - linia działania siły P przecina się z osią l (h=0),
   - siła P jest równoległa do osi l.

2. Podaj warunki kiedy rzut siły na oś jest równy zero.
   Kąt pomiędzy siłą a osią musi być równy 90 stopni albo 270. Wtedy cosinus jest równy 0 i tym samym rzut jest równy 0.

3. Co to jest układ sił zbieżnych? Narysuj przykład.
   Układ sił, których linie działania przecinają się w jednym punkcie nazywamy zbieżnym układami sił. Takie układy sił mogą być płaskie lub przestrzenne.

1. Redukcja układu sił zbieżnych (rysunek).
   Płaski układ sił zbieżnych P₁, P₂, P₃, …, P_n przyłożonych do punktu O można zastąpić siłą wypadkową P równą sumie geometrycznej tych sił i również przyłożoną w tym punkcie.
   Przestrzenny układ sił zbieżnych P₁, P₂, P₃, …, P_n przyłożonych do punktu O można zastąpić siłą wypadkową P równą sumie geometrycznej tych sił i również przyłożoną w tym punkcie.

2. Określ wynik redukcji trzech sił przechodzących przez punkt (1;1;1): P₁= 4i, P₂=2j -2k, P₃= -2i -2j +k.

P=2i-4j-k

1. Kiedy układ trzech sił jest w stanie równowagi?
   Przy sposobie geometrycznym: trzy nierównoległe siły na płaszczyźnie są w równowadze tylko wtedy, gdy tworzą trójkąt zamknięty, a linie ich działania przecinają się w jednym punkcie.
   Przy sposobie analitycznym: suma rzutów na poszczególne osie układu współrzędnych są równe 0.

2. Warunki równowagi układu sił zbieżnych.
   |Warunek geometryczny: aby układ sił zbieżnych P₁,P₂,…,P_n działających w jednej płaszczyźnie lub przestrzeni znajdował się w równowadze, wielobok utworzony ze wszystkich sił tego układu musi być zamknięty.

$$\mathbf{P}_{1} + \mathbf{P}_{\mathbf{2}}\mathbf{+ \ldots +}\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{P}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}0$$

Warunek analityczny: aby siły zbieżne leżące w jednej płaszczyźnie były w równowadze lub w przestrzeni, sumy rzutów tych sił na osie układu współrzędnych muszą być równe zeru.

$$\sum_{i = 1}^{n}P_{\text{ix}} = \sum_{i = 1}^{n}{P_{i}\cos\alpha_{i}} = 0,\ $$

$$\sum_{i = 1}^{n}P_{\text{iy}} = \sum_{i = 1}^{n}{P_{i}\cos\beta_{i}} = 0,$$

$$\sum_{i = 1}^{n}P_{\text{iz}} = \sum_{i = 1}^{n}{P_{i}\cos\gamma_{i}} = 0.$$

1. Redukcja układu sił równoległych (rysunek).

Wypadkowa dwóch sił równoległych zgodnie skierowanych: działa równolegle do tych sił i ma zwrot zgodny ze zwrotem tych sił. Jej wartość jest równa sumie wartości tych sił, a jej linia działania dzieli wewnętrznie odległość między liniami działania sił w stosunku odwrotnie proporcjonalnym do wartości tych sił.
Wypadkowa dwóch sił równoległych przeciwnie skierowanych: działa równolegle do tych sił i ma zwrot zgodny ze zwrotem siły większej. Jej wartość jest różnicą wartości tych dwóch sił, a jej linia działania dzieli zewnętrznie odległość między liniami działania tych sił w stosunku odwrotnie proporcjonalnym do ich wartości i leży po stronie siły większej.

1. Przez jaki punkt przechodzi wypadkowa sił równoległych?
   Wypadkowa przechodzi przez punkt D który dzieli wewnętrzny odcinek AB w stosunku odwrotnie proporcjonalnym do wartości liczbowej sił P₁ i P₂.

$$AD = AB\frac{P_{2}}{P_{1} + P_{2}}\ $$

$$BD = AB\frac{P_{1}}{P_{1} + P_{2}}$$

R = W = ⌀

W przestrzeni – trzy równania skalarne:

$$\sum_{i = 1}^{n}P_{\text{iz}} = \varnothing,\ \ \sum_{i = 1}^{n}M_{\text{ix}} = \varnothing,\ \ \sum_{i = 1}^{n}M_{\text{iy}} = \varnothing$$

Siła na płaszczyźnie – dwa równania równowagi

$$\sum_{i = 1}^{n}P_{\text{iy}} = \varnothing,\ \ \sum_{i = 1}^{n}M_{\text{iz}} = \varnothing$$

Pozostałe równania są spełnione tożsamościowo:

– Przestrzeń:

$$\sum_{i = 1}^{n}P_{\text{ix}} = \varnothing,\ \ \sum_{i = 1}^{n}P_{iy} = \varnothing,\ \ \sum_{i = 1}^{n}M_{\text{iz}} = \varnothing$$

– Płaszczyzna:

$$\sum_{i = 1}^{n}P_{\text{ix}} = \varnothing,\ \ \sum_{i = 1}^{n}P_{\text{iz}} = \varnothing,\ \ \sum_{i = 1}^{n}M_{\text{ix}} = \varnothing,\ \ \sum_{i = 1}^{n}M_{\text{iy}} = \varnothing$$

1. Co to jest para sił i jaki jest wynik jej redukcji?

Para sił jest to układ dwóch sił równoległych o równych wartościach, lecz różnych zwrotach. Płaszczyzna, w której leżą obie siły, jest płaszczyzną pary sił. Ramieniem pary sił nazywa się odległość między liniami działania obu sił. Wynikiem redukcji pary sił jest moment pary sił.

1. Określ wynik redukcji dwóch sił P₁= 2k w punkcie (0;0;0) i siły P₂= -2k w punkcie (2; 0;0) (rysunek).

$$\mathbf{r =}\overset{\overline{}}{\text{AB}} = \left\lbrack 2,0,0 \right\rbrack$$

P=2k

$$\mathbf{M}_{\mathbf{O}}\mathbf{= r \times P =}\left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|\mathbf{= 4}\mathbf{j =}4\mathbf{j}$$

M = Ph = 4 Nm

1. Oblicz wynik redukcji dwóch sił P = -4i i P = 4i przechodzących odpowiednio przez punkty A(0, 2, 4) i B(0, 2, 6) (rysunek).

$$\mathbf{r =}\overset{\overline{}}{\text{AB}} = \left\lbrack 0,0,2 \right\rbrack$$

P=4i

$$\mathbf{M}_{\mathbf{O}}\mathbf{= r \times P =}\left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 2 \\ 4 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|\mathbf{=}\mathbf{8}\mathbf{j = 8}\mathbf{j}$$

1. Redukcja płaskiego układu sił.
   Dowolny układ sił, przyłożony do ciała sztywnego o liniach działania leżących w jednej płaszczyźnie, można sprowadzić do dowolnego punktu O, przykładając w nim siłę R, równą sumie geometrycznej układu oraz parę sił o momencie M_O, równym sumie momentów danych sił względem punktu O.

$$\mathbf{R =}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{P}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}\mathbf{i}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}P_{\text{ix}}\mathbf{+ j}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}P_{\text{iy}}\mathbf{=}\mathbf{i}R_{x} + \mathbf{j}R_{y}$$

$$\mathbf{M}_{O} = \sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{M}_{\mathbf{\text{iO}}}\mathbf{=}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\left( \mathbf{r}_{\mathbf{i}}\mathbf{\times}\mathbf{P}_{\mathbf{i}} \right)\mathbf{\ }}$$

gdzie:

r_i=x_ii+y_ij

Ostatecznie:

$$\mathbf{M}_{\mathbf{O}}\mathbf{=}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{M}_{\mathbf{\text{iO}}}\mathbf{= k}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\left( x_{i}P_{\text{iy}} - y_{i}P_{\text{iy}} \right)\mathbf{= k}M_{O}$$