Gdańsk 15.10.2014r.

POLITECHNIKA GDAŃSKA

WYDZIAŁ INŻYNIERII LĄDOWEJ I ŚRODOWISKA

Katedra Konstrukcji Betonowych

Projekt z Podstaw Inżynierskich Konstrukcji Betonowych

Cz. 1: Projekt wstępny

Wykonał: Dominik Karbowski

Budownictwo sem. VII

Nr indeksu: 140021

Prowadzący: mgr inż. Kamila Zmuda-Baszczyn

Student	Nr gr. dziekańskiej	rząd
Marcin Ziółkowski	6	MNK
Nr tematu	n [-]	L [m]
171	3	3,6

1.Przyjęcie wstępnych wymiarów konstrukcji

Płyta

h_f=10cm

Żebro

h_ż=55cm

b_ż=25cm

Rygiel

h_r=100cm

b_r=40cm

Słup

h_s=70cm

b_s=40cm

Stopa fundamentowa

Przyjęto wytzymałość gruntu q=300kPa

m=0,81

Obciążenia zebrane z dachu:

Warstwa		γf	Obc. Obl.[kN]
Płyta żelbetowa	0,10m*25 kN/m^3*5,4m*8,3m	1,35	151,27
1Papa	-	-	-
Wylewka betonowa	0,004 m*21 kN/m^3*5,4m*8,3m	1,35	50,83
śnieg	0,72 kN/m^3*5,4*8,3	1,5	48,41
		Σ	250,51

Obciążenia zebrane ze stropu:

Warstwa		γf	Obc. Obl. [kN]
Posadzka betonowa	0,005 m*21 kN/m^3*5,4m*8,3m	1,35	63,53
Izolacja przeciwwilgociowa	2*0,05 kN/m^2*5,4m*8,3m	1,35	6,05
Styropian	0,05 m*0,4 kN/m^3*5,4m*8,3m	1,35	1,21
Płyta żelbetowa	0,10m*25 kN/m^3*5,4m*8,3m	1,35	151,27
Tynk cem.-wap.	0,015 m*19 kN/m^3*5,4m*8,3m	1,35	17,24
Obciążenie użytkowe	8 kN/m^3*5,4m*8,3m	1,5	537,84
		Σ	777,14

Ciężar słupa: 25 kN/m³*8,80m*0,7m*0,4m=61,6 kN

Ciężar stopy: 20 kN/m³*2m*2,25m*1m=100 kN

N_max=250,51+777,14+61,6 +100=1189,25 kN

P_max=1189,25*1,2=1427,1 kN

$\frac{\text{Pmax}}{A}$≤m*q

A≥5,87

L=2,6m

B=2,3m

h_st=50cm

Ława fundamentowa

L=0,55m

h_ł=30cm

2.Obliczenia statyczne płyty

2.1Zebranie obciążeń na pasmo 1m:
Warstwa		qk[kN/m^2]	γf	Qobl [kN/m^2]
Posadzka betonowa	0,005 m*21 kN/m^3	1,05	1,35	1,42
Izolacja przeciwwilgociowa		0,05	1,35	0,07
Styropian	0,05 m*0,4 kN/m^3	0,02	1,35	0,03
Izolacja przeciwwilgociowa		0,05	1,35	0,07
Płyta żelbetowa	0,10m*25 kN/m^3	2,5	1,35	3,38
Tynk cem.-wap.	0,015 m*19 kN/m^3	0,285	1,35	0,38
	Σ	3,95		5,35
obciążenie zmienne		8	1,5	12

g^o=5,35 kN/m²*1m=5,35kN/m

p^o=12 kN/m²*1m=12kN/m

2.2Schemat statyczny

n=3

2.3Wyznaczenie momentów zginających

Momenty przęsłowe

M_AB,max=0,080*g^o*L²+0,101*p^o*L²=21,25 kNm

M_AB,min=0,080* g^o *L²-0,025*p^o*L²=1,66 kNm

M_BC,min=0,025*g^o*L²-0,050*p^o*L²=-6,04 kNm

M_BC,max=0,025*g^o*L²+0,075*p^o*L²=13,40 kNm

Momenty podporowe:

M_B,min=-0,100* g^o *L²-0,117 p^o *L²=-25,13 kNm

M_B,max=-0,100* g^o *L²+0,017* p^o *L²=-4,29 kNm

Momenty uśrednione

Uśr. M_AB

odpM_B=-6,93+(-0,05*12*3,6²)=-14,71 kNm

uśr.M_AB =0,5(1,66-$\frac{14,71}{2}$ )= -2,85 kNm

Uśr. M_BC

odpM_B=-6,93+(-0,05*12*3,6²)=-14,71 kNm

uśr.M_BC=0,5(-6,04-$\frac{14,71}{2}$ )= --6,70 kNm

Moment krawędziowy [M_B]

T_B^L=-0,6*g^o*L-0,617*p^o*L=-38,21 kN

T_B^P=0,5*g^o*L+0,583*p^o*L=34,82 kN

[M_B]= -||-25,13|-34,82*$\frac{0,25}{2}$+(5,35+12)*$\frac{0,5*{0,25}^{2}}{2}$|=-20,91 kNm

Obwiednie momentów zginających

2.4 Siły tnące

Podpora A

R_A,max=0,4*g^o*L+0,45*p^o*L=27,14 kN

R_A,min=0,4*g^o*L-0,50*p^o*L=-13,90 kN

Podpora B

R_B,max=1,1*g^o*L+1,2*p^o*L=73,03 kN

R_B,min=1,1*g^o*L+0,550*p^o*L=44,95 kN

Siła poprzeczna T_B^L

T_B^L_max=-0,6*g^o*L-0,050*p^o*L=-13,72 kN

T_B^L_min=-0,6*g^o*L-0,617*p^o*L=-38,21 kN

Siła poprzeczna T_B^P

T_B^P_max=0,5*g^o*L+0,583*p^o*L=34,82 kN

T_B^P_min=0,5*g^o*L+0,0*p^o*L=9,63 kN

Obwiednie sił tnących

3.Wymiarowanie płyty z uwagi na zginanie ( SGN )

3.1Grubość otulenia prętów zbrojenia

Z uwagi na klasę ekspozycji XC1 i klasę konstrucji C3 określono:

c_min=max$\left\{ \begin{matrix} c_{min,b} = \phi = 10mm \\ c_{min,dur} = 15mm \\ 10mm \\ \end{matrix} \right.\ $ c_min=15mm

c_nom= c_min+Δc_der=15mm+5mm=20mm=2cm

a₁= c_nom+Φ/2=2+0,5=2,5cm

d=h_f-a₁=10-2,5=7,5cm

Przyjęcie wartości wytrzymałościowych dla betonu i stali

• Wytrzymałość charakterystyczna betonu na ściskanie f_ck=2kN/cm²

• wytrzymałość obliczeniowa betonu na ściskanie f_cd=1,428kN/cm²

• wytrzymałość projektowa stali na rozciąganie f_yd=43,48kN/cm²

• wytrzymałość charakterystyczna stali na rozciąganie f_yk=50kN/cm²

• Średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie f_ctm=0,22 kN/cm²

d=7,5cm

b	100	cm
h	10	cm
Φ	1	cm
c	2	cm
d	7,5	cm
Wx	1666,887	cm^3
AΦ8	0,785398	cm^2

d'=11,67cm

M_cr=f_ctm*W_x

$$W = \frac{b*h^{2}}{6} = \frac{1,0*{0,1}^{2}}{6} = 1,667*10^{- 3}m^{3}$$

$$M_{\text{cr}} = 2200\frac{\text{kN}}{m^{2}}*1,667*10^{- 3}m^{3} = 3,667\ kNm$$

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{M_{\text{ED}}}{b*d^{2}*f_{\text{cd}}}$$

M_ED -moment od obciążenia zewnętrznego

b - szerokość strefy ściskanej

d - wysokość aktywna przekroju

f_cd - wytrzymałość obliczeniowa betonu na ściskanie

ξeff =1-$\sqrt{1 - 2*\mu\text{eff}}$≤ ξeff,lim

ξ_eff - współczynnik względnej wysokości ściskania

$$\xi_{\text{eff}} = \frac{x_{\text{eff}}}{d}$$

x_eff - wysokość efektywnie ściskanej części przekroju

$$\xi_{eff,lim} = 0,8*\frac{\lbrack?\rbrack_{cu3}}{\lbrack?\rbrack_{cu3} + \lbrack?\rbrack_{s}} = 0,8*\frac{\lbrack?\rbrack_{cu3}}{\lbrack?\rbrack_{cu3} + \frac{f_{\text{yd}}}{E_{s}}} = 0,8*\frac{3,5*10^{- 3}}{3,5*10^{- 3} + \frac{434,78}{200*10^{3}}} = 0,493\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

[?]_cu3 - maksymalne dokształcenia betonu w STN

[?]_s - maksymalne dokształcenia stali w STN

f_yd - obliczeniowa granica plastyczności zbrojenia

E_s - moduł sprężystości podłużnej stali

Przekrój zbrojenia

A_s1=$\frac{b*\text{ξeff}*d*f\text{cd}}{f\text{yd}}$≥A_s1,min

A_S1/2 - pole przekroju rozciąganego / ściskanego

$$A_{S,min} = max\{ 0,26*\frac{f_{\text{ctm}}}{f_{\text{yk}}}*b_{t}*d;0,0013*b_{t}*d\}$$

f_yk - charakterystyczna granica plastyczności zbrojenia

f_ctm - średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie (PN-EN 1992-1-1; tab. 3.1.)

b_t - średnia szerokość pracującego przekroju

$$A_{S,prov} = \frac{1m}{rozstaw\ \lbrack m\rbrack}*A_{O}$$

A_S, prov - pole przekroju zadanego zbrojenia

3.2. Zbrojenie przęseł dołem

3.2.1. Zbrojenie przęseł dołem dla momentu przęsłowego max M_AB

M_ED = max M_AB = 21, 25 kNm

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{21,25}{1,0*{0,075}^{2}*14285,7} = 0,264\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,264} = 0,314\ \left\lbrack - \right\rbrack \leq \xi_{eff,lim} = 0,493\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

$$A_{S1} = 0,314*100*7,5*\frac{1,429}{43,478} = 7,731\ \ \lbrack\text{cm}^{2}\rbrack$$

$$A_{S,min} = \max\left\{ 0,26*\frac{0,22}{50}*100*7,5\ ;\ 0,0013*100*7,5 \right\} = \max\left\{ 0,858\ ;\ 0,975 \right\} = 0,975\lbrack\text{cm}^{2}\rbrack$$

A_S1 = 7, 731  [cm²]≥A_S, min = 0, 975[cm²]

Przyjęto zbrojenie: Ø 10 mm w rozstawie co 10 cm.

$$A_{S,prov} = \frac{100cm}{10cm}*\frac{\pi{*1}^{2}}{4} = 7,85\ \lbrack cm^{2}\rbrack > A_{S1} = 7,731\ \ \lbrack\text{cm}^{2}\rbrack$$

3.2.2. Zbrojenie przęseł dołem dla momentu przęsłowego max M_BC

M_ED = max M_BC = 13, 40 kNm

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{13,40}{1,0*{0,075}^{2}*14285,7} = 0,167\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,167} = 0,184\ \left\lbrack - \right\rbrack \leq \xi_{eff,lim} = 0,493\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

$$A_{S1} = 0,184*100*7,5*\frac{1,429}{43,478} = 4,524\ \ \lbrack\text{cm}^{2}\rbrack$$

$$A_{S,min} = \max\left\{ 0,26*\frac{0,22}{50}*100*7,5\ ;\ 0,0013*100*7,5 \right\} = \max\left\{ 0,858\ ;\ 0,975 \right\} = 0,975\lbrack\text{cm}^{2}\rbrack$$

A_S1 = 4, 524  [cm²]≥A_S, min = 0, 975[cm²]

Przyjęto zbrojenie: Ø 6/10 mm w rozstawie co 10 cm.

A_S, prov = 5, 34 [cm²]>A_S1 = 4, 524  [cm²]

3.3. Zbrojenie podpór górą

3.3.1. Zbrojenie podpór górą dla momentu podporowego min M_B

$$d^{'} = d + \frac{b_{z}}{6}$$

d^′ - obliczeniowa wysokość przekroju płyty nad żebrem

$$d^{'} = 0,075 + \frac{0,25}{6} = 11,67\ \left\lbrack \text{cm} \right\rbrack$$

M_ED = |min M_B|=|−25, 13| kNm

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{25,13}{1,00*0,1167^{2}*11428,57} = 0,129\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,129} = 0,122\ \left\lbrack - \right\rbrack \leq \xi_{eff,lim} = 0,493\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

$$A_{S1} = 0,122*100*11,67*\frac{1,143}{43,478} = 4,670\ \ \lbrack\text{cm}^{2}\rbrack$$

$$A_{S,min} = \max\left\{ 0,26*\frac{0,22}{50}*100*11,67\ ;\ 0,0013*100*11,67 \right\} = \max\left\{ 1,33\ ;\ 1,52 \right\} = 1,52\lbrack\text{cm}^{2}\rbrack$$

A_S1 = 4, 670   [cm²]≥A_S, min = 1, 52[cm²]

Przyjęto zbrojenie: Ø 10 mm w rozstawie co 10 cm.

A_S, prov = 7, 85 [cm²]>A_S1 = 4, 670    [m²]

3.3.2. Zbrojenie podpór górą dla momentu krawędziowego [M_B]

M_ED = |[M_B]|=|−20, 91| kNm

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{20,91}{1,0*{0,075}^{2}*14285,7} = 0,260\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,260} = 0,307\ \left\lbrack - \right\rbrack \leq \xi_{eff,lim} = 0,493\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

$$A_{S1} = 0,307*100*7,5*\frac{1,143}{43,478} = 7,577\ \ \lbrack\text{cm}^{2}\rbrack$$

$$A_{S,min} = \max\left\{ 0,26*\frac{0,22}{50}*100*7,5\ ;\ 0,0013*100*7,5 \right\} = \max\left\{ 0,858\ ;\ 0,975 \right\} = 0,975\lbrack\text{cm}^{2}\rbrack$$

A_S1 = 7, 577 [cm²]≥A_S, min = 0, 975[cm²]

Przyjęto zbrojenie: Ø 10 mm w rozstawie co 10 cm.

$$A_{S,prov} = \frac{100cm}{10cm}*\frac{\pi{*1}^{2}}{4} = 7,85\ \lbrack cm^{2}\rbrack > A_{S1} = 7,577\ \lbrack\text{cm}^{2}\rbrack$$

3.3.3. Zbrojenie skrajnej podpory górą dla momentu M_A=0, 15*max M_AB

M_ED = M_A = 0, 15 * maxM_AB = 3, 188 kNm

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{3,188}{1,0*{0,1167}^{2}*14285,7} = 0,016\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,016} = 0,017\left\lbrack - \right\rbrack \leq \xi_{eff,lim} = 0,493\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

$$A_{S1} = 0,017*100*11,67*\frac{1,143}{43,478} = 0,634\ \ \lbrack\text{cm}^{2}\rbrack$$

$$A_{S,min} = \max\left\{ 0,26*\frac{0,22}{50}*100*11,67\ ;\ 0,0013*100*11,67 \right\} = \max\left\{ 1,33\ ;\ 1,52 \right\} = 1,52\lbrack\text{cm}^{2}\rbrack$$

A_S1 = 0, 634   [cm²]≤A_S, min = 1, 52[cm²]

Przyjęto zbrojenie: Ø 8 mm w rozstawie co 30 cm.

A_S, prov = 1, 68[cm²]>A_S, min = 1, 52    [m²]

3.4. Zbrojenie przęseł górą

$$M_{\text{cr}} = f_{\text{ctm}}*W_{c} = 0,22*\frac{100*10^{2}}{6} = 3,667\ kNm$$

|usr M_AB|=|−2, 85 | kNm ≤ M_cr = 3, 667 kNm

Warunek został spełniony - nie ma potrzeby zbrojenia górą dla usr M_AB

|usr M_BC| = | − 6, 7| kNm > M_cr = 3, 667 kNm

M_ED = |usr M_BC| = | − 6, 7| kNm

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{6,7}{1,0*{0,075}^{2}*14285,7} = 0,083\left\lbrack - \right\rbrack$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,083} = 0,080\left\lbrack - \right\rbrack \leq \xi_{eff,lim} = 0,493\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

$$A_{S2} = 0,080*100*7,5*\frac{1,143}{43,478} = 1,975\ \ \lbrack\text{cm}^{2}\rbrack$$

$$A_{S,min} = \max\left\{ 0,26*\frac{0,22}{50}*100*7,5\ ;\ 0,0013*100*7,5 \right\} = \max\left\{ 0,858\ ;\ 0,975 \right\} = 0,975\lbrack\text{cm}^{2}\rbrack$$

A_S2 = 1, 975  [cm²]≥A_S, min = 0, 975[cm²]

Przyjęto zbrojenie: Ø 10 mm w rozstawie co 20 cm.

$$A_{S,prov} = \frac{100cm}{20cm}*\frac{\pi{*1}^{2}}{4} = 3,93\ \lbrack cm^{2}\rbrack > A_{S2} = 1,975\ \ \lbrack\text{cm}^{2}\rbrack$$

4. Zestawienie zbrojenia płyty na szerokość 1 mb

ZBROJENIE	PRZEKRÓJ	M	d	μeff	ξeff	AS1	AS, min	Ø	ROZSTAW	AS, prov
		[kNm]	cm	-	-	cm^2	cm^2	mm	cm	cm^2
DOŁEM	MAB,max	21,25	7,5	0,264	0,314	7,731	0,975	10	10	7,85
	MBC,max	13,40	7,5	0,167	0,184	4,524	0,975	6/10	10	5,34
GÓRĄ	uśr.MAB	-2,85	7,5	|usr MAB|=|−2, 85 | kNm ≤ Mcr = 3, 667 kNm
	MB,min	-25,13	11,67	0,129	0,122	4,670	1,52	10	10	7,85
	[MB]	-20,91	7,5	0,260	0,307	7,577	0,975
	uśr.MBC	-6,7	7,5	0,083	0,080	1,975	0,975	10	20	3,93
część zamoc.	MA	3,19	11,67	0,016	0,017	0,634	1,52	8	30	1,68

5. Stan graniczny użytkowania (SGU)

SGU liczymy dla ekstremalnych wartości sił wewnętrznych od obciążeń charakterystycznych
(obciążenia zmienne od części długotrwałej)

-charakterystyczne obciążenie użytkowe $p^{k} = 8,00\ \frac{\text{kN}}{m}$

-charakterystyczne obciążenie stałe $g^{k} = 3,95\ \frac{\text{kN}}{m}$

5.1. Momenty przęsłowe i podporowy od charakterystycznego obciążenia ciągłego g^k+p^k

M_AB^k = 0, 08 * 3, 95 * 3, 60² + 0, 101 * 8, 00 * 3, 60² = 14, 567  kNm

M_BC^k = 0, 025 * 3, 95 * 3, 60² + 0, 075 * 8, 00 * 3, 60² = 9, 056  kNm

M_B^k = −0, 1 * 3, 95 * 3, 60² − 0, 117 * 8, 00 * 3, 60² = −13, 553 kNm

Moment rysujący: M_cr = f_ct, eff * W

W - wskaźnik wytrzymałości na zginanie

f_ct, eff - efektywna wytrzymałość betonu na rozciąganie (f_ct, eff = f_ctm = 2200 kPa)

$$W = \frac{b*h^{2}}{6} = \frac{1,0*{0,1}^{2}}{6} = 1,667*10^{- 3}m^{3}$$

$$M_{\text{cr}} = 2200\frac{\text{kN}}{m^{2}}*1,667*10^{- 3}m^{3} = 3,667\ kNm$$

M_cr < M_AB oraz M_cr < M_BC oraz M_cr < M_B

W przęsłach AB, BC i CD oraz w przekroju nad podporą B i C wystąpią zarysowania betonu. Obliczenia przeprowadzę dla przęsła AB oraz dla podpory B.

5.2. Dane materiałowe

Beton: C20/25 → f_ctm = 2, 2 MPa

E_cm = 30 GPa

Stał: → E_s = 200 GPa

f_yk=500 MPa

5.3. Sprawdzenie warunków rozwarcia rys prostopadłych

Przekrój B-B → Ø = 10 mm; r = 10 cm; c = 20 mm

$$5*\left( 20 + \frac{10}{2} \right) = 125mm > r = 100cm \rightarrow s_{r,max} = k_{3}*c + k_{1}*k_{2}*k_{4}*\frac{\Phi}{\rho_{p,eff}}$$

h − x_odp - wysokość przekroju betonowego nie przenoszącego ściskania

α_et - współczynnik długotrwałego działania obciążeń

Założono, że naprężenia ściskające w betonie po czasie t₀=28 dni nie przekroczyły 45% wartości f_ck

h₀ - miarodajny wymiar

A_C - pole przekroju betonu

u - obwód tej części, która jest poddana wysychaniu

$$h_{0} = 2*\frac{Ac}{u}$$

A_C = b*h=1,0*0,1=0,1 m² u = 1,0m $h_{0} = 2*\frac{0,1}{1} = 200\ mm$

ρ(∞,t₀) - końcowy współczynnik pełzania

na podstawie Rysunek 3.1 z PN-EN 1992-1-1: ρ(∞,t₀) = 3, 0

$$\alpha_{\text{et}} = \frac{E_{s}}{E_{c,eff}} = \frac{200}{30}*\left( 1 + 3,0 \right) = 26,67$$

d = 0, 075 m;   b = 1, 0m;    r = 0, 10m

$$A_{s1} = 10*\frac{{0,01}^{2}*\pi}{4} = 7,85*10^{- 4}{\ \lbrack m}^{2}\rbrack$$

ρ - stopień zbrojenia pracującego przekroju

$\rho = \frac{A_{s1}}{b*d}$= $\frac{7,85*10^{- 4}}{1*0,075}$=0,01047[ − ]

x_II - wysokość przekroju pracującego na ściskanie

$x_{\text{II}} = d*\lbrack\sqrt{\rho{*\alpha}_{\text{et}}*\left( 2 + \rho{*\alpha}_{\text{et}} \right)} - \rho{*\alpha}_{\text{et}}\rbrack$=$\ 0,075*\left\lbrack \sqrt{0,01047*26,67*\left( 2 + 0,01047*26,67 \right)} - 0,01047*26,67 \right\rbrack = 0,039\ \lbrack m\rbrack$

s_r, max - maksymalny rozstaw rys

h_eff - wysokość przekroju, na której beton przenosi rozciąganie

$h_{\text{eff}} = min\{ 2,5*\left( h - d \right)\ ;\frac{(h - x_{\text{II}})}{3}\}$=$\min\left\{ 2,5*\left( 0,1 - 0,075 \right)\ ;\frac{(0,1 - 0,039)}{3} \right\} = \min\left\{ 0,0625;0,0203 \right\} = 0,0203\ \lbrack m\rbrack$

A_c, eff - pole przekroju betonu, który przenosi rozciąganie

A_c, eff = h_eff * b=0, 0203 * 1 = 0, 0203 [m²]

ρ_p, eff - stopień zbrojenia efektywnie pracującego przekroju

$\rho_{p,eff} = \frac{A_{s1}}{A_{c,eff}}$=$\frac{7,85*10^{- 4}}{0,0203} = 0,03867\ \left\lbrack - \right\rbrack$

$s_{r,max} = k_{3}*c + k_{1}*k_{2}*k_{4}*\frac{\Phi}{\rho_{p,eff}}$=3,4*20+0,8*0,5*0,425*$\frac{10}{0,03867}$=111,96 [mm]

I_II - moment bezwładności przekroju B-B w II fazie

$I_{\text{II}} = \frac{b*x_{\text{II}}^{3}}{3} + \alpha_{\text{et}}*A_{s1}*{(d - x_{\text{II}})}^{2}$=$\frac{1*{0,039}^{3}}{3} + 26,67*7,85*10^{- 4}*\left( 0,075 - 0,039 \right)^{2} = 4,69*10^{- 5}\ \lbrack m^{4}\rbrack$

5.3.1. Sprawdzenie warunków rozwarcia rys prostopadłych dla max momentu przęsłowego

M_ED = M_AB^k = 14, 567[kNm]

σ_s - naprężenia występujące w stali w II fazie

$\sigma_{s} = \alpha_{\text{et}}*\frac{M_{\text{ED}}}{I_{\text{II}}}*\left( d - x_{\text{II}} \right)$=$26,67*\frac{14,567}{4,69*10^{- 5}}*\left( 0,075 - 0,039 \right) = 24229,595\lbrack kPa\rbrack$

$$0,6*\frac{\sigma_{s}}{E_{s}} = 0,6*\frac{24229,595}{200000000} = 1,21*10^{- 4}\ \lbrack - \rbrack$$

[?]_sm - średnie odkształcenie zbrojenia liczone od stanu, w którym odkształcenie betonu jest zerowe

[?]_cm - średnie odkształcenie betonu między rysami

przyjęto k_t = 0, 4

$${\lbrack?\rbrack_{\text{sm}} - \ \lbrack?\rbrack}_{\text{cm}} = \frac{\sigma_{s} - k_{t}*\frac{f_{ct,eff}}{\rho_{p,eff}}*(1 + \alpha_{\text{et}}*\rho_{p,eff})}{E_{s}} \geq 0,6*\frac{\sigma_{s}}{E_{s}}$$

${\lbrack?\rbrack_{\text{sm}} - \ \lbrack?\rbrack}_{\text{cm}} = \frac{24229.595 - 0,4*\frac{2200}{0,03867\ }*(1 + 26,67*0,03867)}{200000000} = 1,010*10^{- 4}\ \lbrack - \rbrack$>1, 21 * 10⁻⁴ [−]

warunek spełniony

w_k - szerokość rys

w_k = s_r, max * ([?]_sm −  [?]_cm)

w_k = 111, 96 * 1, 010 * 10⁻⁴  = 0, 0113 [mm]

Warunek na rozwarcie rys → w_k ≤ w_k, lim

w_k, lim = 0, 4 mm 

w_k = 0, 0113 mm ≤  w_k, lim = 0, 4 mm Warunek spełniony.

5.3.2. Sprawdzenie warunków rozwarcia rys prostopadłych dla momentu podporowego

M_ED = M_B^k = | − 13, 553| [kNm]

$$\sigma_{s} = 26,67*\frac{13,553}{4,69*10^{- 5}\ }*\left( 0,075 - 0,039 \right) = 277452,1612\ \lbrack kPa\rbrack$$

$$0,6*\frac{\sigma_{s}}{E_{s}} = 0,6*\frac{277452,1612}{200000000} = 8,32*10^{- 4}\ \lbrack - \rbrack$$

${\lbrack?\rbrack_{\text{sm}} - \ \lbrack?\rbrack}_{\text{cm}} = \frac{277452,1612 - 0,4*\frac{2200}{0,03867\ }*(1 + 26,67*0,03867)}{200000000} = 1,156*10^{- 3}\ \lbrack - \rbrack$>8, 32 * 10⁻⁴ [−]

warunek spełniony

w_k = 111, 96 * 1, 156 * 10⁻³ = 0, 1294 [mm]

Warunek na rozwarcie rys → w_k ≤ w_k, lim

w_k, lim = 0, 4 mm  → patrz Tablica 7.1N: zalecane wartości w_max (mm)

w_k = 0, 1294 mm ≤  w_k, lim = 0, 4 mm Warunek spełniony.

5.4. Sprawdzenie warunku ugięcia

5.4.1. Sprawdzenie warunku ugięcia dla przęsła AB

Charakterystyka przekroju B-B

$$A_{S1} = 10*{0,01}^{2}*\frac{\pi}{4} = 7,85*10^{- 4}\lbrack m^{2}\rbrack$$

S_x′ = 0, 01 * 1, 0 * 0, 05 + 26, 67 * 7, 85 * 10⁻⁴ * 0, 075 = 2, 070 * 10⁻³[m³]

A = 0, 01 * 1, 0 + 26, 67 * 7, 85 * 10⁻⁴ = 0, 0309 [m²]

$$x_{1} = \frac{S_{x^{'}}}{A} = 0,067\ \lbrack m\rbrack$$

moment bezwładności w I fazie:

$$I_{I} = \frac{b*x_{1}^{3}}{3} + \frac{b*(h - x_{1})^{3}}{3} + \alpha_{\text{et}}*A_{S1}*\left( d - x_{1} \right)^{2} = \frac{1*{0,067}^{3}}{3} + \frac{{1*\left( 0,01 - 0,067 \right)}^{3}}{3} + 26,67*7,85*10^{- 4}*\left( 0,075 - 0,067 \right)^{2} = 3,986*10^{- 5}\left\lbrack m^{4} \right\rbrack$$

moment bezwładności w II fazie:

$$I_{\text{II}} = 4,69*10^{- 5}\ \lbrack m\hat{}4\rbrack$$

a - ugięcie całkowite

a = ζ * a_II + (1 - ζ) * a_I

a_I , a_II - odpowiednio wartości ugięć w fazie bez zarysowań i z zarysowaniami

$$a_{I/II} = \alpha_{k}*\frac{{M_{\text{Egp}}*l}_{\text{eff}}^{2}}{E_{c,eff}*I_{\frac{I}{\text{II}}}\ }$$

$$\alpha_{k} = \frac{5}{48}(1 - \frac{M_{A} + M_{B}}{10*M_{\text{Egp}}})$$

M_A ,M_B - momenty zginające odpowiednio z lewej i prawej strony rozpatrywanego przęsła

ζ - współczynnik dystrybucji (uwzględnia usztywnienie przy rozciąganiu)

$$\zeta = 1 - \beta*\left( \frac{\sigma_{\text{sr}}}{\sigma_{s}}\ \right)^{2} = 1 - \beta*\left( \frac{M_{\text{cr}}}{M_{\text{Egp}}}\ \right)^{2}$$

β - współczynnik czasu trwania obciążenia (przyjęto β=0,5)

σ_sr - naprężenia w zbrojeniu rozciąganym, przy założeniu pełnego wykorzystania przekroju w fazie I

σ_s - naprężenia w zbrojeniu rozciąganym występujące II fazie

odpowiadajacy M_A = 0 [kNm]

Odpowiadający M_B=-0,100* g^o *L²-0,050* p^o *L²=-10,30 kNm

M_Egp = M_AB = 14, 567 [kNm]

$$M_{\text{cr}} = 2200\frac{\text{kN}}{m^{2}}*1,667*10^{- 3}m^{3} = 3,667\ kNm$$

$\alpha_{k} = \frac{5}{48}\ (1 - \frac{0 - 10,30}{10*14,567}) = 0,112\ \lbrack - \rbrack$

$$a_{I} = 0,112*\frac{14,567*{3,6}^{2}}{7,5*10^{6}*3,986*10^{- 5}\ } = 0,071\ \ \lbrack m\rbrack$$

$$a_{\text{II}} = 0,112*\frac{14,567*{3,6}^{2}}{7,5*10^{6}*4,69*10^{- 5}\ } = 0,060\ \ \lbrack m\rbrack$$

$$\zeta = 1 - 0,5*\left( \frac{3,667}{14,568} \right)^{2} = 0,968\ \lbrack - \rbrack$$

a = 0, 968 * 0, 060 + (1 − 0, 968)*0, 071 = 0, 060 [m]

$a = 60,0\ \lbrack mm\rbrack \leq a_{\lim} = \frac{l_{\text{eff}}}{250} = \frac{3600}{250} = 14,4\ \lbrack mm\rbrack$⁡ warunek niespełniony, należy dodać zbrojenie

5.4.1. Sprawdzenie warunku ugięcia dla przęsła BC

Charakterystyka przekroju D-D

wyznaczenie położenia osi obojętnej w przekroju D-D

$$A_{S1} = 5*{0,01}^{2}*\frac{\pi}{4} + 5*{0,006}^{2}*\frac{\pi}{4} = 5,341*10^{- 4}\lbrack m^{2}\rbrack$$

$$\rho = \frac{5,341*10^{- 4}}{1*0,075} = 0,0071\ \lbrack - \rbrack$$

$$x_{\text{II}} = 0,075*\left\lbrack \sqrt{0,0071*26,67*\left( 2 + 0,0071*26,67 \right)} - 0,0071*26,67 \right\rbrack = 0,034\ \lbrack m\rbrack$$

Średnica zastępcza: Φ_eq=$\frac{n_{1}*\Phi_{1}^{2} + n_{2}*\Phi_{2}^{2}}{n_{1}*\Phi_{1} + n_{2}*\Phi_{2}}$=$\frac{5*{0,01}^{2} + 5*{0,006}^{2}}{5*0,01 + 5*0,006}$=0,0085 [m]

$$h_{\text{eff}} = \min\left\{ 2,5*\left( 0,1 - 0,075 \right)\ ;\frac{\left( 0,1 - 0,034 \right)}{3} \right\} = \min\left\{ 0,625;0,022 \right\} = 0,022\ \lbrack m\rbrack$$

A_c, eff = 0, 02 * 1 = 0, 022 [m²]

$$\rho_{p,eff} = \frac{5,341*10^{- 4}}{0,022} = 0,0243\ \left\lbrack \right\rbrack$$

$s_{r,max} = k_{3}*c + k_{1}*k_{2}*k_{4}*\frac{\Phi}{\rho_{p,eff}}$=3,4*20+0,8*0,5*0,425*$\frac{8,5}{0,0243}$=127,47[mm]

$$I_{\text{II}} = \frac{1*{0,034}^{3}}{3} + 26,67*5,341*10^{- 4}*\left( 0,075 - 0,034 \right)^{2} = 3,705*10^{- 5}\ \lbrack m^{4}\rbrack$$

A_S1 = 5, 341 * 10⁻⁴[m²]

S_x′ = 0, 1 * 1, 0 * 0, 05 + 26, 67 * 5, 341 * 10⁻⁴ * 0, 075 = 6, 068 * 10⁻³[m³]

A = 0, 1 * 1, 0 + 26, 67 * 6, 068 * 10⁻⁴ = 0, 116[m²]

$$x_{1} = \frac{S_{x^{'}}}{A} = 0,0523\ \lbrack m\rbrack$$

moment bezwładności w I fazie:

$$I_{I} = \frac{b*x_{1}^{3}}{3} + \frac{b*(h - x_{1})^{3}}{3} + \alpha_{\text{et}}*A_{S1}*\left( d - x_{1} \right)^{2} = \frac{1*{0,0523}^{3}}{3} + \frac{{1*\left( 0,1 - 0,0523 \right)}^{3}}{3} + 26,67*5,341*10^{- 4}*\left( 0,075 - 0,034 \right)^{2} = 1,078*10^{- 4}\left\lbrack m^{4} \right\rbrack$$

M_A = −10, 3[kNm]; M_B = −10, 3[kNm]; M_Egp = 9, 056[kNm]

$$\alpha_{k} = \frac{5}{48}\ (1 - \frac{- 10,3 - 10,3}{10*9,056}) = 0,128\ \lbrack - \rbrack$$

$$a_{I} = 0,128*\frac{9,056*{3,6}^{2}}{7,5*10^{6}*1,078*10^{- 4}} = 0,0186\lbrack m\rbrack$$

$$a_{\text{II}} = 0,128*\frac{9,056*{3,6}^{2}}{7,5*10^{6}*3,705*10^{- 5}\ } = 0,0541\ \ \lbrack m\rbrack$$

$$\zeta = 1 - 0,5*\left( \frac{3,667}{9,056} \right)^{2} = 0,918\lbrack - \rbrack$$

a = 0, 918 * 0, 054 + (1−0,918) * 0, 0186 = 0, 051 [m] = 51, 0[mm]

$a = 51,0\ \lbrack mm\rbrack \leq a_{\lim} = \frac{l_{\text{eff}}}{250} = \frac{3600}{250} = 14,4\ \lbrack mm\rbrack$⁡ warunek niespełniony, należy dodać zbrojenie